2025聊城高三上学期期中考试数学含解析

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1.答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”.
2.作选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.
3.非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.否则，该答题无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁；书写力求字体工整、符号规范、笔迹清楚.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合，即可根据交集定义求解.
【详解】由可得，
故，
故选：C
2. 若，则（ ）
A. 1B. 3C. 6D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】先由复数的四则运算求出，再计算，最后求其模长即得.
【详解】由，可得，
则.
故选：B.
3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分别举出反例即可判断ABD，由指数函数的单调性，即可判断C.
【详解】取，满足，但，故A错误；
取，满足，但是，故B错误；
因为在上单调递减，由可得，故C正确；
取，满足，但是，故D错误；
故选：C
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由余弦的和差角公式可得的值，从而可得的值，再由余弦的二倍角公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，且，
则，
又，
所以.
故选：A
5. 若向量，则“”是“”（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先根据共线向量的坐标公式列方程，求出的值，再根据充要条件的判断方法即得.
【详解】因，
由，可得，解得或.
由“”可推出“或”成立，
而由“或”推不出“”成立，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
6. 在中，，其外接圆的圆心为，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. 16D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量数量积的运算可得，由为外接圆圆心，可得，，从而得，利用基本不等式求解即可.
【详解】解：因为，
所以，所以，
因为为外接圆圆心，
过作于，则为中点，

所以，
同理可得，
所以，
又因为，
所以，
所以
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D.
7. 设，若为的最小值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，先求得时的最小值，再由导数可得时的最小值，再由为的最小值列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】当时，，对称轴为，
当时，即，，
当时，即，，不符合题意，所以，
当时，，则，
令，则，
当时，f′x0，则单调递增，
则是函数的极小值点，
又为的最小值，则满足，
即，解得，又，
所以实数的取值范围是0,1.
故选：A
8. 若函数的定义域为，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得（），，从而得数列是等差数列，求出其通项公式，从而得，将代入，即可得答案.
【详解】由，
可得，
当时，数列是公差为2的等差数列，首项为，
所以，
所以，
所以.
故选：C．
【点睛】关键点睛：本题关键是得出是等差数列，从而得函数的解析式.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 数列中，记为数列的前项和，为数列的前项积，若，，则（ ）
A. B.
C. 数列是单调递增数列D. 当取最大值时，或
【答案】ABD
【解析】
【分析】由条件确定为等比数列，再结合通项公式及求和公式逐项判断即可.
【详解】由得即首项为，公比为的等比数列，
所以，正确；
，正确；
，故数列是单调递减数列，错误；
因为首项为，公比为的等比数列，单调递减，，所以当取最大值时，或，正确；
故选：ABD
10. 若函数，则（ ）
A.
B. 当时，函数在区间上单调递增
C. 当时，将图象向左平移个单位后得到的图象
D. 当函数在上恰有2个零点和2个极值点时，的取值范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简，再结合正弦函数性质，来解决问题.
【详解】由函数整理得：
，
所以，故A错误；
当时，函数，由，可得：，
根据正弦函数在区间单调递增，
可知函数在区间上单调递增，故B正确；
当时，函数，
将图象向左平移个单位后得到：，
此时满足题意，故C正确；
当时，，
为了使得函数在上恰有2个零点和2个极值点，
只需要满足，解得，故D错误；
故选：BC.
11. 若点是函数图像上的两点，则（ ）
A. 对任意点，存在无数点，使曲线在点A，B处的切线的倾斜角相等
B. 当函数存在极值点时，实数的取值范围为
C. 当且在点A，B处的切线都过原点时，
D. 当直线AB的斜率恒小于1时，实数的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A，转化为在点A，B处导数值相同，由方程有无数解可得；选项B，由函数存在极值点，转化为导数存在变号零点，分离参数，即可判断；选项C，由切线斜率的两种求法建立等量关系可得；选项D，转化为函数单调递减，利用导数小于等于恒成立可求.
【详解】对于A，因为，
要使，则，
得，
所以，，即对任意，的值有无数个，故A正确：
对于B，，令，则，
且，则，即，
又，则，故B错误；
对于C，曲线y=fx在点A，B处的切线都过原点，
由，则点均不与原点重合，设曲线在处切线的斜率为，
则，由切线过原点，
则切线即直线的斜率，
所以，化简得，
若时，则，这与矛盾，
故，所以有，
同理可得，
所以由，得，故C正确．
对于D，对于任意点A，B，直线AB的斜率恒小于1，
则，即，
所以在上是减函数，
所以恒成立，
设，x∈R，且，
所以要使恒成立，则，即，故D正确；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键是通过切线方程得到，化解得到，同理得到，则有，即可判断C.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的最小正周期为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用，即可求解.
