2025高考数学【考点通关】考点归纳与解题策略考点09指数与指数函数7类常见考点全归纳(精选145题)(原卷版+解析)

这是一份2025高考数学【考点通关】考点归纳与解题策略考点09指数与指数函数7类常见考点全归纳(精选145题)(原卷版+解析)，共102页。试卷主要包含了指数幂的运算，指数函数的概念，指数型函数的定义域和值域问题，指数函数的图象及应用，指数函数的性质及应用，指数函数的综合问题，指数函数的实际应用等内容，欢迎下载使用。
考点一 指数幂的运算
考点二 指数函数的概念
考点三 指数型函数的定义域和值域问题
指数型函数定义域
指数型函数值域
（1）求指数型函数值域
（2）根据指数型函数值域（最值）求参数
考点四 指数函数的图象及应用
判断指数函数图象的形状
指数型函数的图象变换
（三）根据指数型函数图象判断参数的范围
（四）指数型函数恒过定点问题
（五）指数函数图象应用
考点五 指数函数的性质及应用
（一）指数函数的单调性
(1)判断函数的单调性
(2)比较指数式的大小
(3)解不等式
(4)由函数的单调性求参数
（二）指数函数的最值
(1)求函数的最值
(2)根据最值求参数
(3)含参指数型函数最值
(4)函数的最值与不等式的综合问题
（三）指数函数的奇偶性
(1)已知函数奇偶性求值
(2)由函数的奇偶性求解析式
(3)已知函数的奇偶性求参数
(4)函数的奇偶性与单调性的综合
考点六 指数函数的综合问题
考点七 指数函数的实际应用
知识点一 指数与指数运算
1．根式
(1)根式的概念
(2)两个重要公式
①eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1( a ，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1( a a≥0，, －a a0且a≠1)的图象时注意两个关键点：(1，a)，(0,1)．
2．底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a>1，还是00，且a≠1)的图象以x轴为渐近线；y＝ax＋b恒过定点(0，1＋b)，且以y＝b为渐近线.
(2)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
(3)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
(4)指数函数与的图象关于轴对称．
9、指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a)))．
10、指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0．在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
11、函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．
(2)值域：①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．
12、处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
注：①对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到. 特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. ②有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.
13、比较幂值大小的3种类型及处理方法
14、简单的指数不等式的解法
利用指数函数的单调性，将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.
(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．
(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)0且）的图象过点（2,4），（4,2），则（ ）
A．B．=2C．=3D．=6
考点三 指数型函数的定义域和值域问题
（一）指数型函数定义域
15．（2024·北京丰台·高三统考期末）函数的定义域是___________．
16.（2024·高一课时练习）函数的定义域为______．
17．（2024·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）函数的定义域是_______．
18.（2024·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_______
19．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
20．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则_________．
21．（2024·全国·高三专题练习）已知f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是______．
（二）指数型函数值域
（1）求指数型函数值域
22.（2024·全国·高三专题练习）函数在的最大值是（ ）
A．B．C．D．
23．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域为______．
24.（2024·河北石家庄·高一石家庄一中校考阶段练习）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
25.（2024·全国·高三专题练习）函数的值域为________.
26．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则其值域为__________.
27.（2024·宁夏银川·校联考二模）已知函数，，则其值域为_______．
28.（2024·高一单元测试）已知满足，求函数的最大值及最小值．
29．（2024·上海虹口·高三统考期中）对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为________.
（2）根据指数型函数值域（最值）求参数
30.（2024·高一课时练习）函数且的值域是，则实数 ____.
31.（2024·高三课时练习）若函数的值域为，试确定的取值范围______.
32．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若的值域是，求的值．
33．（2024·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
34．（2024·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为______．
35．（2024·全国·高三专题练习）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点四 指数函数的图象及应用
（一）判断指数函数图象的形状
36．（2024·全国·高三专题练习）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
37．（2024·全国·高三专题练习）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，，D．，，，，
38.【多选】（2024·全国·高三专题练习）函数的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
39．（2024·甘肃天水·高三校考开学考试）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
40．（2024·天津河北·统考一模）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
41．（2024·广西南宁·统考二模）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．.
42．【多选】（2024·湖北武汉·统考二模）函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
43．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C．D．
44.（2024·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）当时，函数与函数在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
45.（2024·河南安阳·高一统考期末）已知函数是指数函数，函数，则与在同一坐标系中的图像可能为（ ）
A．B．
C．D．
46.（2024·全国·高一专题练习）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
（二）指数型函数的图象变换
47.（2024·陕西安康·高一校联考期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
48.（2024·广东广州·高二校考期末）已知函数，，当时，取得最大值，则函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
（三）根据指数型函数图象判断参数的范围
49．（2024·吉林白城·高三校考期末）若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为____________.
50．（2024·陕西西安·高三统考期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ）
A．且B．且
C．且D．且
51．（2024·全国·高三专题练习）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，C．，D．，
52．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若实数满足，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
（四）指数型函数恒过定点问题
53．（2024·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）函数（其中，）的图象恒过的定点是（ ）
A．B．C．D．
54.（2024·山东烟台·高一统考期末）函数（且）的图象过定点（ ）
A．（0，－2）B．（0，－1）C．（1，－2）D．（1，－1）
55.（2024·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期末）已知且，函数的图像恒经过一个定点，此定点的坐标为______．
56．（2024·全国·高三专题练习）函数（，且）的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则=_______；
57．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的图像恒过一点P，且点P在直线的图像上，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．7D．8
58.（2024·山东济宁·统考一模）已知函数且的图象过定点，且点在直线上，则的最小值是______.
59．（2024·全国·高三专题练习）若函数恒过点，则函数在上的最小值是_____.
（五）指数函数图象应用
60.（2024·高三课时练习）已知实数，满足等式，下列五个关系式：
①；②；③；④；⑤．
其中不可能成立的关系式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
61.（2024·上海浦东新·高一校考期末）已知函数，若，则的取值范围是______
62．【多选】（2024·四川绵阳·高三校考开学考试）若直线与函数，且的图象有两个公共点，则可以是（ ）
A．2B．C．D．
63．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
64．（2024·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则函数与函数的图象在上所有交点的横坐标之和为（ ）
A．2020B．1010C．1012D．2023
65．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是___________．
考点五 指数函数的性质及应用
（一）指数函数的单调性
（1）判断函数的单调性
66．（2024·全国·高三对口高考）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（ ）．
A．B．C．D．
67．（2024·北京房山·高三统考期末）已知函数，则（ ）
A．图象关于原点对称，且在上是增函数
B．图象关于原点对称，且在上是减函数
C．图象关于轴对称，且在上是增函数
D．图象关于轴对称，且在上是减函数
68．（2024·全国·高三专题练习）设函数且，那么是（ ）．
A．奇函数，且在上是严格增函数B．奇函数，且在上是严格减函数
C．偶函数，且在上是严格增函数D．偶函数，且在上是严格减函数
69．（2024·河南周口·高三校考阶段练习）函数的单调递增区间为______.
