石家庄市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份石家庄市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,,且,则( )
A.B.C.D.
2．已知直线,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．设m,n为空间中两条不同直线,,为空间中两个不同平面,下列命题正确的是( )
A.若,,,则
B.若m不垂直于,,则m必不垂直于n
C.若,,则
D.若m,n是异面直线,,,,,则
4．已知向量,,,且,则与夹角的最大值为( )
A.B.C.D.
5．已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是( )
A.在上是增函数B.其图象关于直线对称
C.函数是奇函数D.在区间上的值域为
6．已知,,，则的最小值为( )
A.B.C.1D.
7．已知四棱锥的各顶点在同一球面上,四边形为等腰梯形,若,为正三角形,且面面,则该球的表面积为( )
A.B.C.D.
8．在直角梯形中,,,,点P为梯形四条边上的一个动点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知复数，，则下列结论正确的有( )
A.B.C.D.
10．下列说法正确的是( )
A.直线的倾斜角的取值范围是
B.函数的定义域为,则函数的定义域为
C.已知函数在上是增函数,则实数a的取值范围是
D.若事件A与事件B相互独立,且,,则
11．已知正方体的棱长为2,点P是的中点,点M是正方体内（含表面）的动点,且满足,下列选项正确的是( )
A.动点M在侧面内轨迹的长度是
B.三角形在正方体内运动形成几何体的体积是2
C.直线与所成的角为,则的最小值是
D.存在某个位置M,使得直线与平面所成的角为
三、填空题
12．将一张坐标纸对折,如果点与点重合,则点与点_______________重合.
13．已知角,为锐角,,,则的值为_________________.
14．已知函数若存在实数t,使得方程有4个不同的实数根,,,且.则t的取值范围为_____________,的取值范围为____________.
四、解答题
15．已知点,直线和
(1)过点P作的垂线,求垂足H的坐标;
(2)过点P作l分别于,交于点A,B,若P恰为线段的中点,求直线l的方程.
16．已知中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,.
(1)若,求的值;
(2)若的平分线交于点D,且,求周长的最小值.
17．为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组.
(1)求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数;
(2)估计抽出的100名志愿者年龄的第75百分位数;
(3)若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中,采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动,再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
18．如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,,,E为BC的中点.
(1)证明：.
(2)若二面角的平面角为,G是线段PC上的一个动点,求直线DG与平面PAB所成角的最大值.
19．设a为常数,函数.
(1)当时,求函数的值域;
(2)若函数在区间上有两个不同的零点,求实数a的取值范围;
(3)当时,设n为正整数,在区间上恰有2024个零点,求所有可能的正整数n的值.
参考答案
1．答案：C
解析：对于,则,解得,即,
对于,可得,即,
所以且.
故选：C.
2．答案：C
解析：因为,所以,解得,
所以“”是“”的充要条件,
故选：C.
3．答案：D
解析：对于A,若,,,则m,n可能平行、相交或异面,故A错误;
对于B,若m不垂直于,且,则m有可能垂直于n,故B错误;
对于C,若且,则或,故C错误;
对于D,若m、n是异面直线,,,,,
则在直线m上任取一点P,过直线n与点P确定平面,设,
又,则,,,所以,
又,,,,所以,故D正确.
故选：D.
4．答案：A
解析：因为,所以,解得,故,
设,,则,
设,则,
则,即,
设,,
设,夹角为,则,
令,则,
则,令,则,
则,
其中在上单调递减,在上单调递增,
当时,取得最小值,最小值为,
当或3时,取得最大值,最大值为1,
故,
由于在上单调递减,故,
与夹角的最大值为.
故选：A.
5．答案：D
解析：，沿轴向左平移个单位，
得.
对于A，当，单调递减，所以选项A错误；
对于B，，则图象关于对称，所以选项B错误；
对于C，是偶函数.所以选项C错误；
对于D，当，，则，所以D正确，
综上可知，正确的为D.
故选：D.
6．答案：A
解析：，，
，
，，，，
，
当且仅当，即，时等号成立.
故选：A.
7．答案：C
解析：如图,取的中点E,取的中点G,连接,,
在线段上取一点F,使,
过点E作平面的垂线,使,连接,
易知四边形是等腰梯形,,,均为等边三角形,
所以,
因为平面,所以,
所以,
因为为正三角形,的中点G,所以,
又面面,面面,面,
所以面,
因为平面,所以,即,
又,所以四边形为平行四边形,则,
因为为正三角形,的中点G,所以,
又面面,面面,,面,
所以面,所以面,
又F是的外心,所以,所以,
所以O为四棱锥外接球的球心,
因为,,
所以,
所以,
故选：C.
8．答案：D
解析：如图中,O为AB中点,
（极化恒等式）
共起点的数量积问题可以使用.
如图,取中点O,则由极化恒等式知,
,要求取值范围,只需要求最大,最小即可.
由图,可知最大时,P在D点,即,此时,
最小时,P在O点,即,此时.
综上所得,取值范围为:.
