专题47 椭圆-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

这是一份专题47 椭圆-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用），文件包含专题47椭圆-2025年高考数学一轮复习讲义知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测新高考专用原卷版docx、专题47椭圆-2025年高考数学一轮复习讲义知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测新高考专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。

【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】8
【考点1】椭圆的定义及应用8
【考点2】椭圆的标准方程15
【考点3】椭圆的简单几何性质21
【分层检测】26
【基础篇】26
【能力篇】35
【培优篇】40
考试要求：
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆的定义、 几何图形、标准方程及简单几何性质.
知识梳理
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
2.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝eq \f(2b2,a).
4.AB为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
真题自测
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
2．（2023·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
3．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
参考答案：
1．A
【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点，则，
因为为的中点，所以，即，
又在圆上，
所以，即，
即点的轨迹方程为.
故选：A
2．B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；
方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．
【详解】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
3．B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出OP的值；
方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；
方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出．
【详解】方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．
故选：B．
【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．
4．A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
5．B
【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
6．A
【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
7．13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.
考点突破
【考点1】椭圆的定义及应用
一、单选题
1．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（ ）
A．B．9C．16D．25
2．（2024·陕西西安·三模）已知定点与椭圆上的两个动点，，若，则的最小值为（ ）
A．B．13C．D．
二、多选题
3．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点为，，过的直线与交于，两点.若，.则（ ）
A．的周长为B．
C．的斜率为D．椭圆的离心率为
4．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知、，点为曲线上动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若为抛物线，则
B．若为椭圆，则
C．若为双曲线，则
D．若为圆，则
三、填空题
5．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为 .
6．（23-24高二上·山东青岛·期末）如图所示，已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上， ，则的离心率为 .

参考答案：
1．D
【分析】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案.
【详解】因为，所以，
当且仅当时，取到最大值.
故选：D.
2．C
【分析】设出点的坐标，再利用数量积的运算律及坐标表示，列出函数关系并求出最小值.
【详解】设椭圆上的点，而，
因此
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：C
3．ABD
【分析】利用椭圆的定义可得的周长，可判断A选项；设，由得，而可得，设，得，进而由椭圆的定义可得, ，从而可判断B选项；在中用正弦定理可得，进而求可得直线的斜率，可判断C选项；计算离心率可判断D选项.
【详解】对于A：过的直线与交于，两点且，，
连接，的平分线交于点，如图所示：
则的周长等于
故A正确；
对于B：设，，
则，
而.
设，则，
于是，即.
由，得,
又，得，
所以，故B正确；
对于C：在，由余弦定理可得：，
则，即.
在中，，又是中点，
所以，则，
于是，
所以的斜率为点在轴上方时，在轴下方时，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：ABD.
4．BCD
【分析】利用抛物线的定义以及数形结合可判断A选项；利用椭圆的定义以及数形结合可判断B选项；利用双曲线的定义以及数形结合可判断C选项；利用圆的方程以及数形结合可判断D选项.
【详解】对于A选项，如下图所示：

抛物线的焦点为，准线方程为，
设点在直线上的射影点为，由抛物线的定义可得，
所以，，
由图可知，当、、三点共线时，取最小值，
且其最小值为点到直线的距离，即，A错；
对于B选项，如下图所示：

对于椭圆，，，则，
则点为椭圆的右焦点，取为该椭圆的左焦点，
由椭圆的定义可得，
所以，，
当且仅当为射线与椭圆的交点时，取最小值，B对；
对于C选项，对于双曲线，，，则，
所以，点为双曲线的右焦点，
取为双曲线的右焦点，如下图所示：

当点在双曲线的右支时，由双曲线的定义可得，则，
所以，，
当且仅当为线段与双曲线右支的交点时，等号成立；
当点在双曲线的左支时，由双曲线定义可得，
则，所以，，
当且仅当为线段与双曲线左支的交点时，等号成立.
综上所述，，C对；
对于D选项，记点，对于点Mx,y，易知，，
，
如下图所示：

