专题44 两条直线的位置关系-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】7
【考点1】两直线的平行与垂直7
【考点2】两直线的交点与距离问题13
【考点3】对称问题16
【考点4】直线系方程的应用24
【分层检测】28
【基础篇】28
【能力篇】36
【培优篇】38
考试要求：
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
知识梳理
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
(2)两直线的位置关系
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
4.对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.
1.“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”，“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2”＝0.
2.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在.
真题自测
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则AB的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则AB的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
二、填空题
4．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
参考答案：
1．C
【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得
，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，AB最小，
，此时.

故选：C
2．D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选：D.
3．C
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，AB的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解.
【详解】因为直线，即，令，
则，所以直线过定点，设，
将圆化为标准式为，
所以圆心，半径，
当时，AB的最小，
此时.
故选：C
4．②③
【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断.
【详解】依题意，，
当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；
当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取，则的图像如下，

显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；
对于②，当时，
当时，；
当时，显然取得最大值；
当时，，
综上：取得最大值，故②正确；
对于③，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小，

当时，，当且接近于处，，
此时，，故③正确；
对于④，取，则的图像如下，

因为，
结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然在上，满足取得最小值，
即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.
考点突破
【考点1】两直线的平行与垂直
一、单选题
1．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知直线与直线平行，则的值为（ ）
A．4B．C．2或D．或4
2．（23-24高二上·山东·阶段练习）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，若直线与的欧拉线垂直，则直线与的欧拉线的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2022·广东·一模）下列说法正确的是（ ）
A．已知直线与平行，则k的值是3
B．直线与圆的位置关系为相交
C．圆上到直线的距离为的点共有3个
D．已知AC、BD为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形ABCD的面积的最大值为10
4．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）费马原理是几何光学中的一条重要定理，由此定理可以推导出圆锥曲线的一些性质，例如，若点是双曲线（为的两个焦点）上的一点，则在点处的切线平分.已知双曲线的左､右焦点分别为，直线为在其上一点处的切线，则下列结论中正确的是（ ）
A．的一条渐近线与直线相互垂直
B．若点在直线上，且，则（为坐标原点）
C．直线的方程为
D．延长交于点，则的内切圆圆心在直线上
三、填空题
5．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知P，Q是抛物线上的两个动点，，直线AP的斜率与直线AQ的斜率之和为4，若直线PQ与直线平行，则直线PQ与之间的距离等于 ．
6．（2023·海南·模拟预测）已知直线，直线过点且与直线相互垂直，圆，若直线与圆C交于M，N两点，则 ．
参考答案：
1．B
【分析】根据两直线平行得到，求出的值，再检验即可.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解得或，
当时直线与直线重合，不符合题意；
当时直线与直线平行.
故选：B
2．B
【分析】由题求出欧拉线方程，即可得直线l方程，后可得交点坐标.
【详解】由的顶点坐标，可知其重心为.
注意到，直线BC斜率不存在，则为直角三角形，
则其垂心为其直角顶点，则欧拉线方程为：.
因其与垂直，则.
则，则直线与的欧拉线的交点坐标满足，即交点为.
故选：B
3．BC
【分析】A由直线平行的判定求参数，注意验证是否重合；B根据直线所过的定点与圆的位置关系判断即可；C由圆心到直线的距离与半径的关系即可判断；D设圆心到的距离分别为，则及，结合基本不等式求最大值即可判断.
【详解】A：由平行知：，则或，当时有，满足题设，当时有，满足题设，故或，错误；
B：由过定点，而在圆内，故它们的关系为相交，正确；
C：由题设知：圆的标准方程为，则圆心为，半径为，所以圆心到距离为，易知圆上点到直线距离为的点共有3个，正确；
D：设圆心到的距离分别为，则，又相互垂直，所以，而，即当且仅当时等号成立，故，故错误.
故选：BC
4．ABD
【分析】根据双曲线方程即可求出渐近线可判断A，由角平分线性质可得G点坐标，求出直线方程可判断C，设出B点坐标由条件可判断B，假设的内切圆圆心在直线上，由内心性质可判断D.
【详解】选项A：双曲线的一条渐近线方程为与相互垂直，故A正确；
选项BC：因为，所以，，
所以，，
又，所以，所以，
直线：，即，故C错误，
设，则，化简得：，
所以，则，故B正确；