故选：D.
9．答案：BC
解析：设，，其中.
对于选项A:，，所以与不一定相等，故选项A错误；
对于选项B:因为，
所以，
因为，
所以，故选项B正确；
对于选项C:因为，
所有
因为，
所以，故选项C正确；
对于选项D:因为，所以
，而与不一定相等，故选项D错误；故选：BC.
10．答案：ABD
解析：对于A,由题意可得,所以,故A正确;
对于B,因为函数的定义域为,所以,所以,
所以,解得,故B正确;
对于C,因为在上是增函数,
所以当,,即,
且时,要恒增,由二次函数的对称轴可知,
且时,要恒增,由反比例函数的性质可得,
综上实数a的取值范围是,故C错误;
对于D,因为,所以,
又事件A与事件B相互独立,所以,故D正确;
故选：ABD.
11．答案：ABC
解析：如图所示,取中点N,连接,,
取中点G,连接,.
在立方体中,因为G,N为中点,所以,
所以G,N,,四点共面.
又因为平面,
且平面,所以,
又因为,
且,平面,,
所以平面,
又因为平面,
所以.
因为,,
且,且,均为锐角,
所以,
又因为平面,
且平面,
所以,
又因为,平面,且,
所以平面
又因为平面,所以.
又因为,平面,且,
所以平面.又因为,
则平面,所以M的轨迹为截面.
对于A,因为平面,
且平面平面,
所以动点M在平面内的轨迹长度为的长,且,故A正确;
对于B,三角形在正方体内运动形成几何体为四棱锥.
且.
又因为,,,
所以,
,
所以四棱锥的体积为,故B正确;
对于C,因为,
所以直线与直线所成角为,
在直角三角形中,
当时,,
所以,故C正确;
对于D,易知M与或G重合时,直线与平面所成角最大,
且为或,
因为,
所以,
所以不存在某个位置M,使得直线与平面所成角为,故D错误.
故选：ABC.
12．答案：
解析：已知点与点,可知线段的中点为,
且,则线段的中垂线的斜率,
则线段的中垂线方程为,即,
设点关于直线的对称点为,
则,解得,
所以所求点为.
故答案为：.
13．答案：
解析：因为角、为锐角,所以,
又,所以,
所以,又,
所以.
故答案为：.
14．答案：;
解析：画出函数的图象如图所示：
要使得方程有4个不同的实数根,,,,
只需有4个不同的实数根,即,的图象有四个交点,
结合图象可知：.
因为,所以,
所以,
即,
所以,即,,
而,是的两根,即,
因为,满足所以,
,
令,因为,则在单调递增,
所以,故.
故答案为：;.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1),即,
则,直线为,
即,联立方程,解得,故.
(2)不妨设,则,则,
解得,故直线l过点和点,,
故直线方程为,即.
16．答案：(1);
(2).
解析：(1)已知中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,.
若,所以,整理得：,
整理得：,
解得.
(2)的平分线交于点D,且,
利用三角形的面积：
所以,
整理得,
所以,
当且仅当时,等号成立.
所以,解得,
所以周长的最小值为.
17．答案：(1)150
(2)37.5
(3)
解析：(1)由直方图知：,可得,
500名志愿者中年龄在的人数为人.
(2)因为,,
所以第75百分位数在区间内,若该数为a,
,解得.
(3)由题设,第2组、第4组和第5组的频率之比为,知6名志愿者有2名来自,3名来自,1名来自,
不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为,,,,,c,
则抽取两人的基本事件有,,,,,,,
,,,,,,,共15个,
抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)如图,取AD的中点F,连接PF,EF.
底面ABCD是正方形,, ,.
,,平面PEF, 平面PEF.
又平面PEF, .
(2)由(1)可知,二面角的平面角为,且为,
过点P作PO垂直于直线EF,垂足为O,
平面PEF,平面PEF, ,
,,平面, 平面,
以O为原点,OE,OP所在的直线分别为y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
易得,,,,
则,,,,,
,,,,
设平面PAB的法向量为,则
得取,则.
设,,则,
设直线DG与平面PAB所成的角为,
则,
令,则,.
当时,,;
当时,,
当,即,时,取得最大值,且最大值为,此时.
所以直线DG与平面PAB所成角的最大值为.
19．答案：(1)
(2);
(3)1012,1349.
解析：(1)由题意,
令,,则,
当时,,
所以当时,取最大值;
当时,取最小值,
所以的值域为;
(2)由题意函数在区间上有两个不同的零点,
即函数在上仅有一个零点,因为,
由零点存在性定理,只需,得;
所以实数a的取值范围为.
(3)因为,所以有两个零点,,
又,不妨,,
当时,得,,即或;
由三角函数图象性质可知在（k为正整数）内零点个数为,在内零点个数为,
因为,所以;
当时,,,在（k为正整数）内零点个数为,
在内零点个数为,若,此时不存在n;
当时,则,,在（k为正整数）内零点个数为,
因为,所以;
综上n的所有可能值为1012,1349.