所以，，
当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立，
即，D对.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：利用二次曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：
（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；
（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解；
（3）在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.
5．
【分析】结合椭圆定理、勾股定理的逆定理与三角形面积公式计算即可得.
【详解】由椭圆定义可得，
则有，即，，
又，
由，故，
故.
故答案为：.
6．/
【分析】
设出，利用椭圆定义和图形对称性，借助于求得与的数量关系，接着在中求得，从而得到，最后在中运用余弦定理即可求得.
【详解】设，依题意，，因点在轴上，则，，
又因则，化简得，在中，，故,
在中由余弦定理，,即，
解得：，即，则离心率为.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：由椭圆的焦半径想到椭圆定义式，由垂直想到求三边利用勾股定理，由边的数量关系想到设元替换，遇到三角形的边角关系，要考虑能否用正、余弦定理.
反思提升：
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
【考点2】椭圆的标准方程
一、单选题
1．（2024·辽宁·二模）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·广西桂林·三模）已知椭圆C：的右焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，其中点A在x轴上方且，则B点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2021·全国·模拟预测）已知为3与5的等差中项，为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（ ）
A．曲线可表示为焦点在轴的椭圆
B．曲线可表示为焦距是4的双曲线
C．曲线可表示为离心率是的椭圆
D．曲线可表示为渐近线方程是的双曲线
4．（2023·全国·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线过的一个焦点和一个顶点，且与交于两点，则（ ）
A．的周长为8
B．的面积为
C．该椭圆的离心率为
D．若点为上一点，设到直线的距离为，则
三、填空题
5．（2023·广东·二模）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．若直线MN在y轴上的截距为3，且，则椭圆C的标准方程为 ．
6．（2024·上海·三模）舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615-1660）设计的一种作图工具，如图，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处的铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，当点在滑槽内作往复移动时，带动点绕转动，点也随之而运动，记点的运动轨迹为，点的运动轨迹为.若，，且，过上的点向作切线，则切线长的最大值为
参考答案：
1．D
【分析】根据椭圆的标准方程中分母都大于且不能相等即可求解.
【详解】因为方程表示的曲线是椭圆，
所以，解得且，
所以实数k的取值范围是.
故选：D.
2．D
【分析】由题意可知：，设，，根据向量共线可得，结合椭圆方程运算求解即可.
【详解】由题意可知：，可知，
设，，则，
因为，可得，整理得，
将代入方程可得，解得，
可知B点的横坐标为.
故选：D．
3．ACD
【分析】由已知条件先求出的值，从而可得曲线C的方程，然后根据曲线方程分析判断即可
【详解】由为3与5的等差中项，得，即，
由为4与16的等比中项，得，即，
则曲线的方程为或．
其中表示焦点在轴的椭圆，此时它的离心率，故A正确，C正确；
其中表示焦点在轴的双曲线，焦距为，渐近线方程为，故B不正确，D正确．
故选:ACD．
4．ACD
【分析】由题意直线过焦点与顶点，待定系数，得到椭圆方程.选项A，由椭圆定义的周长为；选项B，联立直线与椭圆可得交点坐标，可得的面积；选项C，；选项D，设椭圆上任一点，则由椭圆方程可得，再由距离公式代入坐标化简求解即可.
【详解】由题意知，椭圆焦点在轴上，直线过椭圆的一个焦点和一个顶点，
故直线与轴的交点为右焦点，
与轴的交点为为顶点，设为，
所以，则，
所以椭圆的方程为．
对于A，由椭圆的定义，
所以的周长为，故A正确．
对于B，由消得，，解得，或，
由，则，代入直线，，
故点坐标为，
所以的面积
，故B错误．
对于C，因为，所以的离心率，故C正确．
对于D，设，则．
因为，所以，
则
，故D正确．
故选：ACD．
5．
【分析】根据给定条件，借助几何图形及比例式求出点M，N的坐标，再代入椭圆方程求解作答.
【详解】由对称性不妨令点M在第一象限，令直线交y轴于点A，过N作轴于B，令，

