广东省深圳市中荟高级中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

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注意事项：
1.答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并正确粘贴条形码.
2.作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效.
3.本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.
4.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A．0B．C．D．
2.若复数z满足，则( )
A.1B.C.D.
3.设向量，向量，向量，则( )
A.-2B.1C.-6D.-7
4 已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
5.已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是弧长为的扇形，则该圆锥的体积为( )
A.B.C.πD.
6.曲线与交点个数是( )
A.3B.4C.5D.6
7.已知函数若关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
8.已知函数的定义域为，当时，.若，则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数的图象的一条对称轴为直线，其中为常数，且，则以下结论正确的是( )
A.函数的最小正周期为
B.
C.将函数的图象向左平移个单位长度所得的图象关于原点对称
D.函数在区间上有67个零点
10.已知函数，则( )
A.有两个极值点
B.有三个零点
C.点是曲线的对称中心
D.直线是曲线的切线
11．设数列an的前项和为，若，则称数列bn是数列an的“均值数列”．已知数列bn是数列an的“均值数列”，且，则下列结论正确的（ ）
A．
B．设数列an的前项积为，则有最大值，无最小值
C．数列中没有最大项
D．若对任意，成立，则或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在三角形ABC中，内角的对边分别为，若，则 .
已知曲线存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为___________.
已知正实数满足，则的最小值为_________
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）点D在线段BC上，，，求的值.
16．（15分）已知函数．
（1）若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程；
（2）讨论的单调性．
17.（15分）如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形且，，平面ABCD，，点N为PC上的动点.
（1）求证：存在点N，使得.
（2）求二面角的正弦值.
18.（17分）已知函数.
（1）求函数的单调区间和最大值；
（2）设函数有两个零点，，证明：.
19.（17分）约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数.设正整数a共有k个正约数，即为，，…，，.
（1）当时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；
（2）当时，若构成等比数列，求正整数a；
（3）记，求证：.