备战2025年高考二轮复习数学专题检测练3 数列（提升篇）（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考二轮复习数学专题检测练3 数列（提升篇）（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2024广东广州一模)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a3a5=2a2a4,则S4S2=( )

A.5B.4
C.3D.2
答案C
解析根据题意,设等比数列{an}的公比为q,若a3a5=2a2a4,即a3a5a2a4=q2=2,故S4S2=a1(1-q4)1-qa1(1-q2)1-q=1+q2=3.故选C.
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1>0,a8,a9是方程x2+x-2 023=0的两根,则能使Sn>0成立的n的最大值为( )
A.15B.16C.17D.18
答案A
解析∵a8,a9是方程x2+x-2 023=0的两根,
∴a8·a9=-2 023,a8+a9=-1,
又a1>0,∴a8>0,a92 024成立的最小正整数n为( )
A.7B.8C.9D.10
答案B
解析由题意知二阶等比数列{an}的二阶公比为2,a1=1,a2=2,则a2a1=2,故anan-1=(2)n-1,an-1an-2=(2)n-2,…,a2a1=2,
将以上各式累乘,得ana1=(2)n-1×(2)n-2×…×2=(2)(n-1)n2=2(n-1)n4,
故an=2n(n-1)4,令2(n-1)n4>2 024,由于210=1 024,211=2 048,
故(n-1)n4>10,即(n-1)n>40,
又(n-1)n的值随n的增大而增大,且(7-1)×7=42,(8-1)×8=56,
当n=7时,2(n-1)n4=2212=210×22 024,故n的最小值为8.故选B.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.(2024福建福州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=4,S5=35,则( )
A.nan的最小值为1
B.nSn的最小值为1
C.Snn为递增数列
D.ann2为递减数列
答案ABC
解析假设{an}的公差为d,由S5=5(a1+a5)2=5a3=35,所以a3=7,又a2=4,
所以d=3,a1=1,所以an=3n-2,Sn=n(3n-1)2.
因为nan=n(3n-2)=3(n-13)2-13,故当n=1时nan取最小值1,A正确;
因为nSn=n2(3n-1)2,令f(x)=32x3-12x2,x>0,所以f'(x)=92x2-x,可知f(x)在区间29,+∞上单调递增,
所以当n=1时nSn取得最小值1,B正确;
因为Snn=32n-12,故Snn为递增数列,C正确;
因为ann2=-2n2+3n,因为a11=1,a222=1,所以ann2不是递减数列,D错误.故选ABC.
10.(2024山东枣庄一模)将数列{an}中的所有项排成如下数阵:
a1
a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9
…
从第2行开始每一行比上一行多两项,且每行从左到右均构成以2为公比的等比数列;第1列数a1,a2,a5,…成等差数列.若a2=2,a10=8,则( )
A.a1=-1
B.∑i=29ai=168
C.a2 024位于第45行第88列
D.2 024在数阵中出现两次
答案ACD
解析设第1列数a1,a2,a5,a10,…构成等差数列{bn},设公差为d,
又由b2=a2=2,b4=a10=8,可得a1+d=2,a1+3d=8,解得a1=-1,d=3,
则第一列的通项公式为bn=-1+(n-1)×3=3n-4,
又从第2行开始每一行比上一行多两项,且每一行从左到右均构成以2为公比的等比数列,
可得a2+a3+…+a9=2+4+8+5+10+20+40+80=169,所以A正确,B错误;
又因为每一行的最后一个数为a1,a4,a9,a16,…,
且452=2 025,可得a2 024是a2 025的前一个数,且a2 025在第45行,
因为这一行共有2×45-1=89个数,则a2 024在第45行的第88列,所以C正确;
由题设可知第i行第j个数的大小为(3i-4)×2j-1,
令(3i-4)×2j-1=2 024=253×23,若j=1,则3i-4=2 024,即i=676;
若j=2,则3i-4=1 012,无整数解;
若j=3,则3i-4=506,即i=170;若j=4,则3i-4=253,无整数解.
故D正确.故选ACD.
11.
螺旋线这个词来源于希腊文,原意是“旋卷”或“缠卷”,如图所示的阴影部分就是一个美丽的旋卷型的图案,它的画法是:正方形ABCD的边长为4,取正方形ABCD各边的四等分点E,F,G,H,作第二个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的四等分点M,N,P,Q,作第三个正方形MNPQ,按此方法继续下去,就可以得到如图所示的图形.设正方形ABCD的边长为a1,后续各正方形的边长依次为a2,a3,…,an,…;如图阴影部分,设直角三角形AEH的面积为b1,后续各直角三角形面积依次为b2,b3,…,bn,….下列说法正确的是( )
A.正方形MNPQ的面积为2516
B.an=4×104n-1
C.使不等式bn>14成立的正整数n的最大值为4
D.数列{bn}的前n项和Sn14,b5=1 8758 19214成立的正整数n的最大值为4,故C正确;
对于D,bn=32×58n-1,显然{bn}是首项为32,公比为58的等比数列,故其前n项和Sn=32[1-(58) n]1-58=4-4×58n0,于是点Pn+1Sn+12an+1,32an+1在曲线y=x上,则32an+1=Sn+12an+1,即Sn=34an+12-12an+1,当n≥2时,Sn-1=34an2-12an,
两式相减,得an=34an+12-12an+1-34an2-12an,整理得(an+1+an)·(an+1-an)=23(an+1+an),
则an+1-an=23(n≥2),而a2-a1=23满足上式,因此∀n∈N*,an+1-an=23,
即数列{an}是首项为a1=23,公差d=23的等差数列,an=a1+(n-1)d=23n,
所以数列{an}的通项公式是an=23n.
(3)证明由(2)知,当n≥2时,Sn-1=34an2-12an,
则点Pn的横坐标xn=Sn-1+12an=34an2=13n2,显然x1=13满足上式,因此xn=13n2.
对y=x求导得,y'=12x,于是kn=32n,
当n≥2时,kn-1kn=32(n-1)·32n=341n-1-1n,
所以k1k2+k2k3+k3k4+…+kn-1kn=341-12+12-13+13-14+…+1n-1-1n=341-1n