因为轴，则，而O为的中点，又A为中点，而，
于是，由知，，显然，
因此，于是，又，
则，解得，而，则，
所以椭圆C的标准方程为.
故答案为：
6．
【分析】以滑槽所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，分别求出曲线和的方程，利用三角换元设椭圆上任意一点的坐标，先求出的最大值，然后利用圆的切线长的求解方法，即可求得答案.
【详解】如图，以滑槽所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，
因为，所以点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
则其方程为，
设，因为，所以，
因为，所以，
设，则，得，
所以，则点的轨迹是椭圆，其方程为，
设上的点，则
，
所以切线长为，
所以切线长的最大值为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查动点的轨迹方程的求法，考查与椭圆有关的最值问题，解题的关键是根据题意求出动点的轨迹方程，考查数形结合的思想.
反思提升：
(1)利用定义法求椭圆标准方程，要注意条件2a＞|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式.
(2)椭圆的标准方程的两个应用
①方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1与eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝λ(λ＞0)有相同的离心率.
②与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)共焦点的椭圆系方程为eq \f(x2,a2＋k)＋eq \f(y2,b2＋k)＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便.
【考点3】椭圆的简单几何性质
一、单选题
1．（2024·山西太原·一模）设双曲线（、均为正值）的渐近线的倾斜角为，且该双曲线与椭圆的离心率之积为1，且有相同的焦距，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（ ）
A．8B．C．10D．
二、多选题
3．（2024·江西南昌·三模）将椭圆上所有的点绕原点旋转角，得到椭圆的方程：，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．椭圆的离心率为
C．是椭圆的一个焦点D．
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）在平面直角坐标系xOy中，长、短轴所在直线不与坐标轴重合的椭圆称为“斜椭圆”，将焦点在坐标轴上的椭圆绕着对称中心顺时针旋转，即得“斜椭圆”，设在上，则（ ）
A．“斜椭圆”的焦点所在直线的方程为B．的离心率为
C．旋转前的椭圆标准方程为D．
三、填空题
5．（2025·黑龙江大庆·一模）已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为 .
6．（2023·广西·一模）如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆C与双曲线构成，一光线从左焦点发出，依次经过与C的反射，又回到点.，历时m秒；若将装置中的去掉，则该光线从点发出，经过C两次反射后又回到点历时n秒，若的离心率为C的离心率的4倍，则 .
参考答案：
1．C
【分析】运用共焦点条件得到双曲线中，由两曲线的离心率之积为1得，再用转化得到，进而得到.
【详解】由题意易得，在双曲线中，即，
由于椭圆离心率为，且由两曲线的离心率之积为1得.
，，，，又，
或，
故选：C.
2．C
【分析】根据题意结合椭圆定义可得的周长为，结合椭圆的性质分析求解.
【详解】椭圆的方程为，则，，，
连接，，
则由椭圆的中心对称性可知，
可知为平行四边形，则，
可得的周长为，
当AB位于短轴的端点时，AB取最小值，最小值为，
所以周长为．
故选：C.
3．ACD
【分析】根据题意，由椭圆的对称性，求解顶点坐标，从而可得，再由椭圆的性质对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】椭圆上所有的点绕原点旋转角，
得到椭圆的方程：，
设点Px,y在该椭圆上，则其关于的对称点代入椭圆方程有
，即，则该对称点位于椭圆方程上，
同理其关于的对称点代入椭圆方程有
，即，则该对称点位于椭圆方程上，
则关于对称，
所以，故D正确；
将代入可得，
可得椭圆长轴的顶点为，所以，故A正确；
将代入可得，
可得椭圆长轴的顶点为，所以，
则，则，故B错误；
所以焦点坐标为或，所以C正确；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键通过证明该非标准椭圆的对称性，从而得到的值，再按照普通椭圆的定义计算即可，也可将该过程想象成坐标系的旋转.
4．BCD
【分析】根据椭圆的对称性可联立以及与椭圆方程，进而可判断焦点所在的直线，即可判断A，根据直线与椭圆的交点间距离可求解长轴以及短轴长，即可求解BC，根据方程有解，利用判别式即可求解.
【详解】由题意可知，斜椭圆关于和对称，联立直线与，可得，联立直线与，可得，所以两焦点所在直线方程为，A选项错误；
由可知，与相交的两点之间距离等于短轴为，与相交的两点之间距离等于长轴为，故焦距为，故的离心率为，选项正确；
旋转不改变椭圆的长短轴大小，所以旋转前的椭圆焦点在轴上，曲线方程为选项正确；
因为，关于的方程有解，所以，解得，所以选项正确，
故选：BCD．
5．
【分析】设是椭圆的右焦点，分析可知为平行四边形，根据椭圆定义可得，利用余弦定理运算求解.
【详解】设是椭圆的右焦点，连接，

