第九章　§9.2　用样本估计总体的数字特征-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

这是一份第九章　§9.2　用样本估计总体的数字特征-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习），文件包含第九章§92用样本估计总体的数字特征-北师大版2025数学大一轮复习课件pptx、第九章§92用样本估计总体的数字特征-北师大版2025数学大一轮复习讲义练习docx、第九章§92用样本估计总体的数字特征-北师大版2025数学大一轮复习讲义教师版docx、第九章§92用样本估计总体的数字特征-北师大版2025数学大一轮复习讲义学生版docx等4份课件配套教学资源，其中PPT共60页， 欢迎下载使用。
§9.2　用样本估计总体的数字特征
1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的p分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.百分位数一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈ ，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数 它的可能性是p.
2.平均数、中位数和众数(1)平均数： ＝ .(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最_____的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的 (当数据个数是偶数时).(3)众数：一组数据中出现次数 的数据(即频数最大值所对应的样本数据).
3.方差和标准差(1)方差：s2＝ 或(2)标准差：s＝ .
1.若x1，x2，…，xn的平均数为 ，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为 ＋a.2.数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变.3.若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.(　　)(2)方差与标准差具有相同的单位.(　　)(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变.(　　)(4)在频率分布直方图中，可以用最高的小长方形底边中点的横坐标作为众数的估计值.(　　)
2.在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是A.平均数 B.众数C.百分位数 D.标准差
标准差反映了数据分散程度的大小，所以说标准差是用来描述一组数据离散程度的统计量，故D正确.
3.甲、乙、丙、丁四人参加射击项目选拔赛，成绩如下，则他们中参加奥运会的最佳人选是______.
由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定，是最佳人选.
4.有一组数据：－1，a，－2，3，4，2，它们的中位数是1，则这组数据的平均数是______.
数据－1，a，－2，3，4，2，已知除a以外的数据从小到大排序为－2，－1，2，3，4，要使得中位数为1，则a在第3位或第4位，
题型一　样本的数字特征的估计
例1　(1)(多选)(2023·荆门联考)某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了30名党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下.则下列对该单位党员一周学习党史时间的叙述，正确的有
A.众数是8B.40％分位数为8C.平均数是9D.中位数是9
由题意，随机抽取30名党员，由表可知，党史学习时间为8小时的人最多，为8人，故众数是8，故A正确；
因为共有30名党员，故中位数为第15项和第16项的平均数，因为第15项和第16项均为9，故中位数为9，故D正确.
(2)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，
根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；
根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确.
计算一组n个数据p分位数的步骤
跟踪训练1　(1)(多选)(2023·商丘模拟)在某次演讲比赛中，由两个评委小组(分别为专业人士“小组A”和观众代表“小组B”)给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成如图所示的折线统计图，则下列结论正确的是A.小组A打分的分值的平均数为48B.小组B打分的分值的中位数为66C.小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差D.小组A打分的分值的方差小于小组B打分的分值的方差
由图可知，小组A打分的平均数为 ×(43＋47＋46＋48＋50＋47＋54＋50＋47)＝48，故A正确；将小组B打分从小到大排列为36,55,58,62,66,68,68,70,75，所以中位数为66，故B正确；
小组A打分的分值的极差为54－43＝11，小组B打分的分值的极差为75－36＝39，故C错误；
小组A打分的分值相对更集中，所以小组A打分的分值的方差小于小组B打分的分值的方差，故D正确.
(2)某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的25 %分位数是________.
由茎叶图知数据从小到大排列为27,28,32,33,36,36,38,40,45,52,54,58，因为12×25%＝3，
题型二　总体集中趋势的估计
例2　2024年，安徽、甘肃、广西、贵州、黑龙江、吉林、江西七省区作为第四批实施改革的省份进入新高考.2023年10月，进入新高考的七个省份相继公布了高考选考科目的试卷结构.某考试机构举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基
计划.在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)求出图中a的值并估计本次考试的及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例)；
由频率分布直方图的性质，可得(a＋0.004＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，解得a＝0.003.所以及格率为(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%.
(2)估计该校学生联考数学成绩的80%分位数；
得分在110以下的学生所占比例为(0.004＋0.013＋0.016)×20＝0.66，得分在130以下的学生所占比例为0.66＋0.014×20＝0.94，所以80%分位数位于[110,130)内，
(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数.
由图可得，众数的估计值为100.平均数的估计值为0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6.
频率分布直方图中的数字特征(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标.(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等.(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和.
跟踪训练2　某市共有居民60万人，为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值，并估计该市居民月均用水量不少于3吨的人数；
由频率分布直方图，可知(0.04＋0.08×2＋0.12＋0.16＋2a＋0.42＋0.50)×0.5＝1，解得a＝0.3；
月均用水量不少于3吨的人数为(0.12＋0.08＋0.04)×0.5×60×104＝72 000.
(2)估计该市居民月均用水量的众数和中位数.
由图可估计众数为2.25；设中位数为x，因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48