2023-2024学年浙江省杭州学军中学（紫金港校区）高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年浙江省杭州学军中学（紫金港校区）高一上学期12月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．集合，,则（ ）
A．；B．；
C．；D．．
【答案】B
【分析】化简两个集合，再判断集合间的关系.
【详解】,,
表示奇数，表示整数，所以.
故选：B
2．点从出发，沿着单位圆的边界顺时针运动弧长到达点，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据条件确定点的位置，利用三角函数的定义求得坐标即可.
【详解】由题意，以轴的非负半轴为始边，
以所在的射线为终边的最小正角为，
由任意角的三角函数的定义可得，
的坐标为，即，
故选：D.
3．已知，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的基本关系计算出，再由诱导公式计算可得.
【详解】,
∵，，，
故选：A.
4．中国折扇有着深厚的文化底蕴.用黄金分割比例设计一把富有美感的纸扇，如图所示，在设计折扇的圆心角时，可把折扇考虑为从一圆形（半径为）分割出来的扇形，使扇形的面积与圆的面积的乘积等于剩余面积的平方.则扇形的圆心角为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】计算出、，根据已知条件可得出关于的方程，结合可求得的值.
【详解】由题意可知，，则且，
即，整理可得，
由题意可知，，解得.
故选：C.
5．若奇函数和偶函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，用代替，得到，联立方程组，求得的解析式，进而求得的值.
【详解】由，用代替，可得，
因为是奇函数，是偶函数，所以，
联立，解得，，
所以，，则．
故选：D．
6．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】令，则在上单调递增且恒大于，从而得到，解得即可.
【详解】因为函数在上单调递减，
令，
则在上单调递增且恒大于，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
7．已知且，则=（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出的值，再判断的范围即可得解.
【详解】因，则，
，
因，，则，又，有，
于是得，因此，，
所以.
故选：C
8．对于函数，若，则称为函数的“不动点”：若，则称为函数的“稳定点”．已知的稳定点都是它的不动点，则实数的范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，可知有实根，利用，可得的范围；又根据题意方程无实根，可得的范围，综合可得所求.
【详解】因为为函数的“不动点”，
则方程，即有实根，
则，解得，
方程可化为，
即，
分解因式得，
即，
因为函数的稳定点都是它的不动点，
上述满足上述方程的，都满足，
即满足，
所以方程无实根，
故，解得，
综上，
故选：C.
二、多选题
9．设全集为R，在下列条件中，满足的充要条件的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根据集合的运算性质及集合间的关系逐项判断即可.
【详解】因为时，，不满足题意，故A错误；
若，显然只有时成立，不满足题意，故B错误；
若，则，同时若时，，满足题意，故C正确；
当时，则，同时，则满足题意，故D正确，
故选：CD.
10．函数的零点所在的区间可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】将函数的零点所在区间转化为函数与在上的交点所在区间，作出两函数的图象，结合图象即可得答案.
【详解】解：由，得，所以函数的定义域为，
又因为，所以不是函数的零点，
令，则有，
在同一坐标系中作出的图象，如图所示：
由此可得函数与在上的交点在区间和内，
所以函数的零点所在的区间为和.
故选：AC.
11．在中，，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】讨论分别为钝角、锐角的情况，然后根据同角的三角函数关系式以及两角差的正弦公式求解出的可能值.
【详解】当均为锐角时，
所以，
所以；
当为钝角，为锐角时，
此时，且，
所以，即，符合要求，
所以，
；
当为锐角，为钝角时，
此时，且，
所以，即，不符合要求；
显然不可能同为钝角，
综上可知的值可能是，，
故选：BD.
12．已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，则下面给出的结论中，正确的是（ ）．
A．的取值范围是
B．的最小正周期可能是2
C．在区间上可能恰有4个零点
D．在区间上可能单调递增
【答案】AC
【分析】令,则,结合题中条件可得有四个整数符合，可求出的取值范围，再根据三角函数的性质逐项分析即可.
【详解】由，
令，则，
因为函数在区间上有且仅有4条对称轴，
即有四个整数符合，
由，得，
则，即，
所以，故A正确；
若函数的最小正周期为，则，故B错误；
当时，，
又，
当时，有三个不同的零点；
当，有四个不同的零点，
则在区间上可能恰有4个零点,故C正确；
当时，，
因为
所以，
而，所以在区间上不单调递增，故D错误，
故选：AC.
【点睛】本题的关键点是：根据题中条件，求出的取值范围.
三、填空题
13．对任意且，函数的图象都过定点，且在角的终边上，则 ．
【答案】/
【分析】令，即可求出定点的坐标，再根据三角函数的定义计算可得.
【详解】令，解得，所以，
所以函数的图象经过定点，
所以点在角的终边上，则．
故答案为：．
14．已知函数，且，则 ．
【答案】
【分析】根据条件，利用诱导公式即可求出结果.
【详解】因为，
所以，得到，
又得到，
故答案为：.
15．若关于的不等式在上有解，则实数的最小值为 ．
【答案】
【分析】参变分离得到关于的不等式在上有解，利用对勾函数的性质求出，即可求出的取值范围.
【详解】因为关于的不等式在上有解，
所以关于的不等式在上有解，
所以，，
因为，所以，令，则，
，
令，，
因为对勾函数在上单调递减，则，
所以，当且仅当时取等号，
所以，则，即实数的最小值为.
