专题03 不等关系与不等式性质-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】3
【考点1】比较数(式)的大小3
【考点2】不等式的基本性质4
【考点3】不等式性质的综合应用5
【分层检测】6
【基础篇】6
【能力篇】8
【培优篇】8
考试要求：
1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据.
2.理解不等式的概念.
3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.
知识梳理
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b0）⇔a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1⇔a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)0）⇔a0）.))
2.不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
(3)同向可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(5)可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a＞b＞0⇒eq \r(n,a)＞eq \r(n,b)(n∈N，n≥2).
1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
2.有关分式的性质
(1)若a>b>0，m>0，则eq \f(b,a)eq \f(b－m,a－m)(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b⇔eq \f(1,a)b，则
A．ln(a−b)>0B．3a0D．│a│>│b│
2．（2018·全国·高考真题）设，，则
A．B．
C．D．
3．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·辽宁·模拟预测）已知，下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
6．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 .
考点突破
【考点1】比较数(式)的大小
一、单选题
1．（21-22高二下·江西九江·期末）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·广东广州·一模）若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）已知,,则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·广东肇庆·二模）已知正数满足等式，则下列不等式中可能成立的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
5．（2023·内蒙古赤峰·一模）已知，，，则的大小关系是 .
6．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数；③对任意的，，都有，则 ．
反思提升：
1.作差法一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.
2.作商法一般步骤：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.
3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.
4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.
【考点2】不等式的基本性质
一、单选题
1．（22-23高一下·云南玉溪·期中）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024·辽宁·一模）设则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2021·江苏扬州·模拟预测）已知两个不为零的实数，满足，则下列说法中正确的有（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·湖北襄阳·模拟预测）我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由在点处的切线写出不等式，进而用替换得到一系列不等式，叠加后有这些不等式体现了数学之美.运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2023·山西大同·模拟预测）已知，，，，则的最小值为 ．
6．（2024·河北承德·二模）已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，则以下1003个方程中，有实数解的方程至少有 个.
反思提升：
解决此类题目常用的三种方法：
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；
(2)利用特殊值法排除错误答案；
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.
【考点3】不等式性质的综合应用
一、单选题
1．（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（20-21高三上·江苏·阶段练习）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．的取值范围为D．的取值范围为
4．（2023·河南洛阳·模拟预测）设实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
5．（21-22高三·云南昆明·阶段练习）已知实数，，满足则的取值范围是 ．（用区间表示）
6．（2022·上海普陀·一模）设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为 .
反思提升：
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2023·上海金山·二模）若实数、满足，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·湖南长沙·模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·云南贵州·二模）已知，则的大关系为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）若，则有（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（21-22高三上·湖北·阶段练习）下列命题成立的是（ ）
A．若，，则
B．若不等式的解集是，则
C．若，，则
D．若a，b满足，则的取值范围是
6．（2023·山东·二模）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·湖南长沙·二模）已知实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
8．（20-21高一上·湖北武汉·期中）购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济.
9．（2022·全国·模拟预测）已知实数、满足，，则的取值范围为 ．
10．（2022·四川泸州·三模）已知x，，满足，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论是 （写出所有成立结论的编号）．
四、解答题
11．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）已知，求的取值范围.
（2）比较与的大小，其中.
12．（21-22高三·贵州贵阳·阶段练习）已知实数，，满足．
(1)若，求证：；
(2)若，，求的最小值．
【能力篇】
一、单选题
1．（2023·江西·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（21-22高一上·重庆·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．，则D．若，则
三、填空题
3．（2024·湖南邵阳·二模）已知，若恒成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题
4．（2023·陕西宝鸡·一模）已知，求证：
(1)；
(2).
【培优篇】
一、单选题
1．（2023·吉林·二模）已知a，b，c满足，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、多选题
2．（2023·江苏南通·二模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
3．（2024·河南·模拟预测）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ．