河北省名校联合体（邢台市第一中学等）2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

这是一份河北省名校联合体（邢台市第一中学等）2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题，共16页。试卷主要包含了本试卷共150分，请将各题答案填在答题卡上，已知点，满足条件，则点的轨迹是，已知圆，点在圆上，则的最大值为，给出下列命题，其中正确的有等内容，欢迎下载使用。
考试说明：1．本试卷共150分。考试时间120分钟。
2．请将各题答案填在答题卡上。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线的方向向量且过点，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
4．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于点，，动点在圆上运动，若的面积的取值范围为，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
5．已知点，满足条件，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．线段C．射线D．椭圆或线段
6．已知圆，点在圆上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．圆上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．曲线的形状是一个斜椭圆，其方程为，点是曲线上的任意一点，点为坐标原点，则下列说法错误的是（ ）
A．曲线关于对称B．的最大值为
C．该椭圆的离心率为D．的最大值为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．若非零空间向量，，满足，，则有
B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面
C．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线
D．已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底
10．已知曲线，为曲线上任意一点，则下列说法错误的是（ ）
A．曲线表示椭圆
B．若，时，设椭圆两个焦点分别为，，则的取值范围为
C．若，时，设椭圆两个焦点分别为，，则的范围是
D．若，时，设椭圆两个焦点分别为，，与的夹角为，则的面积为
11．如图1，在平行四边形中，，，，是中点，把沿直线翻折成（点位于平面上方），连接，，是中点，设平面与平面面所成二面角为，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，直线与平面所成的角的正弦值是
D．当时，三棱锥外接球的表面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________．
13．已知，是椭圆的左、右焦点，点，点在上，则的取值范围为________．
14．三棱柱为正三棱柱，，三角形绕着中心随意转动，则的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）
已知直线，．
（1）若，求的值；
（2）当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程．
16．（本题满分15分）
已知椭圆的离心率为，且过点，左、右焦点分别为，，过向椭圆在处的切线作垂线，垂足为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点与原点的距离．
17．（本题满分15分）
如图，在矩形中，，取中点，将和分别沿直线，折叠，使，两点重合于点得到三棱锥．
（1）当时，求证：；
（2）若二面角的平面角为，是否存在上一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由．
18．（本题满分17分）
已知椭圆的方程：，直线（不与轴重合）经过椭圆的右焦点并且交椭圆于，两点，点与左、右顶点，相连形成的两条直线，的斜率之积为，当直线垂直轴时．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求直线与的斜率之积的值．
19．（本题满分17分）
在平面直角坐标系中，有点，．若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点，在空间中的距离为“点，关于轴的折叠空间距离”，记为．
（1）若点，，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，，求证：，；
（2）若点，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，试用文字描述满足的点在平面直角坐标系中的轨迹是什么，并求该轨迹与轴围成的图形的面积；
（3）若在平面直角坐标系中，点是椭圆上一点，过点的两条直线，分别交椭圆于，两点，且其斜率满足，求的最大值．
名校联合体高二年级期中考试
数学答案
1．A【解析】由题意知直线的方向向量是，可得其斜率为，所以直线的方程为，即，故选：A．
2．B【解析】，故，故选：B．
3．C【解析】由
又，则，所以，故选：C．
4．A【解析】，圆心到直线的距离为，，到直线的距离的取值范围为，所以的面积的取值范围为，所以且，，故选：A．
5．D【解析】因为，所以，
当且仅当时等号成立，
当时，，而，此时点的轨迹是线段；
当且时，，此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆．