由对称性可知：，则为平行四边形，
则，即，
因为，则，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：.
6．/0.375
【分析】由离心率比求得长半轴与实半轴的比，根据椭圆与双曲线的定义求两种装置中光线路程之比即得．
【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，焦距，
由，
依次经过与C的反射，又回到点F1，则有，，
两式相减得，
将装置中的去掉，则有，
所以
故答案为：．
反思提升：
1.求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝eq \f(c,a)求解.
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝eq \r(1－\f(b2,a2))求解.
(3)构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
2.利用椭圆几何性质求值域或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系.
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·江西九江·三模）已知椭圆的左右焦点分别为,过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若线段的中点在轴上,的面积为,则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·福建泉州·二模）若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（ ）
A．B．C．或D．或
4．（2024·河南商丘·模拟预测）若动直线始终与椭圆（且）有公共点，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2024·河南开封·三模）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（ ）
A．C的焦距为2B．C的短轴长为
C．C的离心率为D．的周长为8
6．（2024·山东潍坊·二模）已知椭圆：的焦点分别为，，P为上一点，则（ ）
A．的焦距为B．的离心率为
C．的周长为D．面积的最大值为
7．（20-21高三上·江苏南通·期末）嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为，已知远月点到月球表面的最近距离为，则（ ）
A．圆形轨道的周长为
B．月球半径为
C．近月点与远月点的距离为
D．椭圆轨道的离心率为
三、填空题
8．（2022·广东佛山·三模）已知椭圆，、为的左、右焦点，是椭圆上的动点，则内切圆半径的最大值为 ．
9．（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 .
10．（2023·贵州毕节·一模）勒洛三角形是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，边长为半径，在另两个顶点间作圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形（如图），已知椭圆的焦点和顶点能作出一个勒洛三角形，则该勒洛三角形的周长为 ．
四、解答题
11．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
12．（2024·广东梅州·二模）已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆C的方程：
(2)求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值．
参考答案：
1．D
【分析】根据题意得到，, ,设，其它边全部用t表示,运用面积为构造方程求出t.再用椭圆定义求出a,进而求出c,b即可.
【详解】如图,为线段的中点,为线段的中点,,又轴, 轴.
在中, ,设,则的面积为,
,
,则C的方程为.
故选：D.
2．C
【分析】根据离心率和焦距可得，进而可得，即可得方程.
【详解】由题意可知：，可得，
则，所以该椭圆的方程为.
故选：C.
3．D
【分析】分焦点在轴或轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数，再求椭圆的焦距.
【详解】若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距，
若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距，
所以该椭圆的焦距为或.
故选：D
4．C
【分析】由直线方程得出直线过定点，再由直线与椭圆有公共点列出不等式，结合椭圆离心率公式计算即可．
【详解】由直线得，直线过定点，
由题意得，点在椭圆上或椭圆内部，
所以，则，所以椭圆焦点在轴上，
所以，
故选：C．
5．ABD
【分析】根据以及椭圆的对称性可得，进而可求解，即可根据选项逐一求解.
【详解】由于，所以,
故，
因此，故，
所以椭圆，
对于A，焦距为，故A正确，
对于B，短轴长为，B正确，
对于C，离心率为，C错误，
对于D，的周长为，D正确，
故选：ABD
6．ABD
【分析】根据椭圆方程求出，再结合椭圆的性质逐一判断即可.
【详解】设椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为，
则，故，
所以的焦距为，故A正确；
的离心率为，故B正确；
的周长为，故C错误；
对于D，当点位于椭圆的上下顶点时，的面积最大，
最大值为，故D正确.
故选：ABD.
7．BC
【分析】根据题意结合椭圆定义和性质分别求出各量即可判断.
【详解】由题，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道，环绕周期为，则可得环绕的圆形轨道周长为km，半径为km，故A错误；
则月球半径为，故B正确；
则近月点与远月点的距离为，故C正确；
设椭圆方程为，则（为月球的半径），
，故离心率为，故D错误.
故选：BC.
【点睛】本题考查椭圆的应用，解题的关键是正确理解椭圆的定义.
8．＃＃1.5
【分析】根据椭圆定义可得，结合内切圆半径，显然当为短轴顶点时最大，即内切圆半径的最大，此时，代入求解．
【详解】∵，则
∴的周长
∵内切圆半径，则内切圆半径的最大即为最大
显然当为短轴顶点时最大，此时
则
故答案为：．
9．
【分析】根据圆的性质和椭圆定义得到，再利用关系即可.
【详解】设圆的半径为，则，则，
所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆．
则，所以，
所以动圆的圆心的轨迹方程为．
故答案为：.
10．
【分析】根据给定条件，求出正三角形的边长，再利用弧长计算公式计算作答.
【详解】因为椭圆的焦点和顶点能作出一个勒洛三角形，令其半焦距为c，
则点或或或为一正三角形的三个顶点，
于是得正三角形边长为，显然勒洛三角形三段圆弧长相等，所对圆心角为，
所以该勒洛三角形的周长为.
故答案为：
11．(1)或
(2)存在，
【分析】（1）根据题意列出方程组，求出即可得解；
（2）由题意可将原问题转换为，设直线的方程为：，，联立椭圆方程，结合韦达定理可求得的值即可.
【详解】（1）∵的周长为8，的最大面积为，
∴，解得，或，．
∴椭圆C的方程为或等．
（2）