选项D：，直线，
联立，化简得：，解得，
所以，，
所以直线，
因为的内切圆圆心在直线直线：上，若又在直线上，
则内切圆圆心为，圆心到直线的距离为：
，
圆心到直线的距离为：
，即，
所以点也在的角平分线上，即点为的内切圆
圆心，圆心在直线上，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：充分利用角平分线的性质得出G点坐标，根据直线垂直关系及点到直线距离公式可判断各项.
5．
【分析】设出直线的方程，联立曲线，可得与纵坐标有关韦达定理，借助韦达定理转换题目条件计算可得直线所过定点，或结合直线PQ与直线平行可得具体方程，后借助平行线间的距离公式计算即可得..
【详解】法一：
显然直线PQ的斜率不为0，故可设，
由，可得，
如图，设Px1,y1，Qx2,y2，则，
所以，
则，同理，
由题意，得，
所以，则，
即，直线，故直线PQ恒过定点．
故当直线PQ与直线平行时，
两直线之间的距离等于定点到直线的距离，
即.
法二：
由题意，设，
由，得，
由，解得．
设，，则，，又，
所以，
由题意，，解得，故两平行直线之间的距离为．
故答案为：.
6．
【分析】根据题意求得直线的方程为，以及圆C的圆心坐标和半径，结合圆的弦长公式，即可求解.
【详解】由直线，可得斜率，
因为且直线过点，所以直线的斜率为，
所以的方程为，
又由圆，即，
可得圆的圆心坐标为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
所以弦长.
故答案为：.
反思提升：
1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
【考点2】两直线的交点与距离问题
一、单选题
1．（2023·北京东城·二模）已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（ ）
A．个B．2个C．个D．无数个
2．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知点在抛物线上，则C的焦点与点之间的距离为（ ）
A．4B．C．2D．
二、多选题
3．（2023·河北·模拟预测）已知函数，若直线与函数在上有1个公共点，在上有个公共点，则的值不可能为（ ）
A．1B．C．D．
4．（2024·甘肃定西·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A．的最小值是2
B．的最小值是
C．的最小值是
D．的最小值是
三、填空题
5．（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 .
6．（2022·江苏·模拟预测）过抛物线的焦点作圆的切线，切点为.若，则 ， .
参考答案：
1．C
【分析】考虑三条直线交于一点或与或平行时，满足条件，求出答案.
【详解】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分，
联立与，解得，
则将代入中，，解得，
当与平行时，满足要求，此时，
当与平行时，满足要求，此时，
综上，满足条件的的值共有3个.
故选：C
2．D
【分析】根据在抛物线上可求的值，求出焦点坐标后结合距离公式可得正确的选项.
【详解】因为在抛物线上，故，
整理得到：即，
解得或（舍），故焦点坐标为，
故所求距离为，
故选：D.
3．AD
【分析】作出函数的图象，由直线与函数在上有1个公共点，可得，又在上有2个公共点，可得且，计算可得的取值范围．
【详解】作出函数的图象如图所示，