综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段，故选：D．
6．C【解析】，
由于点为圆上任意一点，
故可看作圆上任意一点到定点的斜率，
当直线与圆相切时，此时斜率最大，
由于相切时，，，故斜率，故的最大值为，故选：C．
7．D【解析】由圆上有且仅有两点到直线的距离为1，
则，解得或，
即实数的取值范围是，故选：D．
8．C【解析】由方程可以看出其关于，对称，A正确；
由题意知，，，，，B正确：
联立方程，解得顶点坐标为和，同理可得另外两个顶点坐标为和，若将椭圆顺时针旋转，对应的标准方程为，离心率为，C错误；看作关于的一元二次方程，，解得，D正确，
故选：C．
9．BCD【解析】当非零空间向量，，满足，时，与不一定平行，A错误；
三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B正确；
能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的三个向量，由于非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，即向量，与任何一个向量均共面，则，必共线，C正确；
若，，共面，则，可知，，共面，与为空间向量的一个基底相矛盾，故可以构成空间向量的一个基底，D正确，故选：BCD．
10．AC【解析】若，，且，则曲线是椭圆，故A错误；
设点，，则，所以，，，
则，又因为，所以．
所以的取值范围为，故B正确；
由于，又，即，
所以，
故当时，取最大值9，当或时，取最小值6，故C错误；
由题意可得，，
在中，由余弦定理得，
即，所以，
所以的面积为，故D正确，故选：AC．
11．BCD【解析】如图以为原点建立坐标系，时，，，，，．，，A错误；
以为原点建立坐标系，时，，，，，B正确；
以为原点建立坐标系，时，，，，
平面的一个法向量为，，
直线与平面所成的角的正弦值是，C正确；
因为在平面翻折过程中，平面与平面垂直，当时，三棱锥外接球表面积最大，此时三角形外接圆半径为，三角形外接圆半径为．故三棱锥外接球半径，三棱锥外接球的表面积的最大值为，D正确，故选：BCD．
12．【解析】由，得，解得，
由，得，故，故的取值范围为．
13．【解析】由于，，所以的范围是．
14．【解析】法一：由题知三角形外接圆半径为4，
所以的轨迹是以为球心，4为半径的球．
建立如图空间直角坐标系，，，．
设点所在水平圆的半径为，，
水平圆与底面的距离为，设，
则有，，
当且仅当，时等号成立．
法二：的运动轨迹同上，
当旋转到与平行同向时取得最大值，此时
15．【解析】（1）因为，，，
所以，所以，解得或，3分
当时，，，直线，重合，不满足要求，
当时，，，直线，平行，满足要求，5分
所以．6分
（2）由，解得，即与的交点为．8分
当直线过原点时，此时直线斜率为，所以直线的方程为；10分
当直线不过原点时，设的方程为，将代入得．
所以直线的方程为．
故满足条件的直线的方程为或13分
16．【解析】（1）由离心率可知，则，过点，，解得，故方程为．5分
（2）设直线．
由，可得．8分
由仅存在一个交点可知，解得．得．10分
结合，，故垂线的方程为，12分
联立，，得，故点，与原点的距离为 15分
17．证明：（1）由题可知，，，，
又因为，所以．
所以．即，3分
又．
所以平面，又平面，
所以．6分
（2）存在，理由如下
因为，
所以平面，二面角的平面角为，9分
如图所示，以为原点，垂直于所在的直线为轴，、方向为和轴．
则，，，
所以
平面的一个法向量为．12分
设直线与平面的夹角，
所以．解得；故位于中点时，满足条件 15分
18．【解析】（1）根据题意，当直线垂直轴时，将带入，，坐标满足，得，故；2分
设点的坐标为，则
又因为在椭圆上，因此；4分
由，，所以，
故椭圆方程为．6分
（2）法1：当垂直轴时，．8分
当不垂直轴时，设直线的方程为：，
联立与，得，即
因此，．12分
．
综上，直线与直线斜率之积为．17分
法2：设直线的方程为，
由，整理得
，．12分
．17分
19．（1）建立如图1所示的空间直角坐标系，
其中为坐标原点、轴、轴正方向与原平面中一致，
轴正方向与折叠后的轴正方向一致．
由题，空间中三点坐标分别为，，．
因此
2分
（2）由题意，空间中点的坐标为，
（i）当点在轴上半平面，即时，空间中点的坐标为，
于是．化简得．
因此在平面直角坐标系中，点在轴上半平面的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆．4分
（ii）当点在轴下半平面．即时，空间中点的坐标为，于是化简得．
因此在平面直角坐标系中，点在轴下半平面的轨迹为以为圆心，以为半径的圆．6分
所以，点所在轨迹是半圆：与四分之三圆：的组合曲线．（如图2），
其与轴围成的面积为．8分
（3）在平面直角坐标系中，设、两点坐标分别为、．
假设，即，
因为，所以．
由于与、两点在平面直角坐标系中的相对位置有关，而点的位置与两直线的斜率有关．因此首先需要对、两点可能的位置进行讨论，并求出相应的的范围．由于两直线具有对称性，此点位置与点位置等价，所以不妨设．
因为时，、两点重合，与题目中交于两点不符，舍去．
当直线与椭圆相切时，计算此时的斜率，
联立
整理得：①
令，解得．
因此若使、两点存在，需成立．
，，于是，同理，10分
当、两点存在且不重合时，有三种可能的位置关系：
（i）、同在轴上半平面；
（ii）、同在轴下半平面；
（iii）在轴上半平面，而在轴下半平面．
记椭圆左、右顶点分别为，，则直线的斜率，的斜率，
（i）由图3，当直线、均高于直线（包括重合）时，、同在轴上半平面，
此时由于两直线的对称性，只需直线的斜率大于等于直线的斜率即可，所以，
再由前述限制，此时斜率满足．
如图4所示，当点、位于轴的上半平面，即时．
、两点空间坐标分别为、，
因此②
又，
代入②式可得：．
因此，．12分