由（1）及易知F21,0，
不妨设直线MN的方程为：，，Mx1,y1，Nx2,y2，
联立，得．
则，，
若的内心在x轴上，则，
∴，即，即，
可得．
则，得，即．
当直线MN垂直于x轴，即时，显然点也是符合题意的点．
故在x轴上存在定点，使得的内心在x轴上.
12．(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆的离心率可得，的关系，设椭圆的方程，将点的坐标代入椭圆的方程，可得参数的值，即可得，的值，求出椭圆的方程；
（2）设与平行的直线的方程，与椭圆的方程联立，由判别式为0，可得参数的值，进而求出两条直线的距离，即求出椭圆上的点到直线的最大距离．
【详解】（1）由椭圆的离心率为，可得，
可得，设椭圆的方程为：，，
又因为椭圆经过点，所以，
解得，
所以椭圆的方程为：；
（2）设与直线平行的直线的方程为，
联立，整理可得：，
，可得，则，
所以直线到直线的距离．
所以椭圆上的点到直线的距离的最大值为．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024·江西·模拟预测）已知，，，动点满足与的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，且，的中点为，则（ ）
A．的轨迹方程为
B．的最小值为1
C．若为坐标原点，则面积的最大值为
D．若线段的垂直平分线交轴于点，则点的横坐标是点的横坐标的倍
三、填空题
3．（2024·浙江杭州·二模）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于 ．
四、解答题
4．（2024·山东淄博·二模）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且四个顶点所围成的菱形的面积为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设，满足．
①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值；
②求四边形ABCD面积的最大值．
参考答案：
1．D
【分析】根据题意，利用椭圆的定义，求得的面积为，结合，求得，进而得到，代入椭圆的方程，得到，转化为，即可求解.
【详解】由椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0，可得，
不妨设点在第一象限，由椭圆的定义知，
因为，可得，即，
可得，所以，
所以的面积为，可得，解得，
又因为，可得，即，
将点代入椭圆的方程，可得，整理得，
因为，可得，即，
解得和（舍去），即椭圆的离心率为.
故选：D.
2．BCD
【分析】根据求轨迹方程的方法即可求得选项A，结合椭圆的性质即可判断选项B，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求出的面积，利用导数可判断选项C，利用中点坐标公式及直线与直线的关系，即可求出点和点的横坐标，从而判断选项D.
【详解】对于选项A，设Mx,y，因为A-2,0，，所以，化简得，故A错误；
对于选项B，因为，则，，则，
所以为椭圆的右焦点，则，故B正确；
对于选项C，设的方程 ，代入椭圆方程，得，
设，则，，
所以，
令，则，
令，则，在为增函数，，，
所以，当且仅当时即等号成立，故C正确；
对于选项D，因为，，，
所以，则，
设，则，则，
所以，则点的横坐标是点的横坐标的倍，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用面积公式得出面积表达式，结合导数得出最值；二是根据垂直平分得出点之间的关系.
3．/
【分析】依题意，利用等腰三角形求得,再由余弦定理求出椭圆长轴长，作出圆锥的轴截面交椭圆于点，建立坐标系，利用三角形重心性质和相似三角形求出点坐标，代入椭圆方程即可求得半短轴长，利用离心率定义计算即得.
【详解】
如图，设,因,故，又,
由余弦定理，，
即,
设椭圆中心为,作圆锥的轴截面,与底面直径交于，与椭圆交于，
连交于，以点为原点，为轴，建立直角坐标系.
则,又由得,
从而则得,
不妨设椭圆方程为，把和点坐标代入方程，解得，
则，故
故答案为：.
4．(1)
(2)①证明见解析；②4
【分析】（1）根据题意，找出之间的关系式，列方程求解即可；
（2）①设出方程，直线与曲线联立，运用韦达定理，以及斜率公式求证即可；②结合①的信息，令，则，根据点到直线距离公式和三角形面积公式,结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）由题意，2ab=4，
又，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）如图所示
①设直线AB的方程为，设
联立，得
(*)
=
，，
整理得，
所以直线和直线的斜率之和为定值0．
②由①，不妨取，则
设原点到直线AB的距离为d，则
又，所以
当且仅当时取等号．
．
即四边形ABCD的面积的最大值为4．