【详解】解：小正周期为，
故答案为：.
13. 我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，那么从现在起至少经过______分钟才能达到排放标准.（参考数据：，结果取整数）
【答案】16
【解析】
【分析】由题意得到不等式，两边取对数，得到，代入，求出答案.
【详解】由题意得，
即，
故，
因为，
所以，
故，
所以从现在起至少经过16分钟，才能达到排放标准.
故答案为：16
14. 设，若，使得对恒成立，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】求导，分与分类讨论求得，进而可得，构造函数，求得的范围，可求的取值范围.
【详解】由，可得，
令，可得，所以，
当时，在上单调递减，无最大值，不符合题意，
当时，方程解为，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，
因为，使得对恒成立，
所以，所以，
所以，
令，求导可得，
当，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所认
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】思路点睛：对于恒成立问题，通常是通过分离变量，构造函数，利用函数的最值解决有关问题.
四、解答题：本题共5小题，共77分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在处取得极小值.
（1）求m，n的值；
（2）若函数有3个不同零点，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，根据得到方程组，求出，，检验为极小值点，得到答案；
（2）在（1）基础上，得到的极大值为，极小值为，转化为y=fx与有3个不同的交点，所以.
【小问1详解】
，
，，
解得，，
故，
，
令得或，
令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故为极小值点，满足要求；
【小问2详解】
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
且，，
故的极大值为，极小值为，
又趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于，
综上，要想有3个不同零点，即有3个不同的实数根，
即y=fx与有3个不同的交点，
所以.
16. 记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知.
（1）求；
（2）若的面积为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理将边化角，再利用三角恒等变换化简，即可解决；
（2）利用三角形的面积公式，得，再利用余弦定理得，最后结合正弦定理即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以由正弦定理得，
化简得，
因为，即，所以，
得，因为，
所以，又，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，又的面积为，
所以，即，
由余弦定理可得，
所以，，，即
由正弦定理得，，
所以，
17. 函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数图象关于点成中心对称图形的充要条件为函数为奇函数，已知函数.
（1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形；
（2）判断函数的单调性，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）单调递增，
【解析】
【分析】（1）根据为奇函数，结合奇函数的定义即可求解,
（2）根据函数的单调性和奇偶性，即可根据得求解.
【小问1详解】
令，定义域为,则，故为奇函数,
因此为奇函数，故的图象关于点成中心对称图形，
【小问2详解】
由于，均为单调递增函数，故为定义域内的单调递增函数，
由于，且为单调递增函数，故单调递增，
故由可得，
即，
故，解得
18. 数列中，若，使得，都有成立，则称数列为“三合定值数列”，已知.
（1）求；
（2）设，证明：数列为等比数列，并求；
（3）设，求数列的前项和.
【答案】（1），，.
（2）证明见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）由，代入计算，即可得到结果；
（2）由条件可得，即可证明，结合的通项公式，分别讨论为奇数以及为偶数的情况，即可得到结果；
（3）根据题意，由条件可得，结合错位相减法代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
因为，所以，且，
则，即，解得，
又，即，解得，
又，即，解得，
所以，，.
【小问2详解】
因为，则，
且，即，所以，
即，又，则，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，即，
所以①，，
则②，，
两式相减可得，
即的奇数项为等差数列，且，
令，则，所以（为奇数），
又③，
由③①可得，，
所以的偶数项为等差数列，且，
令，则，即，
综上所述，.
【小问3详解】
因为，当为奇数时，，
当为偶数时，，
综上，，
则，
，
两式相减可得，
，
，
，
，所以.
【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键在于，分类讨论为奇数与偶数两种情况，从而得解.
19. 设函数，已知曲线在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）.
（2）当时，在区间上单调递增，
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，区间上单调递减，在区间上单调递增.
（3）
【解析】
【分析】（1）根据可得；
（2）先求得，根据，，，分类讨论即可.
（3）将问题转化为在上恒成立，先求，设，，根据，将分为和验证即可.
【小问1详解】
由题意，可得
【小问2详解】
由题意的定义域为，
，
当时，，故在区间上单调递增，
当时，令得，
当时，，当时，f′x>0，当时，f′x0，
故在区间上单调递增，
当时，，当时，f′x0，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上所述：
当时，在区间上单调递增，
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
【小问3详解】
由得，即，
设，则由题意在上恒成立，
，设，
则，
若时，，
当时，，，故，
故在区间上单调递增，故，即，
故hx在区间上单调递增，故，满足题意.
若，设，则，
则在区间上单调递增，故使当时，，
因，故在区间上，即h′x