浙江省杭州学军中学（紫金港校区）2024-2025学年高一上学期期中考试数学及参考答案

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命题人：任燕巧 审题人：陈峰
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1．已知命题，则命题的否定是（ ）
A．B．C．D．
2．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．现使用一架两臂不等长的天平称20g药品，操作方法如下：先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些药品放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些药品放在天平左盘中，使得天平平衡．你认为两次实际称得的药品总重量（ ）
A．等于20gB．大于20gC．小于20gD．以上都有可能
5．若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，若命题“或”为真命题，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
10．下列说法不正确的是（ ）
A．的定义域为，则的定义域为
B．不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是
C．一元二次不等式的解集为，则有最小值
D．若，则的最小值为1
11．定义在的函数满足，且当时，，则（ ）
A．是奇函数B．
C．D．在上单调递增
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．已知幂函数在上是减函数，则的值为 ．
13．已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为 ．
14．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为 ․
四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．求下列各式的值：
(1)；
(2)已知，求．
16．已知集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
17．鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度（单位：摄氏度）与保鲜时间（单位：小时）之间的函数关系式为．新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时．
(1)新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；
(2)已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数）
参考数据：
18．已知非常数函数是定义域为的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)判断并证明函数的单调性；
(3)已知，且，求的取值范围．
19．函数的不动点在数学领域有着重要的地位．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数．
(1)当时，
①求函数的不动点；
②记为函数在上的最大值与最小值之差，求；
(2)若的两个不动点为，且，当时，求实数的取值范围．
1．C
【分析】根据全称量词命题的否定形式可直接得出结论.
【详解】易知命题的否定是.
故选：C
2．A
【分析】解不等式化简集合，再根据并集运算即可求解.
【详解】，
，
所以.
故选:A.
3．C
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解
【详解】由的单调递减，
可得
所以，
故选：C
4．B
【分析】利用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案.
【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克，
则，解得，
，
当且仅当时，取到等号，而，所以.
故选：B
5．D
【分析】根据函数解析式可求得为奇函数，再利用奇函数性质即可得出结论.
【详解】易知函数，可得；
易知为奇函数，且其最大值为，最小值为，
由奇函数性质可得，即.
故选：D
6．D
【分析】由题意，函数与互为反函数，求得，然后根据复合函数单调性的性质得出答案.
【详解】由题意，函数与互为反函数，则，
所以，
由，解得或，即函数的定义域为或，
令，
当时，单调递减；当时，单调递增，
又在上单调递增，
所以的单调递增区间为.
故选：D.
7．B
【分析】从作为题目切入点，分段讨论x的取值范围，结合命题的真假列出相应不等式，最后综合即可得答案.
【详解】解得，此时无论取何值，均符合题意；
当时，，只需，
解得或；
当时，，由题中条件，只需对于恒成立，
当时，不符合题意；
当时，图象为开口向上的抛物线，
不能满足对恒成立，不符合题意；
当时，的2个根为，
需，结合，可得，
综合上述可知的取值范围是，
故选：B.
【点睛】将作为题目的切入点，根据命题的真假分类讨论的范围分类讨论求解；
8．D
【分析】分别讨论，，时，由分段函数的定义域，可求出其值域范围，根据集合的子集解不等式即可求解.
【详解】当时，由指数函数的单调性得到取值范围为，此时不成立，故舍去；
当时，，若时，，
若时 ，，当且仅当时，等号成立；
此时
当时，若时，单调递减，所以，
若时 ，，当且仅当时，等号成立；
即解之可得，
综上可知.
故选：D
9．BC
【分析】利用函数的奇偶性及在上的单调性，逐项判断即得.
【详解】对于A，函数的定义域为，该函数不具奇偶性，A不是；
对于B，函数的定义域为R，，是偶函数，当时，在上单调递减，B是；
对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，在上单调递减，C是；
对于D，函数的定义域为，，
是奇函数，D不是.
故选：BC
10．AC
【分析】根据复合函数定义域求法判断选项A；分与讨论，求出对一切实数恒成立的充要条件，再根据充分不必要条件的定义判断选项B；根据一元二次不等式的解集和根与系数的关系可得，化简，再根据基本不等式判断选项C；，展开利用基本不等式判断选项D.
【详解】对于A，因为的定义域为，
所以，解得，
故的定义域为，故A错误；
对于B，当时，不等式为恒成立，可得对一切实数恒成立；
当时，由对一切实数恒成立，
可得，解得，
综上所述:不等式对一切实数恒成立的充要条件是，
所以不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是，故B正确；
对于C，因为一元二次不等式的解集为，
所以当且仅当，即当且仅当，
所以.
