专题41 向量法求空间角-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】5
【考点1】异面直线所成的角5
【考点2】直线与平面所成的角6
【考点3】平面与平面的夹角9
【分层检测】11
【基础篇】11
【能力篇】14
【培优篇】15
考试要求：
1.掌握空间向量的应用.
2.会用空间向量求空间角和距离.
知识梳理
1.两条异面直线所成的角
设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，
则cs θ＝|cs〈u，v〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(u·v,|u||v|)))＝eq \f(|u·v|,|u||v|).
2.直线和平面所成的角
直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cs〈u，n〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq \f(|u·n|,|u||n|).
3.平面与平面的夹角
(1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角.
(2)两平面夹角的计算：设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cs θ＝|cs〈n1，n2〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(n1·n2,|n1||n2|)))＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|).
4.点P到直线l的距离
设eq \(AP,\s\up6(→))＝a，u是直线l的单位方向向量，则向量eq \(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq \(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq \r(\a\vs4\al(|\(AP,\s\up6(→))|2－|\(AQ,\s\up6(→))|2))＝eq \r(a2－（a·u）2).
5.点P到平面α的距离
若平面α的法向量为n，平面α内一点为A，则平面α外一点P到平面α的距离d＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)，如图所示.
6.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.
1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cs〈a，n〉|，不要误记为cs θ＝|cs〈a，n〉|.
2.二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
真题自测
一、解答题
1．（2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
2．（2023·全国·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
3．（2023·全国·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
4．（2022·全国·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
5．（2022·全国·高考真题）如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
考点突破
【考点1】异面直线所成的角
一、单选题
1．（2024·陕西·模拟预测）在平行六面体中，已知，，则下列选项中错误的一项是（ ）
A．直线与BD所成的角为90°
B．线段的长度为
C．直线与所成的角为90°
D．直线与平面ABCD所成角的正弦值为
2．（2023·云南保山·二模）已知正方体，Q为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点Q的轨迹为（ ）
A．圆B．直线C．抛物线D．椭圆
二、多选题
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在边长为1的正方体中，点为线段上的动点，则（ ）
A．不存在点，使得
B．的最小值为
C．当时，
D．若平面上的动点满足，则点的轨迹是直线的一部分
4．（2025·甘肃张掖·模拟预测）如图所示，四面体的各棱长均为分别为棱的中点，为棱上异于顶点的点，则以下结论正确的为（ ）
A．
B．直线与所成角的余弦值为
C．四面体的外接球体积为
D．平面截四面体所得的截面图形的周长最小值为8
三、填空题
5．（2024·辽宁抚顺·三模）在直三棱柱中，，为的中点，点满足，则异面直线所成角的余弦值为 ．
6．（2023·河南开封·二模）已知矩形，，过作平面，使得平面，点在内，且与所成的角为，则点的轨迹为 ，长度的最小值为 ．
反思提升：
用向量法求异面直线所成角的一般步骤：
(1)建立空间直角坐标系；
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)注意两异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
【考点2】直线与平面所成的角
一、解答题
1．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，.
(1)若为的中点，证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
2．（2024·山东淄博·二模）已知直角梯形，，，，为对角线与BD的交点．现以为折痕把折起，使点到达点的位置，点为的中点，如图所示：
(1)证明：平面PBM；
(2)求三棱锥体积的最大值；
(3)当三棱锥的体积最大时，求直线AB与平面所成角的正弦值．
3．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）由平行六面体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，其体积为5，底面ABCD为菱形，AC与BD交于点O，．

(1)证明平面；
(2)证明平面平面；
(3)若，，与底面ABCD所成角为60°，求与平面所成角的余弦值．
4．（2024·贵州贵阳·二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.

(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.
5．（2024·河南驻马店·二模）在如图①所示的平面图形中，四边形为菱形，现沿进行翻折，使得平面，过点作，且，连接，所得图形如图②所示，其中为线段的中点，连接.

(1)求证：平面；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
6．（2024·新疆·三模）已知底面是平行四边形，平面，，，，且.
(1)求证：平面平面；
(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
反思提升：
向量法求直线与平面所成角主要方法是：
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.
【考点3】平面与平面的夹角
一、解答题
1．（2024·山西太原·一模）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，.
(1)点在侧棱上，且平面，确定在侧棱上的位置；
(2)若平面平面，且，求二面角的余弦值.
2．（2024·广西南宁·三模）如图，在中，，，．将绕旋转得到，，分别为线段，的中点．
(1)求点到平面的距离；
(2)求平面与平面所成锐角的余弦值．
3．（2024·福建龙岩·三模）如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD.

(1)证明：；
(2)若M是棱BC上的点，且满足，求二面角的余弦值.
4．（2024·新疆·二模）如图，三棱锥的所有棱长都是，为的中点，且为FG的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)若，平面与平面夹角的余弦值为，求FG的长．
5．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，N分别是BC，的中点．
(1)若M是的中点，证明：平面平面；
(2)若M是线段上的一动点，当二面角的余弦值为时，求BM长度．
6．（2024·福建泉州·一模）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．
(1)若，证明：平面；
(2)若二面角的正切值为5，求BQ的长．
反思提升：
用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（ ）
A．1B．C．D．
3．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角均为θ，平面α截此正方体所得截面为图形Ω，下列说法错误的是（ ）

A．平面α可以是平面B．
C．图形Ω可能是六边形D．
4．在正三棱锥中，底面是边长为正三角形，是的中点，若直线和平面所成的角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．如图，在棱长为1的正方体中，点M为线段上的动点（含端点），则（ ）
A．存在点M，使得平面
B．存在点M，使得∥平面
C．不存在点M，使得直线与平面所成的角为
D．存在点M，使得平面与平面所成的锐角为
6．如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ）

A．三棱锥的体积是定值
B．存在点P，使得与所成的角为
C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D．若，则P的轨迹的长度为
7．在棱长为的正方体中，则（ ）
A．平面
B．直线平面所成角为45°
C．三棱锥的体积是正方体体积的
D．点到平面的距离为
三、填空题
8．在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，当点B与点D之间的距离为3时 ．
9．已知圆所在平面与平面所成的锐二面角为，若圆在平面的正投影为椭圆，则椭圆的离心率为 .
10．已知在正方体中，，平面平面，则直线l与所成角的余弦值为 ．
四、解答题
11．在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角.
(1)求证：；
(2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值；
(3)求平面POB与平面PAB夹角的余弦值.
12．如图，在直三棱柱中，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离.
【能力篇】
一、解答题
1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段的中点，，，四边形为矩形.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面．
(1)求证：平面；
(2)若，，，是棱上的点，且直线与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置．
3．（2024·四川乐山·三模）如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，且，与平面所成的角为与交于．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
4．（2024·黑龙江大庆·三模）如图，在四棱锥中，，，且是的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的余弦值.
【培优篇】
一、解答题
1．（2024·湖南·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，为线段上异于端点的一点.
(1)求点到平面的距离；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
2．（2024·海南·模拟预测）如图，已知线段为圆柱的三条母线，AB为底面圆的一条直径，是母线的中点，且.
(1)求证：平面DOC；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
3．（2024·全国·模拟预测）如图，已知四边形是直角梯形，，平面是的中点，E是的中点，的面积为，四棱锥的体积为．
(1)求证：平面;
(2)若P是线段上一动点，当二面角的大小为时，求的值．