故答案为：
16．已知同时满足下列三个条件：①；②是奇函数；③.若在上没有最小值，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由周期公式可得，由三角函数的中心对称可得，结合即可得为奇数，即可得，由可得，进而可得，即可得解.
【详解】由可得，
由是奇函数可得函数的图象关于中心对称，
所以，即，
又，所以，
所以为奇数，，
由可得，
因为在上没有最小值，所以即.
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，牢记知识点是解题关键，属于中档题.
四、解答题
17．已知关于的不等式．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若不等式仅有一个解，求的最小值．
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）把代入，解不等式即可；
（2）根据条件可得，可得，，再利用基本不等式1的妙用求解即可.
【详解】（1）当时，
不等式可化为，即，
，
解得，
故不等式的解集为.
（2）若不等式仅有一个解，
则，
即，
由，两边除以得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为9.
18．某商品近一个月内（30天）预计日销量（件）与时间t(天)的关系如图1所示，单价（万元/件）与时间t(天)的函数关系如图2所示，（t为整数）
（1）试写出与的解析式；
（2）求此商品日销售额的最大值？
【答案】（1）；(2) 138万元.
【分析】（1）根据直线上的点可求的解析式，根据分段函数以及一次函数可求的解析式；（2）根据，可求求的解析式，求出两段函数的值域，可得的最值.
【详解】（1）由图象可知，
，
g(t)=
(2)设日销售额L（t）是天数t的函数，则有L(t)= f(t) ·g(t)=
当0≤t≤20时，L(t)= ，当t=11或12时，L(t)最大值为138万元,
当20答：第11天与第12天的日销售额最大，最大值为138万元.
【点睛】分段函数模型问题求解的三个关注点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)
19．已知函数．
(1)求函数的最小正周期、对称中心、单调减区间；
(2)若定义在区间上的函数的最大值为6，最小值为，求实数的值．
【答案】(1);;
(2)或.
【分析】（1）根据函数解析式，结合函数周期、对称中心、单调区间的求法，直接计算即可；
（2）分类讨论的范围，列出方程组，解出即可.
【详解】（1）因为,
所以函数的最小正周期为，
令,
得,，
所以函数的对称中心为,
令，
得，
故函数的减区间为.
（2），
又当时，，
则，
若，
则有，解得，
当时，
，解得，
又明显不符合题意，
故或者.
20．已知函数是奇函数，且．
(1)求实数、的值；
(2)求函数在的值域；
(3)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)、
(2)
(3)
【分析】（1）根据奇函数的性质得到，求出的值，再代入检验，最后由求出；
（2）首先判断函数的单调性，由的取值范围，求出的取值范围，从而求出函数的值域；
（3）根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式（组），解得即可.
【详解】（1）函数为奇函数，
所以，即，
则，所以，所以，
当时无意义，
当时，则，解得，
所以函数的定义域为，且，
符合题意，
又，所以，则，所以，
综上可得、.
（2）由（1）可得，
因为在上单调递增，在定义域上单调递减，
所以在上单调递减，且的值域为，
当，则，又，
所以函数在的值域为.
（3）由（1）（2）可知为定义在上单调递减的奇函数，
不等式，即，
等价于，解得，
所以实数的取值范围为.
21．若关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为“对偶不等式”．
(1)已知与为对偶不等式．求的值；
(2)若与为对偶不等式，且．求的最大值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集得到一元二次方程对应的韦达定理形式，根据韦达定理结合三角函数求解出的值；
（2）同（1）先根据对应韦达定理列出关于的方程组，然后求解出的值并得到的关系式，结合的公式以及基本不等式求解出的最大值.
【详解】（1）设的解集为，的解集为，
所以，所以，
所以，
所以，所以，所以；
（2）设的解集为，的解集为，
所以，所以，
所以，所以，
因为，，
所以，所以，
所以，
所以，
当且仅当即时取等号，
所以，解得，
所以.
22．若函数满足：对任意，则称为“函数”．
(1)判断是不是函数（直接写出结论）；
(2)已在函数是函数，且当时，．求在的解析式；
(3)在（2）的条件下，时，关于的方程（为常数）有解，求该方程所有解的和．
【答案】(1)是函数，是函数
(2)
(3)
【分析】（1）根据题设，直接检验是否成立，即可判断出结果；
（2）根据条件得出函数的周期为，关于直线对称，再根据条件，利用周期性和对称性即可求出结果；
（3）由（2）可得出，再利用周期性作出的图像，再结合图像即可求出结果.
【详解】（1）是函数，证明如下：
因为，又，，所以，故是函数，
是函数，证明如下：
因为，
，所以，故是函数.
（2）因为，所以函数的周期为，又，所以函数关于直线对称，
因为时，所以，
当，即时，，
当，即时，，
又时，，所以，
综上，在上的解析式为；
（3）由（2）知，当时，，所以，得到，
又函数的周期为，所时，的图像如图，
由图知，当时，有5个解，其和为，
当时，有8个解，由对称知，其和为，
当时，有12个解，由对称知，其和为，
当时，有16个解，由对称知，其和为，
当时，有8个解，由对称知，其和为，
综上，方程所有解的和.
【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.