【培优篇】
一、单选题
1．（2024·重庆·模拟预测）已知为坐标原点，椭圆的焦距为，点在椭圆上，且，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024·安徽合肥·三模）椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．过点的直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为8
B．若上存在点，使得，则的取值范围为
C．若直线与恒有公共点，则的取值范围为
D．若为上一点，，则的最小值为
三、填空题
3．（2021·河北张家口·三模）已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，为的中点，为坐标原点.若△是以为底边的等腰三角形，且△外接圆的面积为，则椭圆的长轴长为 .
参考答案：
1．A
【分析】根据椭圆的定义可得，在、中分别利用正弦定理即可求出，从而得到，利用诱导公式求出，再在利用余弦定理表示出，即可求出，从而得解.
【详解】因为焦距为，即，
因为，又，所以，，
在中由正弦定理，即，
在中由正弦定理，即，
因为，所以，
所以，又，所以，
又，所以，
所以，
在中，
解得或（舍去），
所以，
所以椭圆的方程为.
故选：A

【点睛】关键点点睛：本题关键是利用正弦定理推导出，从而得到，再在中利用余弦定理求出.
2．BD
【分析】对于A：根据椭圆的定义结合焦点所在的位置分析判断；对于B：分析可知当位于短轴顶点时，最大，此时，分类讨论焦点所在位置分析求解；对于C：因为直线过定点，可知定点在椭圆内或椭圆上，列式求解即可；对于D：设，根据两点间距离公式结合二次函数分析求解.
【详解】对于选项A：由椭圆定义可得的周长为
，
但焦点不一定在轴上，故A错误；
对于选项B：若，则，
当位于短轴顶点时，最大，此时，
可知，即，
当时，由，解得；
当时，由，解得；
综上所述：的取值范围为，故B正确；
对于选项C：因为直线过定点，则，即，
又因为，且，所以的取值范围为，故C错误；
对于选项D：若，即椭圆，
设，可得，
当时，，故D正确．
故选：BD．
【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法
（1）数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解；
（2）构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解；
（3）构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．
3．
【分析】由外接圆面积求半径，应用正弦定理求△中的，结合已知有，根据中点弦，应用点差法有即可求椭圆的长轴长.
【详解】由△外接圆的面积为，则其外接圆半径为.
∵△是以为底边的等腰三角形，设，则，
∴，得，
∴或.
不妨设点在轴下方，由△是以为底边的等腰三角形，知：或
又根据点差法可得，有，而此时焦点在轴上，舍去)
∵为椭圆的右焦点，
∴，故椭圆的长轴长为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：利用外接圆的面积求半径，由正弦定理、等腰三角形的性质求相关直线斜率，应用点差法列方程求椭圆参数a.
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
题号
1
2
3
4
5
6




答案
A
B
B
A
B
A




题号
1
2
3
4






答案
D
C
ABD
BCD






题号
1
2
3
4






答案
D
D
ACD
ACD






题号
1
2
3
4






答案
C
C
ACD
BCD






题号
1
2
3
4
5
6
7



答案
D
C
D
C
ABD
ABD
BC



题号
1
2








答案
D
BCD








题号
1
2








答案
A
BD