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    2025山东省实验中学高三上学期第二次诊断考试数学试题含解析

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    2024.11
    说明:本试卷满分150分.试题答案请用2B铅笔和0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上,书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.
    一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 设集合,若,则实数m=( )
    A. 0B. C. 0或D. 0或1
    2. 已知复数满足,则的虚部是( )
    A. B. C. D.
    3 已知等比数列中,,则( )
    A. 4B. C. 8D.
    4. 设函数,若,则的取值范围是( )
    A. B.
    C. D.
    5. 已知则等于
    A. 2B. 3C. 4D. 6
    6. 已知随机变量,且,则的最小值为( )
    A. 5B. C. D.
    7. 已知函数在区间上有最小值,则实数的取值范围是( )
    A. B.
    C D.
    8. 将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x,y,记A事件为“>”,则( )
    A. B. C. D.
    二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.
    9. 已知函数部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )

    A.
    B. 图象关于直线对称
    C. 是偶函数
    D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,得到函数的图象
    10. 如图,在四边形中,,,, ,,则下列结果正确的是( )
    A. B.
    C. D. 的面积为
    11. 数学中有许多形状优美,寓意美好的曲线,曲线就是其中之一(如图).给出下列四个结论,其中正确结论是( )
    A. 图形关于轴对称
    B. 曲线恰好经过4个整点(即横、纵坐标均为整数的点)
    C. 曲线上任意一点到原点的距离都不超过
    D. 曲线所围成的“心形”区域的面积大于3
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12. 若为偶函数,则________.
    13. 已知向量满足,则的最大值为__________.
    14. 定义:如果集合存在一组两两不交(任意两个集合交集为空集时,称为不交)的非空真子集,且,那么称无序子集组构成集合的一个划分.若使函数在有且仅有一个零点的的取值集合为,则集合的所有划分的个数为__________.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15. 已知等差数列的前项和为,且.
    (1)求数列通项公式;
    (2)设数列满足,求的前项和.
    16. 在中,角的对边分别为,已知.
    (1)求的值;
    (2)若点在边上,且,求的面积.
    17. 已知函数.
    (1)讨论的单调区间;
    (2)若有三个极值点,求正数的取值范围.
    18. 口袋中共有7个质地和大小均相同的小球,其中4个是黑球,现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球,直到将4个黑球全部取出时停止.
    (1)记总的抽取次数为X,求E(X);
    (2)现对方案进行调整:将这7个球分装在甲乙两个口袋中,甲袋装3个小球,其中2个是黑球;乙袋装4个小球,其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球,当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取,直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y,求E(Y)并从实际意义解释E(Y)与(1)中的E(X)的大小关系.
    19. 设为正整数,为正实数列.我们称满足(其中)的三元数组为“比值组”.
    (1)若,且为等差数列,写出所有的比值组;
    (2)给定正实数,证明:中位数为4(即中)的比值组至多有3个;
    (3)记比值组的个数为,证明:.

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