直线与函数在上有个公共点，
与圆在轴上方的半圆相切，
，即，
直线与在上有个公共点，
且，
且，，，，
．
故选：AD．
4．BC
【分析】利用两点距离公式将题干中复杂式子转化为几个点间的距离，结合抛物线的定义，作出图形，数形结合即可得解.
【详解】设，
易知点的轨迹是抛物线的上半部分，
抛物线的准线为直线到准线的距离，为抛物线的焦点，
对于AB，
，
所以的最小值为，故A错误，B正确；
对于CD，
，
所以的最小值是，故C正确，D错误.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是转化根号内的式子，联想到两点距离公式，从而数形结合即可得解.
5．
【分析】联立直线求解交点，即可根据点斜式求解直线方程.
【详解】联立与可得，
故交点为，倾斜角为，所以斜率为1，
故直线方程为，即，
故答案为：
6．
【分析】利用切线长公式可得，然后利用两点间距离公式可得.
【详解】由题可知抛物线的焦点为，圆心的坐标为，圆的半径，
所以.
由，
解得或.
又，所以.
故答案为：，.
反思提升：
(1)求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.
【考点3】对称问题
一、单选题
1．（2024·天津和平·二模）过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆，直线（且不同时为0），下列说法正确的是（ ）
A．当直线经过时，直线与圆相交所得弦长为
B．当时，直线与关于点对称，则的方程为：
C．当时，圆上存在4个点到直线的距离为
D．过点与平行的直线方程为：
4．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知直线和三点，，，过点C的直线与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点．下列结论正确的是（ ）
A．P在直线l上，则的最小值为
B．直线l上一点使最大
C．当最小时的方程是
D．当最小时的方程是
三、填空题
5．（2023·福建厦门·模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 .
6．（23-24高二上·福建三明·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ．
参考答案：
1．A
【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案.
【详解】圆的圆心为，
直线关于直线对称时，与直线垂直，
所以直线的方程为，
由解得，所以.
故选：A.
2．B
【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得.
【详解】
如图，设点关于直线的对称点为，
则得，即，
由题意知与直线不平行，故，
由，得，即，
故直线的斜率为，
直线的直线方程为：，
令得，故，
令得，故由对称性可得，
由得，即，
解得，得或，
若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件．
故，
故选：B.
3．AB
【分析】对于A选项：利用直线经过-1,1得到x+y=0，求出圆心到直线的距离，借助圆的弦长公式计算即可;
对于B选项：利用直线关于点对称的直线的求法，求解即可;
对于C选项：借助圆心到直线的距离，半径，以及圆上的点到直线的距离的大小关系判断即可;
对于D选项：借助直线平行的相关知识，求出与之平行的直线即可.
【详解】因为圆，所以圆心为，半径，
对于A选项：因为直线经过-1,1，所以，，
所以圆心到直线的距离为，
直线与圆相交所得弦长为，故A选项正确；
对于B选项：当时，直线，因为直线与关于点对称，所以直线与平行, 由于到的距离为2，所以到的距离也为2，
所以的方程为：，故B选项正确；
对于C选项：当时，直线,此时圆心到直线的距离为，
由于半径，
所以在直线的右侧：，所以在直线的右侧不存在满足条件的点；
在直线的左侧：，所以在直线的左侧存在满足条件的点有2个；
所以圆上只存在2个点到直线的距离为，故C选项错误;
对于D选项：过点与平行的直线方程可设为: ，
将点代入，所以，即,
所以过点与平行的直线方程为: ，故D选项错误.
故选：AB.
4．BC
【分析】对于A：求出点关于直线l的对称点，然后通过求最小值；对于B：通过，当三点共线时取最大值来求解；对于C：设，求出坐标，表示出，利用基本不等式求最小值；对于D：表示出，利用基本不等式求最小值.
【详解】对于A：设点关于直线l的对称点为，
则，解得
，
当三点共线时取最小值.A错误；

对于B：，当三点共线时取最大值，
又，即，
联立，解得，
即直线l上一点使最大，B正确；
对于C：设，
当时，，当时，，
即，
，
当且仅当，即时等号成立，
此时，即，C正确；
对于D：，
当且仅当，即时等号成立，
此时，即，D错误.
故选：BC.
5．或
【分析】根据题意，求出与轴的交点，设出直线的方程，根据点关于直线的对称点在轴上，列出方程，即可得到结果.
【详解】

直线交轴于点，交轴于点，
设直线的方程为，则关于直线的对称点在轴上，
所以，则的中点在直线上，所以①，
又②，联立①②可得或，
所以直线的方程为或.
故答案为：或.
6．
【分析】结合两点间线段最短，只需求其中一个点关于直线的对称点，再求对称点与另一点的距离即可.
【详解】

