专题21 同角三角函数的基本关系及诱导公式-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【知识梳理】2
【真题自测】2
【考点突破】3
【考点1】同角三角函数基本关系式的应用3
【考点2】诱导公式的应用4
【考点3】同角关系式和诱导公式的综合应用6
【分层检测】7
【基础篇】7
【能力篇】8
【培优篇】9
考试要求：
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cs2x＝1，eq \f(sin x,cs x)＝tan x.
2.能利用单位圆中的对称性推导出eq \f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
知识梳理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2.三角函数的诱导公式
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α；sin α＝tan α·cs α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全国·高考真题）（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ．
三、解答题
6．（2023·全国·高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
考点突破
【考点1】同角三角函数基本关系式的应用
一、单选题
1．（2024·四川眉山·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河南三门峡·模拟预测）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知角的终边过点，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）美国数学史家、穆伦堡学院名誉数学教授威廉・邓纳姆在1994年出版的The Mathematical Universe一书中写道：“相比之下，数学家达到的终极优雅是所谓的‘无言的证明’，在这样的证明中一个极好的令人信服的图示就传达了证明，甚至不需要任何解释．很难比它更优雅了．”如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，则可推导出的正确选项为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）若，则 .
6．（2024·广东广州·二模）已知复数的实部为0，则 ．
反思提升：
1.(1)利用sin2α＋cs2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以实现角α的弦切互化.
(2)形如eq \f(asin x＋bcs x,csin x＋dcs x)，asin2x＋bsin xcs x＋ccs2x等类型可进行弦化切.
2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二.
【考点2】诱导公式的应用
一、单选题
1．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知，则（ ）
A．3B．C．D．2
2．（16-17高三上·广西梧州·阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）下列选项中，与的值相等的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·海南海口·二模）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的图象关于点中心对称
C．
D．在上的值域为
三、填空题
5．（2024·河北邯郸·二模）正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正边边形，设，则 ， ．

6．（2024·湖南长沙·一模）已知O为坐标原点，过作x轴的垂线交直线于点B，C满足，过B作x轴的平行线交E：于点P（P在B的右侧），若，则 .
反思提升：
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cs(5π－α)＝cs(π－α)＝－cs α.
【考点3】同角关系式和诱导公式的综合应用
一、单选题
1．（2024·福建南平·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·福建厦门·三模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（23-24高一上·河南三门峡·期末）下列等式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·黑龙江·模拟预测）关于函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．是函数的一条对称轴
B．是函数的一个对称中心
C．将曲线向左平移个单位可得到曲线
D．函数在的值域为
三、填空题
5．（2024·福建厦门·一模）若，则 ．
6．（2023·河南郑州·模拟预测）已知，则 .
反思提升：
1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,3)＋α与eq \f(π,6)－α，eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)－α等，常见的互补关系有eq \f(π,6)－θ与eq \f(5π,6)＋θ，eq \f(π,3)＋θ与eq \f(2π,3)－θ，eq \f(π,4)＋θ与eq \f(3π,4)－θ等.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知正方体的外接球的球心为，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知，则（ ）
A．B．0C．D．
3．（2024·浙江绍兴·二模）若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·山东聊城·三模）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2022·重庆涪陵·模拟预测）已知向量，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．的值为2D．
6．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）
A．B．
C．D．
7．（2020·全国·模拟预测）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最大值为
三、填空题
8．（2024·北京顺义·二模）在中，，，，则的面积为 .
9．（2024·河北承德·二模）已知，则 .
10．（2024·安徽池州·模拟预测）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为米的筒车按逆时针方向做每分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，分钟时，该盛水筒距水面距离为，则 .
四、解答题
11．（21-22高二下·吉林·阶段练习）已知，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
12．（22-23高一上·安徽黄山·阶段练习）（1）已知角终边上一点，求的值；
（2）化简求值：
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·湖南常德·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024·浙江温州·二模）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，为其终边上一点，若角的终边与角的终边关于直线对称，则（ ）
A．B．
C．D．角的终边在第一象限
三、填空题
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知，是方程的两个根，则 ．
四、解答题
4．（2023·贵州·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若，，在上，且，求的长.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·河南南阳·一模）已知三个锐角满足，则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2022·湖北武汉·三模）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，．则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．若函数，则的值域为
C．若函数，则的值域为
D．，
三、填空题
3．（2023·全国·模拟预测）若，则的最大值为 ，的最小值为 ．
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin__α
－sin__α
sin__α
cs__α
cs__α
余弦
cs α
－cs__α
cs__α
－cs__α
sin__α
－sin__α
正切
tan α
tan__α
－tan__α
－tan__α
口诀
奇变偶不变，符号看象限