因为，所以上式，
当且仅当，即时取等.
所以有最大值，故C错误；
对于D，因为，
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以，即的最小值为1，故D正确.
故选:AC.
11．ABD
【分析】根据赋值可以求得，令，可得，即得奇函数，正确；赋值，可得正确；根据单调性定义，判断在为增函数，可得正确；再利用赋值和函数单调性确定错误.
【详解】对于选项，令，则，
令，，则对恒成立，
则函数为奇函数，故正确；
对于选项，令，，
即，故正确；
对于选项，，设，则，
，则
则，则，
即函数在为增函数，故正确；
对于选项，，因为为增函数，则，
则，故错误.
故选：.
【点睛】抽象函数问题解决策略：
赋值法求函数值或者判断不等关系；
抽象函数的单调性问题：先确定定义域，再根据题中条件构造，比较其和的大小（或者构造，比较其和的大小），进而确定单调性.
12．
【分析】结合幂函数的定义、单调性求得正确答案.
【详解】是幂函数，所以，解得或，
当时，，在上递减，符合题意；
当时，，在上递增，不符合题意，舍去.
综上所述，的值为.
故答案为：.
13．
【分析】利用是定义在上的奇函数和时的解析式，求出时的解析式，注意定义在上的奇函数满足.
【详解】当时，，所以，
因为是定义在上的奇函数，故，
综上：函数的解析式为：
故答案为：
14．
【分析】由方程可得或，将方程有5个不等的实数根等价于与的图象与直线和共有五个交点，再作出的图象，数形结合求出的范围.
【详解】当时，在上单调递增，函数值集合为，
在上单调递减，函数值集合为，
当时，在上单调递增，函数值集合为，
函数的图象如下：

方程化为，解得或，
方程有5个不等的实数根，
等价于与的图象与直线和共有五个交点，而，
因此或，解得或，
所以的取值范围为.
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.
15．(1);
(2).
【分析】（1）根据指数幂运算与对数运算，结合对数换底公式即可求解；
（2）根据及即可求解.
【详解】（1）
.
（2），
因为，所以，所以.
.
16．(1)；；
(2);
【分析】（1）先根据对数函数单调性求集合，再根据集合交并补求解；
（2）由集合间的基本关系可得：，对集合进行讨论，即可得到答案；
【详解】（1）由题意知：，解得：，
即，
当时，，
所以；
（2）因为，所以，
当时，；
当时，且，解得：，
综上所述：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由题意有，则，代入，计算即可得；
（2）令，结合指数函数的性质计算即可得.
【详解】（1）依题意得，则，
当时，，
即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为小时；
（2）由题意令，得，即，
则，
则，
即
解得：
故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于摄氏度.
18．(1)，；
(2)单调递增，证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数的性质求出.
（2）由（1）求出函数，结合对数函数单调性及单调函数的定义判断推理即可.
（3）根据给定条件，将不等式转化为，再结合函数的单调性求出最值即可.
【详解】（1）函数为上的奇函数，则，且，
即，整理得，
即，于是，解得，，
当，时，，此时，函数无意义；
当，时，，函数无意义；
当，时，，函数为常数函数，不符合要求；
当，时，，定义域为，符合题意，
所以，.
（2）由（1）知，，函数在上单调递增，
而函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，
，则，，
于是，而函数在上单调递增，
因此，即，
所以函数在上单调递增.
（3）由（2）知，函数在上单调递增，则，，
由，，，得，
因此，，
当时，，，，
当且仅当时取等号，于是，
所以的取值范围是.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
①若，，总有成立，故；
②若，，有成立，故；
③若，，有成立，故；
④若，，有，则的值域是值域的子集 ．
19．(1)①；②
(2)
【分析】（1）①求得的解析式，可令，解方程可得所求不动点；②根据二次函数的对称轴、最值、单调性即可解答；
（2）结合韦达定理和不动点，可得关于的式子，再由对勾函数的单调性，可得所求范围.
【详解】（1）①当时，，设为的不动点，
因此，解得或，
所以为函数的不动点；
②当时，；
当时，；
当时，；
当时，
综上得：
（2）因为的两个不动点为，
所以，即，
根据韦达定理得，
因为，
所以，
设，
因为，所以，
由对勾函数性质得在上单调递增，
所以，
所以，
所以，
即的取值范围是.
【点睛】本题考查函数的不动点的理解和运用，考查二次函数根据单调性求最值，考查对勾函数的单调性和运用.