由题可知在的同侧，
设点关于直线的对称点为，
则，解得即．
将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又，
所以直线的方程为，
设将军在河边饮马的地点为，
则即为与的交点，
，解得，
所以．
故答案为：
反思提升：
(1)光的反射问题实质是点关于直线的对称问题，要注意转化.
(2)直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解.
(3)求直线l1关于直线l对称的直线l2，有两种处理方法：
①在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程.
②设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1，y1)(P1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程.
【考点4】直线系方程的应用
一、单选题
1．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（ ）.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（23-24高三上·山东临沂·期末）过圆C：外一点作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知圆，直线，下列说法正确的是（ ）
A．无论取何值，直线与圆相交
B．直线被圆截得的最短弦长为
C．若，则圆关于直线对称的圆的方程为
D．直线的方程能表示过点的所有直线的方程
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，下列说法正确的是（ ）
A．若圆关于直线对称，则
B．的最小值为
C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点
D．若（为坐标原点）四点共圆，则
三、填空题
5．（23-24高三上·重庆九龙坡·阶段练习）已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是 ．
6．（23-24高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 .
参考答案：
1．A
【分析】
首先求直线所过定点，再判断选项.
【详解】，
，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限
故选：A
2．A
【分析】首先求以为直径的圆的方程，再让两圆相减得到直线的方程，即可求解直线所过的定点.
【详解】以为直径的圆的方程为，
即，圆，
两圆方程相减就是直线的方程，即可，
整理为，
联立，得，
所以直线恒过定点.
故选：A
3．AC
【分析】求出直线所过定点的坐标，判断定点与圆的位置关系，可判断A选项；求出圆心到直线距离的最大值，结合勾股定理可判断B选项；当时，求出圆关于直线的对称圆的方程，可判断C选项；
【详解】对于A选项，直线的方程可变形为，
由可得，所以，直线过定点，
因为，所以，点在圆内，
故无论取何值，直线与圆相交，A对；
对于B选项，圆心为坐标原点，半径为，
当时，点到直线的距离取最大值，且其最大值为，
此时，直线被圆截得的弦长最短，且最短弦长为，B错；
对于C选项，当时，直线的方程为，
设圆心关于直线的对称点为，
则线段的中点在直线上，则①，
直线，且直线的斜率为，则②，联立①②可得，，
故若，则圆关于直线对称的圆的方程为，C对；
对于D选项，若直线表示直线，则，无解，
且直线过点，故直线不能表示直线，D错.
故选：AC.
4．BCD
【分析】根据对称性判断直线过圆心，即可判断A，将直线的方程整理为，即可说明直线所故定点，当定点为弦的中点时，此时弦长最短，根据弦长公式判断B，根据圆系方程，可判断C，根据几何关系，设出过四点的圆的方程，再求过圆和圆的交点的直线的方程，代入定点，即可判断D.
【详解】A.若圆关于直线对称，则直线过圆的圆心0,3，即，得，故A错误；
B. ，整理为，不管为何值，直线始终过点，当是线段的中点时，此时弦长最短，
圆，圆心是0,3，半径，
圆心0,3和点的距离是，所以最短弦长，故B正确；
C. 当时，直线，
曲线，即，
所以曲线为过直线与圆交点的曲线方程，故C正确；
D.若四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心，
的中点为，所以的垂直平分线方程为，所以，
圆的方程为，整理为，
直线是圆与圆的交线，圆与圆的方程相减得
所以直线的方程是，
将直线所过的定点坐标代入上式得，得，
所以直线，即直线的斜率为，即，则，故D正确.
故选：BCD
5．
【分析】
首先化简直线方程，求出定点的坐标，再代入点关于直线对称的点的计算公式，即可求解.
【详解】由直线化为，
令，解得，于是此直线恒过点．
设点P关于直线的对称点为，
则，解得，∴．
故答案为：
6．
【分析】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解.
【详解】设所求直线方程为，
点在直线上，
，
解得，
所求直线方程为，即．
故答案为：.
反思提升：
几种常见的直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C).
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R).
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
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【基础篇】
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（ ）
A．20B．C．0D．24
2．（24-25高二上·全国·课后作业）平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高三上·河北保定·开学考试）函数图象上的点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．4B．C．D．
二、多选题
5．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）若三条直线可以围成一个三角形，则实数的值可以为（ ）
A．B．0C．1D．3
6．（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（ ）
A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为
B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是
C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是
D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是
7．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线，下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．当时，关于轴的对称直线为
C．直线一定经过第四象限
D．点到直线的最大距离为
三、填空题
8．（24-25高二·上海·随堂练习）若与平行，则两直线之间的距离为 .
9．（23-24高二上·江苏南京·期末）求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程 ．
10．（23-24高二下·山西·期中）已知圆：，则圆心到直线：的最大距离为 .
四、解答题
11．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）已知两条平行直线与之间的距离是．
(1)求直线关于直线对称的直线方程；
(2)求直线关于直线对称的直线方程．
12．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知直线：和：．
(1)若与互相垂直，求实数的值；
(2)若与互相平行，求与间的距离．
参考答案：
1．B
【分析】根据两直线垂直可求出的值，将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，再将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，由此可得出的值.
【详解】已知直线的斜率为，直线的斜率为．
又两直线垂直，则，解得．
，即，
将交点代入直线的方程中，得．
将交点代入直线的方程中，得．
所以，．
故选：B．
2．C
【分析】设，借助两点间距离公式代入计算后化简即可得.
【详解】设，由，所以6，
整理得，即动点的轨迹方程为.
故选：C.
3．A
【分析】设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为，利用导数的几何意义求得切点，再求出切点到直线的距离，即得答案.
【详解】设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为，
设切点为，
又因为，所以，解得，
所以切点，
又因为点到直线的距离为，
所以函数图象上的点到直线的距离的最小值是.
故选：A.
4．D
【分析】根据平行线间方程的特征，结合平行线间距离公式进行求解即可.
【详解】因为和互相平行，
所以，解得.
直线可以转化为，
由两条平行直线间的距离公式可得.
故选：D
5．BD
【分析】由题意可得三条直线两两都不平行且不同时过同一个点，写出限定条件即可得结果.
【详解】根据题意可知三条直线两两都不平行，且不同时过同一个点；
当平行时可得，此时不合题意，因此；
联立，即，解得交点坐标为0,1，
因此0,1不在上，即可得，可得；
所以若三条直线围成一个三角形，只需且即可.
故选：BD
6．ABD
【分析】确定关于直线对称点，确定关于直线对称点，利用两点之间距离最小来判断.
【详解】对于A，如图①所示，设点关于直线的对称点为，
由解得，
所以将军在河边饮马的地点的坐标为，故A错误；
对于B，如图②所示，因为点关于直线的对称点为，
将军先去河流饮马，再返回军营的最短路程是，故B错误；
对于C，如图③所示，因为点关于直线的对称点分别为，；
点关于直线的对称点为，
所以将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程，故C正确；
对于D，如图④所示，设点关于直线的对称点分别为，
由解得；点关于直线的对称点为，
将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程是，故D错误.
故选：ABD.