70.（2024·高一课时练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
71.（2024·四川眉山·高一校考期末）函数的减区间是________；
72.（2024·全国·高三专题练习）函数的单调减区间是_______．
73.（2024·广东·高一统考期末）函数的单调递增区间为__________.
（2）比较指数式的大小
74.（2024·海南·高一统考学业考试）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
75.（2024·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
76．（2024·浙江嘉兴·统考二模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
77．（2024·天津·一模）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
78．（2024·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
79．（2024·河南洛阳·校联考三模）已知函数，记，，，则，，的大小关系为（ ）．
A．B．
C．D．
80．（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）设函数，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
（3）解不等式
81．（2024·全国·学军中学校联考二模）已知集合或，则（ ）
A．或B．或
C．或D．
82．（2024·河北·高三学业考试）不等式的解集是___________.
83.（2024·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）若，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
84.（2024·全国·高三专题练习）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
85．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为__________．
86．（2024·全国·高三专题练习）已知函数
（1）画出函数的图象；
（2）若，求的取值范围.
87．（2024·全国·高三专题练习）设函数则满足的x的取值范围是____________.
（4）由函数的单调性求参数
88.（2024·海南儋州·高一校考期末）下列各条件中，为“函数是上的减函数”的充要条件的是（ ）
A．B．C．D．
89．（2024·全国·高三专题练习）“”是“函数在R上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
90.（2024·全国·高三专题练习）已知指数函数（，且），且，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
91.（2024·河北邢台·高一宁晋中学校考期末）若函数在R上是减函数，则实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
92.（2024·全国·高三专题练习）已知函数（为常数）．若在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
93.（2024·河北·高三学业考试）函数 在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
94．（2024·全国·高三专题练习）若函数(且)在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
95．（2024·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递减，则k的取值范围为____________．
96．（2024·全国·高三专题练习）若函数，在R上为严格增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．（1，3）；B．（2，3）；
C．；D．；
97．（2024·全国·高三专题练习）已知函数在上单调，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
98．（2024·全国·高三专题练习）已知函数若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
99．（2024·全国·高三专题练习）已知，，则__________.
（二）指数函数的最值
（1）求函数的最值
100．（2024·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
101．（2024·高三课时练习）已知函数在上的最小值是，最大值是，求的值.
102.（2024·全国·高一专题练习）若函数（且）在上的最大值为4，最小值为，实数的值为（ ）
A．B．C．D．或
103.（2024·全国·高三专题练习）若函数恒过点，则函数在上的最小值是_____.
104．（2024·吉林·高三吉林市田家炳高级中学校考期末）若函数 的图像经过点 ， 则（ ）
A．B． 在 上单调递减
C． 的最大值为 81D． 的最小值为
105.（2024·四川眉山·高一校考期末）已知函数的定义域是，设，
(1)求的定义域；
(2)求函数的最大值和最小值.
（2）根据最值求参数
106.（2024·甘肃兰州·高一校考期末）若指数函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则（ ）
A．B．1C．或2D．2
107．【多选】（2024·河南许昌·高三校考期末）若函数在区间上的最大值比最小值大4，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
108.（2024·高一课时练习）已知，且，若函数在区间上的最大值为10，则________.
109.（2024·河北·高二统考学业考试）已知函数．若函数的最大值为1，则实数（ ）
A．B．C．D．
110.（2024·全国·高三专题练习）如果函数（，）在区间上的最大值是14，则的值为（ ）
A．3B．C．-5D．3或
111．（2024·全国·高三专题练习）已知的最小值为2，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
112．（2024·全国·模拟预测）已知函数存在最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（3）含参指数型函数最值
113.（2024·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）已知函数、奇函数和偶函数的定义域均为R，且满足，若函数（，且）.
(1)求的解析式；
(2)求在R上的最大值.
114.（2024·辽宁锦州·高二义县高级中学校考阶段练习）设函数（且）是定义域为的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若，，且在上的最小值为1，求实数的值.
115.（2024·安徽阜阳·高一安徽省阜阳第一中学校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的零点；
(2)若，求在区间上的最大值.
116.（2024秋·广西桂林·高一校考期中）已知函数在区间上有最大值和最小值.
(1)求，的值；
(2)若不等式在时有解，求实数的取值范围.
（4）函数的最值与不等式的综合问题
117．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.
118.（2024·全国·高三专题练习）设，当时，恒成立，则实数m的取值范围是____________.
119．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
120．（2024·全国·高三专题练习）已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是_________．
121．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若时，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
（三）指数函数的奇偶性
（1）已知函数奇偶性求值
122．（2024·贵州黔东南·高三统考期末）已知函数，若，则（ ）
A．4B．6C．D．
123．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的最大值为M，最小值为m，则等于（ ）
A．0B．2C．4D．8
（2）由函数的奇偶性求解析式
124．（2024·全国·高三专题练习）函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
125．（2024·全国·高三对口高考）已知函数，，是奇函数，且当时，，则时，________．
126．（2024·全国·高三专题练习）若定义在 R 上的偶函数和奇函数满足，求.
（3）已知函数的奇偶性求参数
127．（2024·上海静安·统考二模）已知函数为偶函数，则函数的值域为___________.
128．（2024·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，则实数a＝__，函数f（x）在[1，3]上的值域为__．
129．（2024·新疆阿克苏·校考一模）若函数为偶函数，则__________.
130．（2024·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数，则（ ）
A．-1B．-2C．2D．1
131.（2024·河南安阳·统考三模）已知函数的图象关于坐标原点对称，则__________.
（4）函数的奇偶性与单调性的综合
132．（2024·江西景德镇·统考模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是_________.
133．（2024·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为___________.
134．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为___________.
135．（2024·全国·高三专题练习）设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是________
136．（2024·四川绵阳·统考模拟预测）设函数在定义域上满足，若在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
考点六 指数函数的综合问题
137．（2024·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）若，则的最小值为_________．
138．（2024·江西赣州·高三统考期末）已知函数（且）图像恒过的定点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
139．（2024·全国·高三专题练习）关于“函数的最大、最小值与数列的最大、最小项”，下列说法正确的是（ ）
A．函数无最大、最小值，数列有最大、最小项
B．函数无最大、最小值，数列无最大、最小项
C．函数有最大、最小值，数列有最大、最小项
D．函数有最大、最小值，数列无最大、最小项
考点七 指数函数的实际应用
140.（2024·全国·高三专题练习）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量（mg/L）与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（ ）
A．51.2%B．48.8%C．52%D．48%
141．（2024·全国·高三专题练习）生物学家为了研究某生物种群的数量情况，经过数年的数据采集，得到该生物种群的数量Q（单位：千只）与时间t（，单位：年）的关系近似地符合，且在研究刚开始时，该生物种群的数量为5000只．现有如下结论：
①该生物种群的数量不超过40000只；
②该生物种群数量的增长速度逐年减小；
③该生物种群数量的年增长量不超过10000只．
其中所有正确说法的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
142．（2024·全国·高三专题练习）已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5％的电量，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
143．（2024·新疆昌吉·高三校考阶段练习）日常生活中，我们定义一个食堂的菜品受欢迎程度为菜品新鲜度．其表达式为，其中的取值与在本窗口就餐人数有关，其函数关系式我们可简化为，其中为就餐人数（本窗口），为餐品新鲜度，则当，时，近似等于（ ）（已知）
A．470B．471C．423D．432
144．（2024·全国·高三专题练习）某食品的保鲜时间（单位：）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在储藏温度为时的保鲜时间是216小时，在储藏温度为时的保鲜时间为24小时，则该食品在储藏温度为时的保鲜时间是（ ）
A．B．C．D．
145.（2024·全国·高三专题练习）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p，若存m期，本利和为5.4万元，若存n期，本利和为5.5万元，若存期，则利息为（ ）
A．5.94万元B．1.18万元C．6.18万元D．0.94万
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根式的概念
符号表示
备注
如果 xn＝a ，那么x叫做a的n次方根
n>1且n∈N*
当n为奇数时，正数的n次方根是一个 正数 ，负数的n次方根是一个 负数
eq \r(n,a)
零的n次方根是零
当n为偶数时，正数的n次方根有 两个 ，它们互为 相反数
±eq \r(n,a)
负数没有偶次方根
定义
函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数
底数
a>1
01；
当xag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)0且）的图象过点（2,4），（4,2），则（ ）
A．B．=2C．=3D．=6
【答案】AD
【详解】由已知得，两式相比得，所以，
由得 ，所以，
故选：AD．
考点三 指数型函数的定义域和值域问题
（一）指数型函数定义域
15．（2024·北京丰台·高三统考期末）函数的定义域是___________．
【答案】且
【分析】根据题意得到求解即可.
【详解】由题知：且.
故答案为：且.
16.（2024·高一课时练习）函数的定义域为______．
【答案】
【详解】，
即定义域为.
故答案为：
17．（2024·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）函数的定义域是_______．
【答案】.
【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，即可求得结果.
【详解】由题意得，
解得且，
所以函数的定义域为，
故答案为：.
18.（2024·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_______
【答案】
【详解】由条件可知，函数的定义域需满足，解得：，
所以函数的定义域是.
故答案为：
19．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】抽象函数的定义域求解，要注意两点，一是定义域是x的取值范围；二是同一对应法则下，取值范围一致.
【详解】的定义域为，，即，
，解得：且，
的定义域为.
故选：.
20．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则_________．
【答案】
【分析】由已知可得不等式的解集为，可知为方程的根，即可求得实数的值.
【详解】由题意可知，不等式的解集为，则，解得，
当时，由，可得，解得，合乎题意.
故答案为：.
21．（2024·全国·高三专题练习）已知f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是______．
【答案】[-1，0]
【分析】把f（x）的定义域为R转化为0对任意x∈R恒成立，即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，再由判别式小于等于0求解．
【详解】∵f（x）的定义域为R，
∴0对任意x∈R恒成立，
即恒成立，
即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，
∴△＝4a2+4a≤0，则﹣1≤a≤0．
故答案为[﹣1，0]．
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．
（二）指数型函数值域
（1）求指数型函数值域
22.（2024·全国·高三专题练习）函数在的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：因为函数是单调递增函数，
所以函数也是单调递增函数，
所以.
故选：C
23．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域为______．
【答案】
【分析】用含的式子表达出，得到，求出值域.
【详解】，
故，即，解得：或，
故值域为
故答案为：
24.（2024·河北石家庄·高一石家庄一中校考阶段练习）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】二次函数开口向下，
当时，最大值为，
函数是单调递减函数，
所以的值域为.
故选：B.
25.（2024·全国·高三专题练习）函数的值域为________.
【答案】
【详解】因为函数的对称轴为，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，
故答案为: .
26．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则其值域为__________.
【答案】
【分析】根据换元法将函数变为，结合二次函数的单调性即可求解最值,进而求解值域.
【详解】，令，则，，由于在单调递增，在单调递减，故的最小值为，故值域为，
故答案为：
27.（2024·宁夏银川·校联考二模）已知函数，，则其值域为_______．
【答案】
【解析】令，∵，∴，
∴，
又关于对称，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且，
时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即，
.
故答案为：.
28.（2024·高一单元测试）已知满足，求函数的最大值及最小值．
【答案】，
【详解】由可得：可得：，令，，
则，，
当即时，；当即时，．
29．（2024·上海虹口·高三统考期中）对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为________.
【答案】
【分析】根据奇函数的性质求得，再结合基本不等式求时其的取值范围，再结合奇函数的性质求时函数值的范围，由此可得函数值域.
【详解】因为为上的奇函数，
所以，所以，
又当时，，
所以，
当且仅当时等号成立，
即当时，，
因为为上的奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，
所以时，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
（2）根据指数型函数值域（最值）求参数
30.（2024·高一课时练习）函数且的值域是，则实数 ____.
【答案】或
【详解】当时，函数且是增函数，
值域是， ；
当时，函数且是减函数，
值域是， .
综上所述，可得实数或.
故答案为：或
31.（2024·高三课时练习）若函数的值域为，试确定的取值范围______.
【答案】
【详解】令，则，，
函数的值域为，，
，
解得或，
即或，
解得或．
故答案为：
32．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若的值域是，求的值．
【答案】0
【分析】利用换元法，令，则，则由题意可知的值域为，从而可求出的值
【详解】令，则，
因为的值域是，即的值域是，
所以的值域为，
若，则为二次函数，其值域不可能为，
若，则，其值域为，
所以
33．（2024·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.
【详解】当时，，
当时， ，
因为函数的值域为，
所以，得，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
34．（2024·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】由指数函数性质求解
【详解】令，由题意得的值域为，
又的值域为，所以解得
所以的取值范围为．
故答案为：
35．（2024·全国·高三专题练习）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】方程有解转化为有正根，即在有解，根据解出的范围．
【详解】方程有解，
有解，
令，
则可化为有正根，
则在有解，又当时，
所以，
故选：．
考点四 指数函数的图象及应用
（一）判断指数函数图象的形状
36．（2024·全国·高三专题练习）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.
【详解】与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线，
该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．
故选：A
37．（2024·全国·高三专题练习）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，，D．，，，，
【答案】C
【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.
【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.
故选：C．
38.【多选】（2024·全国·高三专题练习）函数的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给赋值，判断选项.当时，，图象A满足；
当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足；
当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；
图象C过点，此时，故C不成立.
故选：ABD
39．（2024·甘肃天水·高三校考开学考试）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性和特殊点确定正确选项.
【详解】的定义域为,
,所以为奇函数,由此排除AC选项;
又,排除B选项.
故选：D.
40．（2024·天津河北·统考一模）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征即可排除错误答案.
【详解】定义域为，且，
即为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B、D；
当时，，所以，故排除C；
故选：A
41．（2024·广西南宁·统考二模）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．.
【答案】C
【分析】确定函数为奇函数排除BD，计算，排除A，得到答案.
【详解】，函数定义域为，
，函数为奇函数，排除BD；
，，故，排除A.
故选：C
42．【多选】（2024·湖北武汉·统考二模）函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】分类讨论函数的单调性及极值点判断各个选项即可.
【详解】，
当时, ,A选项正确；
，
，
,
时, 有两个根,且时
,根据极值点判断，故C选项正确,D选项错误；
当时, 有两个根,且此时
,故B选项正确.
故选：ABC．
43．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【分析】分和去掉绝对值化简函数解析式，即可判断函数图象．
【详解】依题意可得，
又，则根据指数函数图象即可判断只有选项B符合．
故选：B．
44.（2024·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）当时，函数与函数在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】，，是减函数，排除CD，
，，是增函数，又排除B，
故选：A．
45.（2024·河南安阳·高一统考期末）已知函数是指数函数，函数，则与在同一坐标系中的图像可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】当时，为增函数，的图像的对称轴为直线，A选项错误，C选项正确；
当时，为减函数，的图像的对称轴为直线，B选项错误，D选项错误．
故选：C
46.（2024·全国·高一专题练习）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】的函数图象与轴的交点的横坐标为的两个根，
由可得两根为a，b，
观察的图象，可得其与轴的两个交点分别在区间与上，
又∵，∴，，
由可知，
当时，为增函数，
又由得的图象与y轴的交点在x轴上方，
分析选项可得C符合这两点．
故选：C．
（二）指数型函数的图象变换
47.（2024·陕西安康·高一校联考期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】A
【详解】因为，
所以，只需将函数向左平移1个单位，即可得到函数的图象.
故选：A.
48.（2024·广东广州·高二校考期末）已知函数，，当时，取得最大值，则函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为，，在单调递减，在单调递增，
故可得在时，取得最大值.
故，，
又图象可以由的图象经过关于轴的翻折变换，再向左平移1个单位得到.
故满足的函数图象是选项.
故选：
（三）根据指数型函数图象判断参数的范围
49．（2024·吉林白城·高三校考期末）若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为____________.
【答案】
【分析】图象不经过第一象限,只需,代入解析式,解出不等式即可.
【详解】解:由题知,
若函数单调递减，其图象不经过第一象限,必有图象与y轴交点不在y轴正半轴上，
只需即可,
即,
解得: .
故答案为:
50．（2024·陕西西安·高三统考期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】C
【分析】观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论．
【详解】解：如图所示，图象与轴的交点在轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且，
，且．
故选：．
51．（2024·全国·高三专题练习）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】由函数的单调性得到的范围，再根据函数图像平移关系分析得到的范围.
【详解】由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，，排除AB选项；
分析可知：
函数图像是由向左平移所得，，.故D选项正确.
故选：D
52．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若实数满足，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出函数图象，根据图象先确定，再由函数确定出c的取值范围，
再由确定出，即可求解.
【详解】作出函数的图象，如图，
当时，，
由图可知，，即
得，则，
由，即，得，求得，
∴，
故选：D
（四）指数型函数恒过定点问题
53．（2024·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）函数（其中，）的图象恒过的定点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令可得定点.
【详解】令，即，得，
函数（其中，）的图象恒过的定点是.
故选：B.
54.（2024·山东烟台·高一统考期末）函数（且）的图象过定点（ ）
A．（0，－2）B．（0，－1）C．（1，－2）D．（1，－1）
【答案】D
【详解】依题意，因为（且），
所以令，解得：，
所以，
所以函数（且）的图象过定点.
故选：D.
55.（2024·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期末）已知且，函数的图像恒经过一个定点，此定点的坐标为______．
【答案】
【详解】令得，此时，
所以图象过定点．
故答案为：．
56．（2024·全国·高三专题练习）函数（，且）的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则=_______；
【答案】27
【分析】先求出定点的坐标，然后代入幂函数中，即可求出幂函数的方程，进而可以求出.
【详解】解：因为函数（，且）的图象恒过定点，
所以由指数型函数性质得，
因为在幂函数的图象上
所以，解得，
所以，.
故答案为：
57．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的图像恒过一点P，且点P在直线的图像上，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】根据指数函数的性质，求定点，代入直线方程，利用基本不等式“1”的妙用，可得答案.
【详解】由函数，可得，则，整理可得，
故，当且仅当，即时，等号成立，
故选：D.
58.（2024·山东济宁·统考一模）已知函数且的图象过定点，且点在直线上，则的最小值是______.
【答案】
【详解】函数且的图象过定点，
则，所以，
由，得，
则
令，则，
则
，
当且仅当，即，即时，取等号，
所以的最小值是.
故答案为：.
59．（2024·全国·高三专题练习）若函数恒过点，则函数在上的最小值是_____.
【答案】
【解析】先利用指数型函数恒过定点问题求定点，得到，换元，令，利用二次函数的单调性，即可求解.
【详解】函数恒过点，
则，
区间变为，
由函数，
令，
则，
利用二次函数的单调性，
当时，，
则函数在上的最小值是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：把指数型复合函数求最值问题转化为二次函数求最值问题是解决本题的关键.
（五）指数函数图象应用
60.（2024·高三课时练习）已知实数，满足等式，下列五个关系式：
①；②；③；④；⑤．
其中不可能成立的关系式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【详解】解：画出函数与的图象，
当时，的图象在的图象下方，
当时，的图象在的图象上方，
当，时，则，
当时，成立，
当，时，则，
故③，④不成立.
故选：B．
61.（2024·上海浦东新·高一校考期末）已知函数，若，则的取值范围是______
【答案】
【详解】设，
由于，所以，
由，解得，
画出的图象如下图所示，
不妨设，则由，
得，，
所以的取值范围是.
故答案为：
62．【多选】（2024·四川绵阳·高三校考开学考试）若直线与函数，且的图象有两个公共点，则可以是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】CD
【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得．
【详解】由题意，直线与函数，且的图象有两个公共点，
当时，的图象如图（1）所示，
由已知得，；
当时，的图象如图（2）所示，
由已知可得，
，结合可得无解．
综上可知的取值范围为．
故选：．
63．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】函数有两个不同的零点，可转化为函数与直线有两个交点，作出函数图象，数形结合可得实数的取值范围.
【详解】函数有两个不同的零点，
即为函数与直线有两个交点，
函数图象如图所示：
所以，
故选：D.
64．（2024·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则函数与函数的图象在上所有交点的横坐标之和为（ ）
A．2020B．1010C．1012D．2023
【答案】A
【分析】根据条件先得出函数的周期性和对称性，然后再利用函数与函数的图像交点研究问题即可.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以，即当时，
由已知，
，
，故是周期函数，且对称轴为，
又，即，
所以函数关于对称
如图函数和函数在上的图像
在区间上，包含了函数中的个周期再加上个周期，
在区间上，包含了函数中的个周期再加上个周期，
所以函数和函数在和上都有个交点，
根据对称性可得所有交点的横坐标之和为.
故选：A.
65．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是___________．
【答案】
【分析】由得，作出和的图像，结合图像求得不等式的解集．
【详解】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图像如图：
两函数图像的交点坐标为，
由图可知：当或时，成立，
所以不等式的解集为：．
故答案为：．
考点五 指数函数的性质及应用
（一）指数函数的单调性
（1）判断函数的单调性
66．（2024·全国·高三对口高考）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性和单调性性质即可求解.
【详解】A：一次函数的性质知在上是减函数，不合题意．
B：定义域为R且，为非奇非偶且是减函数，不合题意；
C：定义域为R且，为偶函数且在R上不单调，不合题意．
D：定义域为R且，为奇函数且在上是增函数，符合题意.
故选：D．
67．（2024·北京房山·高三统考期末）已知函数，则（ ）
A．图象关于原点对称，且在上是增函数
B．图象关于原点对称，且在上是减函数
C．图象关于轴对称，且在上是增函数
D．图象关于轴对称，且在上是减函数
【答案】B
【分析】根据定义判断奇偶性，由解析式判断单调性，即可得答案.
【详解】由且定义域为R，
所以为奇函数，即关于原点对称，
又在R上递减，故在上是减函数.
故选：B
68．（2024·全国·高三专题练习）设函数且，那么是（ ）．
A．奇函数，且在上是严格增函数B．奇函数，且在上是严格减函数
C．偶函数，且在上是严格增函数D．偶函数，且在上是严格减函数
【答案】A
【分析】利用对数运算整理函数解析式，根据指数函数的单调性以及函数奇偶性的定义，可得答案.
【详解】由，则，即，
因为在上单调递增，在单调递减，
所以在上单调递增；
由，则为奇函数.
故选：A.
69．（2024·河南周口·高三校考阶段练习）函数的单调递增区间为______.
【答案】
【分析】令，求出的单调区间，再根据复合函数的单调性判断即可.
【详解】令，则在上单调递减，在上单调递增，
又在定义域上单调递减，
所以的单调递增区间.
故答案为：
70.（2024·高一课时练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，
函数在定义域内是单调递减函数，
所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得的单调递减区间为.
故选：D
71.（2024·四川眉山·高一校考期末）函数的减区间是________；
【答案】##
【详解】函数可看成由与复合而成，而为单调递增函数，
所以函数的单调递减区间为单调递减区间，
即单调递减区间为.
故答案为：.
72.（2024·全国·高三专题练习）函数的单调减区间是_______．
【答案】
【详解】令，则
∵，∴在上单调递减
作出的图象
由图象可以在上单调递减，在上单调递增
∴在上单调递增，在上单调递减
故答案为：.
73.（2024·广东·高一统考期末）函数的单调递增区间为__________.
【答案】
【详解】设，则，
对称轴为，当，即，
即，即时，为减函数，
函数为增函数，
则为减函数，
即函数单调减区间为；
当，即，
即，即时，为减函数，
函数为减函数，
则为增函数，
即函数单调增区间为.
故答案为：
（2）比较指数式的大小
74.（2024·海南·高一统考学业考试）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】，，，
因为指数函数单调递减，所以,
所以，所以.
故选:D.
75.（2024·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：因为函数为减函数，
所以，
又因为，
所以.
故选：A.
76．（2024·浙江嘉兴·统考二模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用中间值比较a,b的大小，再让b，c与中间值比较，判断b,c的大小，即可得解.
【详解】，又因为通过计算知，所以，即，
又，所以，所以.
故选：B
77．（2024·天津·一模）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可判断，，再对，进行取对数，结合对数函数的性质即可判断，进而即可得到答案．
【详解】由，，，
则，，
又，，
则，即，
所以．
故选：D．
78．（2024·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题设可得，，结合结构特征，先构造函数，利用导数分析单调性，比较出；结合，，进而求解.
【详解】因为，，
即，，
先证明，
设，
则，
令，则；令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
即，即，
所以，
即，即.
而，
所以.
故选：D.
79．（2024·河南洛阳·校联考三模）已知函数，记，，，则，，的大小关系为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性及指数函数的性质判断函数单调性，再根据自变量的大小关系比较函数值的大小.
【详解】由，，
所以函数为偶函数，
又当时，，
所以函数在上单调递增，
因为，且
又，，，，
则，
又，则，
所以，
所以，
所以，
即，
故选：C.
80．（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）设函数，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据条件判断出函数的单调性，再判断出，，的大小关系，进而求得结论．
【详解】解函数，
当时，由和在定义域上单调递减，
所以在上单调递减，
当时，单调递减，
又因为，
函数在上单调递减，
，，，
.
故选：D．
（3）解不等式
81．（2024·全国·学军中学校联考二模）已知集合或，则（ ）
A．或B．或
C．或D．
【答案】B
【分析】解法一：根据题意求集合M，进而根据交集运算求解；解法二：取特值检验排除.
【详解】解法一：由题可得或或，
所以或.
故选：B.
解法二：由题可得，所以，故排除A、D；
又且，所以，故排除C.
故选：B.
82．（2024·河北·高三学业考试）不等式的解集是___________.
【答案】
【分析】结合指数函数的单调性、一元二次不等式的解法求得不等式的解集.
【详解】，，
由于在上递减，所以，
解得，所以不等式的解集为.
故答案为：
83.（2024·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）若，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为函数是减函数，且，
所以，解得，
即实数a的取值范围是.
故选：D.
84.（2024·全国·高三专题练习）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】分析：首先根据指数函数的性质，将不等式恒成立转化为恒成立，利用判别式，从而求得实数的取值范围.
详解：不等式恒成立，即，即恒成立，即恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选B.
85．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】根据给定条件，分段解不等式，再求并集作答.
【详解】当时，，解得，于是得：，
当时，，解得，于是得，
所以的解集为．
故答案为：
86．（2024·全国·高三专题练习）已知函数
（1）画出函数的图象；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【分析】（1）根据指数函数的图象特点作出的图象，再根据一次函数的特点作出的图象即可；
（2）当时，解不等式，当，解不等式即可求解.
