湖南省娄底市娄星区2024—2025学年上学期八年级数学期中试题

这是一份湖南省娄底市娄星区2024—2025学年上学期八年级数学期中试题，共11页。试卷主要包含了定义，如图，中，，，等内容，欢迎下载使用。

时量：120分钟 满分：120分
考生注意：1.本学科试卷分试题和答题卡两部分，满分120分.
2.请在答题卡上作答，答在试题上无效。
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1.已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（ ）
A.B.C.D.
2.方程的解是
A.或-2B.2C.D.或2
3.关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A.该函数图象在一、三象限B.当时，随增大而减小
C.若在该函数图象上，则
D.若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有
4.如图，已知，直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（ ）
A.B.C.D.
5.定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“负一”方程，已知是“负一”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中错误的是（ ）
A.B.C.D.
6.如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上.若，则和的周长之比为（ ）
A.B.C.D.
7.若m、n是关于的方程的两个根，则的值为（ ）
A.4B.-4C.D.
8.如图，中，，，.将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A.B.C.D.
9.如图，为等边三角形，点，分别在边，上，.若，，则AD的长为（ ）
A.1.8B.2.4C.3D.3.2
10.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，是反比例函数图象上的一个动点，连接，，当的面积为定值时，相应的点有且只有3个，则点到直线的距离为（ ）
A.1B.C.D.
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11.如图所示，为反比例函数图象上一点，垂直轴，垂足为点，若，则的值为_____.
12.若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是_____.
13.若，则_____.
14.已知关于的方程有实数根，则整数的最大值是_____.
15.黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且，若，则的长为_____cm（结果保留根号）.
16.去年8月以来，非洲猪瘟疫情在某国横行，今年猪瘟疫情发生势头明显减缓.假如有一头猪患病，经过两轮传染后共有64头猪患病.每轮传染中平均每头患病猪传染了_____头健康猪.
17.如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，若的面积为2，则的面积为_____.
18.如图，中，，，是的角平分线.
（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，.
（2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点.
（3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点.
（4）画射线.
（5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点.
（6）连接，，分别交，于点，.
根据以上信息，下面五个结论中正确的是_____.（只填序号）
①；②；③；④；⑤.
三、解答题（本大题共8小题，共66分。）
19.（6分）某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）是每天完成的工程量（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点（24，50）（如图）.
（1）求与的函数关系式；
（2）已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好20天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？
20.（6分）解方程：
（1）；（2）.
21.（8分）在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：
“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何.”
用今天的话说，大意是：如图，是一座正方形小城，北门位于的中点，南门位于的中点，出北门20步到处有一树木，出南门14步到，再向西行1775步到处，正好看到处的树木（即点D在直线AB上），求小城的边长.
22.（8分）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，与关于坐标原点位似，且相似比为（点A、B、C的对应点分别为点、、）.
（1）若在轴右侧，画出；
（2）_____.
23.（9分）已知关于的一元二次方程.
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于-1，求的取值范围.
24.（9分）根据以下素材，探索完成任务.
25.（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于，两点，其中，直线与轴、轴分别交于，两点.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在轴上找一点，使的值最小，并求满足条件的点的坐标；
（3）在坐标平面中是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标.（写出3个即可）
26.（10分）如图，在菱形中，，，点是边的中点，连接、、.
（1）求DE的长；（结果保留根号）
（2）点F为边上的一点，连接，交于点，连接，.
①求证：；
②求的长.
湖南省2024年九年级（上）期中考试试卷
数学参考答案（湘教版）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1-5 CACAA 6-10 DACCB
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11.6 12.-1. 13. 14.-1
15. 16.7 17.18. 18.①②⑤
三、解答题（本大题共8小题，共66分。）
19.解：（1）设与的函数关系式为，
点（24，50）在函数图象上，
，，
所求函数关系式为.
（2）当时，，
，，
答：需要4台这样的挖掘机.
20.解：，
，
或，
所以，；
（2），
，
，
所以，.
21.解：设小城的边长为步，根据题意，
，
，
即，
去分母并整理，得，
解得，（不合题意，舍去），小城的边长为250步.
22.解：（1）如图所示，即为所求；
（2）与关于坐标原点位似，且相似比为，
，
故答案为：2.
23.（1）证明：
此方程总有两个实数根；
（2），，，
此方程恰有一个根小于，，解得，
即的取值范围为.
24.解：（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）.
答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为；
（2）设该零件的实际售价应定为元，则每个的销售利润为（）元，月销售量为个，
根据题意得：，
整理得：，解得：，，
又要尽可能让车企得到实惠，.
答：该零件的实际售价应定为50元.
25.解：（1）将点代入，得，反比例函数的表达式为；
（2）把代入得，解得，点的坐标为（-3，1），
作点关于轴的对称点，连接，
交轴于点，此时的值最小，
点的坐标为（-3，1），
点的坐标为（-3，-1），
设直线的函数表达式为，
将点、代入，
得，解得，
直线的函数表达式为，
当时，，解得，
点的坐标为；
（3）在中，令，则，令，则，
，，
是等腰直角三角形，
以，，为顶点的三角形与相似，
是等腰直角三角形，
如图，以线段为边构造等腰直角三角形，共有6种情况，
其中各点坐标分别为，，，，，.
26.（1）解：四边形是菱形，，
，是等边三角形，，
，.
（2）①证明：，，，
又，，
，，
，，
②解：作于.
，，
，
，
在中，，，
在中，，
，.
素材1
随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇.某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个.
素材2
该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，
问题解决
任务1
该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
任务2
为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？
素材1
随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇.与工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个.
素材2
该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，
问题解决
任务1
该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
任务2
为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？