7．BD
【分析】A.由判断；B.由时，直线方程为判断；C.由时，直线方程为判断；D.点到定点的距离判断.
【详解】对于A，直线，所以直线过定点，故A错误；
对于B.当时，直线方程为，关于轴的对称直线为，故B正确；
对于C，当时，直线方程为，直线不经过第四象限，故C错误；
对于D，如图所示：
设，由图象知：，点到直线的最大距离为，故D正确；
故选：BD
8．
【分析】先根据直线与平行求出参数，再由两平行直线间的距离公式可得答案.
【详解】∵直线与平行，∴，解得，
∴直线，直线，
∴直线与之间的距离，
故答案为：.
9．
【分析】先求出直线和的交点，再设直线，代入交点求解即可．
【详解】由得，
设直线为，代入解得，
故方程为，
故答案为：．
10．5
【分析】求出圆心坐标，与直线过定点坐标，再求两点间的距离，即可得解.
【详解】圆：的圆心为，半径，
直线：，即，令，解得，
所以直线过定点，则圆心到直线的最大距离为.
故答案为：
11．(1)
(2)
【分析】（1）利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解.
（2）根据所求直线过已知两直线的交点，以及上的任一点关于对称的点在所求直线上即可求解.
【详解】（1）因为直线：与：平行，所以，
又两条平行直线：与：之间的距离是，
所以解得或（舍去），
即直线：，：，
设直线关于直线对称的直线方程为，
则，解得或7（舍去），
故所求直线方程为，
（2）设直线关于直线对称的直线为，
由，解得，所以直线经过点，
在上取一点关于对称的点设为，
则有，解得，所以直线经过点，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，
即：.
12．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用直线垂直的充要条件求出的值；
（2）利用直线平行的充要条件求出的值，进一步求出两平行线间的距离．
【详解】（1）直线和．
当直线与互相垂直，故，
解得；故；
（2）当直线与互相平行，则，故直线的方程为；
所以直线与间的距离．
【能力篇】
一、单选题
1．（24-25高二上·上海·课堂例题）过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（ ）
A．θB．C．D．
二、多选题
2．（23-24高二上·福建莆田·期中）以下四个命题叙述正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距是1
B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是
C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是2
D．直线，若，则或2
三、填空题
3．（24-25高二上·全国·课后作业）直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是 ．
四、解答题
4．（23-24高二上·天津南开·期中）已知直线与直线．
(1)当m为何值时，与相交；
(2)当m为何值时，与平行，并求与的距离；
(3)当m为何值时，与垂直．
参考答案：
1．C
【分析】利用直线与直线对称，得到倾斜角之间的关系，然后对选项进行逐个分析判断即可.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
因为直线和直线关于直线对称，
所以直线和直线也关于直线对称 ，
所以或，
对于A，当时，，所以A正确，
对于B，当时，，所以B正确，
对于C，若，则不成立，且也不成立，所以C错误，
对于D，当时，，所以D正确.
故选：C
2．BC
【分析】求出直线的横截距判断A；解方程组求出判断B；求出点到直线的距离判断C；验证判断D.
【详解】对于A，直线在轴上的截距是，A错误；
对于B，由解得，即，则，解得，B正确；
对于C，依题意，，C正确；
对于D，当时，直线重合，D错误.
故选：BC
3．
【分析】利用两点间距离公式求出，再分析得到最值即可.
【详解】因为：与直线：的交点坐标为，
所以，
若最大，则最小，则最小，
而，当且仅当时取等，此时，
所以的最大值是．
故答案为：
4．(1)且
(2)，
(3)或
【分析】（1）利用两直线相交的充要条件，运算得解；
（2）利用两直线平行的充要条件及两平行线间距离公式，运算得解；
（3）利用两直线垂直的充要条件，运算得解.
【详解】（1）由直线与相交，则，解得且.
（2）由直线与平行，则，解得，
所以此时直线，，
所以与的距离为.
（3）由直线与垂直，则，解得或.
【培优篇】
一、单选题
1．（23-24高二下·河南焦作·期末）平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2024·广东珠海·一模）中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系中，到两定点，距离之积为常数的点的轨迹C是双纽线.若是曲线C上一点，则下列结论正确的是（ ）