【详解】（1）函数的图象如图所示：
（2），
当时， ，可得：，
当，，可得：，
所以的解集为：，
所以的取值范围为.
87．（2024·全国·高三专题练习）设函数则满足的x的取值范围是____________.
【答案】
【详解】由题意得： 当时，恒成立，即；当时， 恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是.
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.
（4）由函数的单调性求参数
88.（2024·海南儋州·高一校考期末）下列各条件中，为“函数是上的减函数”的充要条件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵函数是上的减函数，等价于，
故“函数是上的减函数”的充要条件的是.
故选：B.
89．（2024·全国·高三专题练习）“”是“函数在R上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由指数函数的性质可得在R上为增函数的等价条件，再由充分、必要条件的定义即可得解.
【详解】解：在R上为增函数，则，即．
故时，为增函数，充分性成立；
但为增函数，a还可以是，故必要性不成立．
故选：A．
90.（2024·全国·高三专题练习）已知指数函数（，且），且，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：由指数函数（，且），且
根据指数函数单调性可知
所以，
故选：A
91.（2024·河北邢台·高一宁晋中学校考期末）若函数在R上是减函数，则实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】令，由于函数在上是减函数，
函数为上的增函数，则函数为上的减函数，
所以，，解得.
故选：B.
92.（2024·全国·高三专题练习）已知函数（为常数）．若在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为函数为增函数，若在区间上是增函数，
由复合函数的单调性知，必有在区间上是增函数，
又在区间上是增函数，
所以，故有.
故选：B．
93.（2024·河北·高三学业考试）函数 在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】记，
其图象为抛物线，对称轴为，且开口向上，
因为函数在区间上是单调减函数，
所以函数在区间上是单调增函数，
而在上单调递增，
所以，解得，
故选：C．
94．（2024·全国·高三专题练习）若函数(且)在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，则，则可得在上递减，在上递增，然后分和两种情况求出的增区间，使为增区间的子集，从而可求出实数的取值范围.
【详解】令，则，
的对称轴为，
则在上递减，在上递增，
当时，在定义域内递减，所以在上递增，在上递减，
因为在上单调递增，所以，不等式无解，
当时，在定义域内递增，所以在上递减，在上递增，
因为在上单调递增，所以，解得，
综上，实数的取值范围为，
故选：C
95．（2024·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递减，则k的取值范围为____________．
【答案】
【分析】先画出函数，再根据函数在上单调递减求解.
【详解】解：因为函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，
函数图象如图所示：
由图象知，其在上单调递减，所以k的取值范围是．
故答案为：
96．（2024·全国·高三专题练习）若函数，在R上为严格增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．（1，3）；B．（2，3）；
C．；D．；
【答案】D
【分析】直接根据分段函数减函数的定义构造不等式组，解不等式组即可求出参数的取值范围.
【详解】在上为严格增函数，，解得.
即实数的取值范围是.
故选：D
97．（2024·全国·高三专题练习）已知函数在上单调，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据在上的单调性列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】的开口向下，对称轴是直线，
所以函数在上单调递增，
依题意可知，在上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
98．（2024·全国·高三专题练习）已知函数若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由指数函数的性质判断分段函数的单调性，结合已知不等式求参数范围.
【详解】由解析式易知：在R上递增，又，
所以，则.
故选：D
99．（2024·全国·高三专题练习）已知，，则__________.
【答案】
【分析】化简已知条件，通过构造函数，结合函数的单调性求得的关系式，从而求得.
【详解】，，
设，在上递增，
而，
所以，则.
故答案为：
（二）指数函数的最值
（1）求函数的最值
100．（2024·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，，则，根据二次函数性质得到最值.
【详解】设，，则，
当，即时，函数有最大值为.
故选：.
【点睛】本题考查了指数型函数的最值，换元可以简化运算，是解题的关键.
101．（2024·高三课时练习）已知函数在上的最小值是，最大值是，求的值.
【答案】
【分析】根据指数函数的单调性求出最值，再相加即可得解.
【详解】因为函数在上单调递减函数，
所以最小值，最大值，
所以.
102.（2024·全国·高一专题练习）若函数（且）在上的最大值为4，最小值为，实数的值为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【详解】时，在上单调递增，
则，解得，
此时，.
当时，
在上单调递减，
所以，解得，
此时，.
综上，m的值为或，
故选：D.
103.（2024·全国·高三专题练习）若函数恒过点，则函数在上的最小值是_____.
【答案】
【详解】函数恒过点，
则，
区间变为，
由函数，
令，
则，
利用二次函数的单调性，
当时，，
则函数在上的最小值是.
故答案为：.
104．（2024·吉林·高三吉林市田家炳高级中学校考期末）若函数 的图像经过点 ， 则（ ）
A．B． 在 上单调递减
C． 的最大值为 81D． 的最小值为
【答案】AC
【分析】利用函数经过点,可求出,再应用函数性质每个选项分别判断即可.
【详解】对于:由题意得 ， 得 ,故正确;
对于:令函数 ， 则该函数在上单调递减，在 上单调递增．
因为 是减函数， 所以在上单调递增， 在 上单调递减， 故错误;
对于:因为在上单调递增， 在 上单调递减,
所以 ,无最小值．故正确, 错误;
故选:.
105.（2024·四川眉山·高一校考期末）已知函数的定义域是，设，
(1)求的定义域；
(2)求函数的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【详解】（1）的定义域是，，
因为的定义域是，所以，解得
于是的定义域为.
（2）设.
因为，即，所以当时，即时，
取得最小值，值为；
当时，即时，取得最大值，值为.
（2）根据最值求参数
106.（2024·甘肃兰州·高一校考期末）若指数函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则（ ）
A．B．1C．或2D．2
【答案】D
【详解】解：当时，函数为增函数，
则，
故，解得或（舍去），
当时，函数为减函数，
则，
故，无解，
综上，.
故选：D.
107．【多选】（2024·河南许昌·高三校考期末）若函数在区间上的最大值比最小值大4，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由指数函数的单调性可得最大值和最小值，列方程可得结果.
【详解】∵在R上单调递增，∴在 上单调递增，
∴当x=2时，取得最小值为4；当x=a时，取得最大值为 ，
∴，解得：a=3.
故选：C.
108.（2024·高一课时练习）已知，且，若函数在区间上的最大值为10，则________.
【答案】或
【详解】（1）若，则函数在区间上是递增的，
当时，取得最大值，即，
又，∴.
（2）若，则函数在区间上是递减的，
当时，取得最大值，
所以.
综上所述，的值为或.
故答案为：或
109.（2024·河北·高二统考学业考试）已知函数．若函数的最大值为1，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，令，
则，当时，，解得.
