内蒙古自治区呼和浩特市赛罕区内蒙古师范大学附属学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

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出题人：王天航 审题人：霍立君
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上.本试卷满分100分，考试时间90分钟.
2. 作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，考生只需将答题卡交回，试题请自行保留.
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 绿色饮品B. 绿色食品C. 有机食品D. 速冻食品
2. 关于x的方程（a、n为常数）的解是，，则方程的解是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 下列说法正确的是（ ）
A. “水在一个标准大气压下，温度为－10时不结冰”是不可能事件
B. 某彩票的中奖机会是0.1%，买1000张一定会中奖
C. 为检验某品牌LED灯管的使用寿命，采用普查的调查方式比较合适
D. “如果x、y是实数，那么”是随机事件
4. 某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（ ）
A. 7队B. 6队C. 5队D. 4队
5. 抛物线过，，三点，则，，大小关系是（ ）
A. B. C. D.
6. 为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（ ）
（第7题图）
A. B. C. D.
8. 如图，点A，B，C，D在上，，垂足为E.若，，则（ ）
（第8题图）
A. 2B. 4C. D.
9. 如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，则（ ）
（第9题图）
A. B. C. D.
10. 如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且.给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则.其中正确的个数是（ ）
（第10题图）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11. 若点，关于原点对称，则______.
12. 设，是一元二次方程的两根，则______.
13. 如图，经过原点，并与两坐标轴分别交于A，D两点，已知，点A的坐标为，则点D的坐标为______.
（第13题图）
14. 如图，小梅把一顶底面半径为10cm的圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展平，得到一个圆心角为的扇形纸片，那么扇形纸片的半径为______cm.
（第14题图）
15. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动.如图，在边长为5cm的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为______.
（第15题图）
16. 已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为______.
三、计算题：本大题共1小题，共6分.
17. 用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）；（2）.
四、解答题：本题共6小题，共46分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18.（本小题6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出关于原点对称的；
（2）将绕点C逆时针旋转，画出旋转后的，求线段BC旋转过程中扫过的面积（结果保留）.
19.（本小题6分）如图，小亮父亲想用长80m的栅栏.再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边，面积为.
（1）写出S与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？
20.（本小题8分）
随着初三同学体考的结束，初二年级大课期间开始对跳绳、实心球和立定跳远这三项运动进行专项训练，为了了解同学们对这三项训练技巧的掌握情况，学校体育组抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果分为了四类：掌握3项技巧的为A类，掌握2项技巧的为B类，掌握1项技巧的为C类，掌握0项技巧的为D类，并绘制了如图两幅不完整的统计图.请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）被调查的学生一共有______人；并请补全条形统计图；
（2）若初二年级共有2500名学生，则初二年级大约有______名学生已掌握3项训练技巧；
（3）A类的5名同学中有且仅有2名来自同一个班，现A类的5名同学中随机抽取2名同学来分享经验，用树状图或表格法求抽到的两个人恰好来自同一个班的概率.
21.（本小题9分）
商场某种商品平均每天可销售60件，每件盈利100元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.据此规律，请回答：
（1）商场日销售量80件，商场日盈利可达到______元（直接填答案）；
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到8400元？
（3）若商场日盈利a元，求a的最大值.
22.（本小题8分）
如图，在中，，AD平分交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F.
（1）试判断直线BC与的位置关系，并说明理由.
（2）若，，求阴影部分的面积.（结果保留）
23.（本小题9分）
已知二次函数（a为常数，）
（1）若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点.
（2）若，求证：当时，.
（3）若该函数的图象与x轴有两个公共点，，且，则a的取值范围是______.
师大附校2024-2025学年第一学期初三年级期中试卷
【答案】每题3分，共30分
选择题：
1. D 2. D 3. A 4. C 5. B 6. D 7. A 8. D 9. B 10. C
填空题：每题3分，共18分
11. －2 12.0 13. 14. 30 15. 8.75 16. 0或6
17.（每题3分，共6分）解：（1），
，，
，或，
∴，.
（2）；.
∴，
即，
∴，或.
∴，.
18.（6分）解：（1）如图1，
图1
（2）如图2，
，
所以BC扫过的面积.
图2
19.（6分）解：（1）∵，∴，
∴，
∴，∴，
∴，∴，
∴；
（2）∵，
∵，∴当时，S有最大值为800，
∴即当，时，面积S有最大值为.
20.（8分）解：（1）50；
C类别的人数有：（人），补全统计图如下：
；
（2）250；
（3）将同一个班的2名学生均记为A，其他记为B、C、D，
列表如下：
由表可知，共有20种等可能结果，其中所抽取的2名学生恰好来自同一个班级的有2种结果，
所以所抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率为.
21.（9分）解：（1）7200；
（2）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到8400元，
，
∴，∴，，
∵该商场为了尽快减少库存，∴.
答：每件商品降价40元，商场日盈利可达8400元.
（3）由（2）得，
化简得：，
由得，，
解得，故a的最大值为8450.
答：商场日盈利a元，a的最大值为8450元.
22.（8分）【小题1】
解：CD与相切.理由略.
【小题2】
图中阴影部分的面积为.
23.（9分）【解答】证明：（1）因为，
又因为，所以，，
所以，
所以该函数的图象与x轴有两个公共点.
（2）将代入函数解析式得，
，
所以抛物线的对称轴为直线，开口向下.
则当时，y随x的增大而增大，
又因为当时，，所以.
（3）因为抛物线的对称轴为直线，且过定点，
又因为该函数的图象与x轴有两个公共点，，且，
所以当时，，
解得，故.
当时，，
解得，故.
综上所述，或.
故答案为：或.A
A
B
C
D
A
A
B
C
D