A．曲线C的图象关于原点对称
B．曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3
D．曲线C上有且仅有3个点P满足
三、填空题
3．（23-24高三下·全国·强基计划），，有零点，则的最小值为 ．
参考答案：
1．B
【分析】由已知可得，，，的坐标，根据垂直关系联立方程组可分别求出，的坐标，根据，，三点在圆上，分别求线段，的垂直平分线所在直线方程，通过联立解方程组求解圆心的坐标，即可求解圆的方程.
【详解】

由得，由得，
由得，
因为，对角线与相交于点，所以，
因为，所以所在直线方程为，
与联立方程组解得，
因为，所以所在直线方程为，
与联立方程组解得，
因为，所以线段的垂直平分线方程为，
线段的垂直平分线方程为，
联立，解得，所以，
又，
所以圆的方程为.
故选：.
【点睛】方法点睛：求圆的方程的常用方法：
（1）直接法：直接求出圆心坐标和圆的半径，写出方程；
（2）待定系数法：根据已知条件设出方程，代入求解.
2．AC
【分析】根据题意求出轨迹的方程，把代入的方程可判断；令，，得的范围可判断；由曲线的方程可得，根据可判断；由题意得，设，结合题意计算可判断.
【详解】对于选项A：
化简得到：，
将代入可得，
所以曲线.
把代入得，
所以，曲线的图象关于原点对称，故A正确；
对于选项B：令解得，即：曲线经过，
结合图象，得.
今，得，
令，得，
因此，结合图象曲线只能经过3个整点.
故B错误；
对于选项C：可得，
所以曲线上任意一点到坐标原点的距离，
即：都不超过3，故C正确；
对于选项D：点满足，则在垂直平分线上，则，
设，则，
，
故只有原点满足，故D错误.
故选：.
【点睛】方法点睛：相关点代入法求轨迹方程的方法：
一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来寻找代换关系.
（1）求谁设谁，设所求点的坐标为；
（2）所依赖的点称之为“参数点”，设为等；
（3）“参数点”满足某个（些）方程，可供代入；
（4）寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值；
（5）代入方程，消去参数值.
3．45/0.8
【分析】将方程看成关于的二元一次方程，转化为原点到直线的距离的平方，再结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意可知，方程有实数根，
将关于的方程看成关于的直线方程，
则可视为直线上的点到原点的距离的平方，
其最小值即为原点到直线的距离的平方，
所以距离的平方，
，
令，则，
因为，所以，当且仅当，即时取等号，
则，
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是方程主次元的转化，构造的几何意义.
方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行