故选：B
110.（2024·全国·高三专题练习）如果函数（，）在区间上的最大值是14，则的值为（ ）
A．3B．C．-5D．3或
【答案】D
【详解】令ax＝t，则．
当a＞1时，因为，所以，
又函数y＝（t＋1）2－2在上单调递增，
所以ymax＝（a＋1）2－2＝14，解得a＝3（a＝-5舍去）．
当0＜a＜1时，因为，所以，
又函数y＝（t＋1）2－2在上单调递增，
则ymax＝，
解得（舍去）．
综上知a＝3或．
故选：D
111．（2024·全国·高三专题练习）已知的最小值为2，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】注意观察时，，所以让时， 恒成立即可，根据参变分离和换元方法即可得解.
【详解】当时，，
又因为的最小值为2，
，所以需要当时， 恒成立，
所以在恒成立，
所以在恒成立，
即在恒成立，
令 ，则，
原式转化为在恒成立，
是二次函数，开口向下，对称轴为直线，
所以在上 最大值为，
所以，
故选：D.
112．（2024·全国·模拟预测）已知函数存在最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由分段函数在两段上的单调性，确定每一段上函数的取值范围后比较可得．
【详解】易知在上单调递增，所以当时，；
在上单调递增，所以当时，.
所以要使函数存在最大值，只需(易错：注意等号能否取到)，解得.
故选：C.
（3）含参指数型函数最值
113.（2024·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）已知函数、奇函数和偶函数的定义域均为R，且满足，若函数（，且）.
(1)求的解析式；
(2)求在R上的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可知，
由为奇函数，为偶函数，可知，，
则，
则.
（2）由（1）得，
当，且时，，则，
当且仅当，即时取等号，
故在R上的最大值为.
114.（2024·辽宁锦州·高二义县高级中学校考阶段练习）设函数（且）是定义域为的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若，，且在上的最小值为1，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，所以，
所以，即，
当时，符合条件.
（2）因为，所以，
解得或（舍）.
故，
令，由，故，
所以
函数图象的对称轴为，
①时，，解得（舍去）；
②时，，解得.
所以，.
115.（2024·安徽阜阳·高一安徽省阜阳第一中学校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的零点；
(2)若，求在区间上的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）解：当时，，
由可得，，所以.
即当时，函数的零点为.
（2）解：令，即求在区间上的最大值.
当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，即当时，函数在区间上单调递增，则；
②当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为，，，则；
③当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时，，则；
④当时，即当时，函数在区间上单调递减，所以.
综上所述.
116.（2024秋·广西桂林·高一校考期中）已知函数在区间上有最大值和最小值.
(1)求，的值；
(2)若不等式在时有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：令，则原函数可转化为，
因为且对称轴，
所以在上单调递增，
由已知可得，解得；
（2）解：由（1）知，.
令，由，得，则在上有解，
即在上有解.
令，，则，
，，
即实数k的取值范围为.
（4）函数的最值与不等式的综合问题
117．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.
【答案】．
【分析】利用换元法把目标式转化为二次函数问题，结合二次函数的单调性和最值情况可得答案.
【详解】令
因为在区间上是增函数，
所以
因此要使在区间上恒成立，应有，即所求实数m的取值范围为．
故答案为：.
118.（2024·全国·高三专题练习）设，当时，恒成立，则实数m的取值范围是____________.
【答案】
【解析】由函数，
均为在上的增函数，故函数是在上的单调递增函数，
且满足，所以函数为奇函数，
因为，即，
可得恒成立，即在上恒成立，
则满足，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
119．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】可求得在上单调递减，且，所以由得，得，即对于任意的恒成立，从而得解．
【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递减．
因为，
所以由，得，即，
所以，即对于任意的恒成立，
而，则，即实数的取值范围是．
故选：A．
120．（2024·全国·高三专题练习）已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是_________．
【答案】，，
【分析】设，，则，对于，恒成立，问题转化为，于，恒成立，即，即可解得答案．
【详解】设，，
则，对于，恒成立，
即，对于，恒成立，
∴，
即，
解得或，
即或，
解得或，
综上，的取值范围为，，．
故答案为：，，﹒
121．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若时，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将不等式转化为，然后再求最值即可.
【详解】不等式可化为，有，有，当时，（当且仅当时取等号），，故有．
故选：C
（三）指数函数的奇偶性
（1）已知函数奇偶性求值
122．（2024·贵州黔东南·高三统考期末）已知函数，若，则（ ）
A．4B．6C．D．
【答案】B
【分析】设，则可得是奇函数，利用可得可得答案.
【详解】，设，则，即是奇函数，
故，即，即，
因为，所以.
故选：B.
123．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的最大值为M，最小值为m，则等于（ ）
A．0B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】先构造并证明其是奇函数，得到，即得到，即得结果.
【详解】依题意，
故令，所以，
所以函数为奇函数，所以，故，
所以.
故选：C.
（2）由函数的奇偶性求解析式
124．（2024·全国·高三专题练习）函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性即可求解.
【详解】解：由题意得：
当时，，
函数是R上的奇函数，故
故选：C
125．（2024·全国·高三对口高考）已知函数，，是奇函数，且当时，，则时，________．
【答案】
【分析】由奇函数性质得，再根据奇函数求解析式即可.
【详解】解：因为为上的奇函数，当时，，
所以，解得．
所以当时，．
当时，．
所以．
所以．
所以，时，
故答案为：
126．（2024·全国·高三专题练习）若定义在 R 上的偶函数和奇函数满足，求.
【答案】
【分析】将代入，结合奇偶性化简再解方程组即可
【详解】因为为偶函数，为奇函数，所以，，因为①，所以，所以②，由①②式消去，得.
（3）已知函数的奇偶性求参数
127．（2024·上海静安·统考二模）已知函数为偶函数，则函数的值域为___________.
【答案】
【分析】利用偶函数的定义求出，则，设，利用基本不等式，即可求出结果．
【详解】函数（）是偶函数，
，
，易得，
设，
则，
当且仅当即时，等号成立，
所以，
所以函数的值域为．
故答案为：．
128．（2024·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，则实数a＝__，函数f（x）在[1，3]上的值域为__．
【答案】
【分析】由是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数可得f（﹣x）＝﹣f（x），代入可求出实数a；再判断数f（x）在[1，3]上单调性，即可求出答案.
【详解】解：∵f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
即aa，
即aa，
则2a1，
则a，
则f（x）在[1，3]为减函数，
则f（3）≤f（x）≤f（1），
即f（x），
即函数的值域为[，]，
故答案为：；[，]
129．（2024·新疆阿克苏·校考一模）若函数为偶函数，则__________.
【答案】2
【分析】由偶函数的概念列方程即可求得.
【详解】∵函数为偶函数
∴
即
又∵∴
故答案为：
130．（2024·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数，则（ ）
A．-1B．-2C．2D．1
【答案】A
【分析】根据偶函数定义计算可得.
【详解】因为函数为偶函数，所以，
，
，
所以，即得
可得，成立，
所以.
故选：A.
131.（2024·河南安阳·统考三模）已知函数的图象关于坐标原点对称，则__________.
【答案】/1.5
【解析】依题意函数是一个奇函数，
又，所以，
所以定义域为，
因为的图象关于坐标原点对称，所以，解得.
又，所以，
所以，即，
所以，所以.
故答案为：.
（4）函数的奇偶性与单调性的综合
132．（2024·江西景德镇·统考模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是_________.
【答案】
【分析】首先判断函数的单调性，根据偶函数的性质及单调性原不等式等价于，解得即可.
【详解】解：因为是定义在上的偶函数，且当时，，
即在上单调递增，所以在上单调递减，
则不等式等价于，即，解得，
即.
故答案为：
133．（2024·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】由函数的奇偶性与单调性转化后求解，
【详解】由函数与均在上单调递增，
故在上单调递增，
而为上的奇函数，故在上单调递增，
等价于，得，
故答案为：
134．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】分析出函数为偶函数，且在上为增函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】函数的定义域为，，
所以，函数为偶函数，
当时，为增函数，
因为，则，
所以，，所以，，所以，，
因为，故恒成立，
由可得，解得.
因此，原不等式的解集为.
故答案为：.
135．（2024·全国·高三专题练习）设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是________
【答案】
【分析】根据函数的单调性以及奇偶性解不等式即可.
【详解】函数的定义域为，，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数，原不等式可化为，所以，解得，故的取值范围是．
故答案为：
136．（2024·四川绵阳·统考模拟预测）设函数在定义域上满足，若在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可得函数在定义域上奇函数，进而可得在上是减函数，根据题意结合单调性解不等式即可.
【详解】∵，即，
故函数在定义域上奇函数，
若在上是减函数，则在上是减函数，
∵，且，
若，则，解得，
故不等式的解集为.
故选：A.
考点六 指数函数的综合问题
137．（2024·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）若，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】把表示成的函数，再借助均值不等式求解作答.
【详解】依题意，，，则，
当且仅当，即时取“=”，此时，，
所以，当时，取最小值.
故答案为：
138．（2024·江西赣州·高三统考期末）已知函数（且）图像恒过的定点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求定点,再由点在线上得出和为定值,应用常值代换求出最值转化恒成立问题,最后解出一元二次不等式即可.
【详解】因为函数（且）图像恒过的定点,
又因为定点在直线上,所以,
,所以最小值为
因为关于的不等式恒成立,所以
所以,即得,,解得
故选: .
139．（2024·全国·高三专题练习）关于“函数的最大、最小值与数列的最大、最小项”，下列说法正确的是（ ）
A．函数无最大、最小值，数列有最大、最小项
B．函数无最大、最小值，数列无最大、最小项
C．函数有最大、最小值，数列有最大、最小项
D．函数有最大、最小值，数列无最大、最小项
【答案】A
【分析】依题意可得，根据反比例函数及指数函数的性质分析函数的单调性与值域，即可得到数列的单调性，即可判断.
【详解】解：函数，
令，由，解得，所以函数的定义域为，
因为且，所以，
则，则，所以函数无最大、最小值；
又在，上单调递减，在定义域上单调递增，
所以在，上单调递减，且当时，
因为
对于数列，
则，，且时，
所以数列有最小项，有最大项.
故选：A
考点七 指数函数的实际应用
140.（2024·全国·高三专题练习）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量（mg/L）与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（ ）
A．51.2%B．48.8%C．52%D．48%
【答案】B
【详解】依题意有， 可得，
当时，
因此，前6个小时消除了污染物的48.8%.
故选∶B．
141．（2024·全国·高三专题练习）生物学家为了研究某生物种群的数量情况，经过数年的数据采集，得到该生物种群的数量Q（单位：千只）与时间t（，单位：年）的关系近似地符合，且在研究刚开始时，该生物种群的数量为5000只．现有如下结论：
①该生物种群的数量不超过40000只；
②该生物种群数量的增长速度逐年减小；
③该生物种群数量的年增长量不超过10000只．
其中所有正确说法的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】由题意可知，求出，然后得，化成带分式便可求出的取值范围判断①，对求导，根据单调性便可求出增长速度，可判断②③.
【详解】解：由题意得：
，即，解得，故．因为，故①正确；
因为，可知当时，单调递增，当时，单调递减，故该生物种群数量的增长速度先增大后减小，故②错误；
当时，，故③正确.
故选C．
142．（2024·全国·高三专题练习）已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5％的电量，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可得，化简后利用换元法解此不等式可求得结果
【详解】由题意得，小时后的电量为毫安，此时转为B模式，
可得10小时后的电量为，则由题意可得
，
化简得，
即
令，则，
由题意得，则，
令分别为1，2时，这个不等式左右两边大小相等，
由函数和的图象可知，
该不等式的解集为，
所以，得，
故选：C
143．（2024·新疆昌吉·高三校考阶段练习）日常生活中，我们定义一个食堂的菜品受欢迎程度为菜品新鲜度．其表达式为，其中的取值与在本窗口就餐人数有关，其函数关系式我们可简化为，其中为就餐人数（本窗口），为餐品新鲜度，则当，时，近似等于（ ）（已知）
A．470B．471C．423D．432
【答案】A
【分析】根据题目将数据代入公式，结合指数函数单调性求解即可.
【详解】当，时，，
因为，且单调递减，
所以，
所以当时，
故选：A
144．（2024·全国·高三专题练习）某食品的保鲜时间（单位：）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在储藏温度为时的保鲜时间是216小时，在储藏温度为时的保鲜时间为24小时，则该食品在储藏温度为时的保鲜时间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用给定条件列出方程组，求得相关量，再将代入计算即得.
【详解】依题意，，解得，
所以当时，.
故选：B.
145.（2024·全国·高三专题练习）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p，若存m期，本利和为5.4万元，若存n期，本利和为5.5万元，若存期，则利息为（ ）
A．5.94万元B．1.18万元C．6.18万元D．0.94万元
【答案】D
【详解】由题意可得，则，
即存期，本利和为，
则存期，则利息为万元.
故选
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根式的概念
符号表示
备注
如果 xn＝a ，那么x叫做a的n次方根
n>1且n∈N*
当n为奇数时，正数的n次方根是一个 正数 ，负数的n次方根是一个 负数
eq \r(n,a)
零的n次方根是零
当n为偶数时，正数的n次方根有 两个 ，它们互为 相反数
±eq \r(n,a)
负数没有偶次方根
定义
函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数
底数
a>1
01；
当x