2025年高考数学一轮复习讲义之模拟检测卷03(新高考专用)(原卷版+解析)

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义之模拟检测卷03(新高考专用)(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2024·广东·二模）已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·浙江温州·一模）设复数对应的点在第四象限，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2023·全国·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·北京东城·二模）已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为 （ ）
A．B．C．D．
5．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知表示两条直线，表示平面，下列命题中正确的有（ ）
①若，且，则；
②若相交且都在平面外，，则；
③若，则；
④若，且，则．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．24B．25C．D．
7．（2024·浙江宁波·二模）已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·全国·模拟预测）已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（ ）
A．3B．2C．D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（2024·重庆·二模）英国经济学家凯恩斯（1883-1946）研究了国民收入支配与国家经济发展之间的关系，强调政府对市场经济的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派一凯恩斯学派.机恩斯抽象出三个核心要素：国民收入，国民消费和国民投资，假设国民收入不是用于消费就是用于投资，就有：.其中常数表示房租､水电等固定消费，为国民“边际消费倾向”.则（ ）
A．若固定且，则国民收入越高，“边际消费倾向”越大
B．若固定且，则“边际消费倾向”越大，国民投资越高
C．若，则收入增长量是投资增长量的5倍
D．若，则收入增长量是投资增长量的
10．（24-25高三上·江苏·开学考试）关于函数，其中正确命题是（ ）
A．是以为最小正周期的周期函数
B．的最大值为
C．将函数的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合
D．在区间上单调递减
11．（23-24高二下·四川绵阳·期中）等比数列的公比为，且成等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2023·天津北辰·三模）直线经过点，与圆相交截得的弦长为，则直线的方程为 ．
13．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
14．（2024·江苏南通·二模）若正四棱锥的棱长均为2，则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为 ，该十面体的外接球的表面积为 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，．

(1)若，，求的值；
(2)若，，求四边形ABCD的面积．
16. (15分) （2024·河南三门峡·模拟预测）2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛
(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
(2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立.
（i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值；
（ii）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围.
17. (15分) （2024·江苏·模拟预测）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左，右顶点和坐标原点，点为椭圆上异于的一动点，面积的最大值为.
(1)求的方程；
(2)过椭圆的右焦点的直线与交于两点，记的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为.
①求的取值范围；
②求证：为定值.
18. (17分) （23-24高三上·辽宁沈阳·期末）如图，在平行六面体中，，，，，点为中点．

(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
19. (17分) （2024·山东·一模）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，且，求a的取值范
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2025年高考数学一轮复习讲义之模拟检测卷03（新高考专用）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·广东·二模）已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·浙江温州·一模）设复数对应的点在第四象限，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2023·全国·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·北京东城·二模）已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为 （ ）
A．B．C．D．
5．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知表示两条直线，表示平面，下列命题中正确的有（ ）
①若，且，则；
②若相交且都在平面外，，则；
③若，则；
④若，且，则．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．24B．25C．D．
7．（2024·浙江宁波·二模）已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·全国·模拟预测）已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（ ）
A．3B．2C．D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（2024·重庆·二模）英国经济学家凯恩斯（1883-1946）研究了国民收入支配与国家经济发展之间的关系，强调政府对市场经济的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派一凯恩斯学派.机恩斯抽象出三个核心要素：国民收入，国民消费和国民投资，假设国民收入不是用于消费就是用于投资，就有：.其中常数表示房租､水电等固定消费，为国民“边际消费倾向”.则（ ）
A．若固定且，则国民收入越高，“边际消费倾向”越大
B．若固定且，则“边际消费倾向”越大，国民投资越高
C．若，则收入增长量是投资增长量的5倍
D．若，则收入增长量是投资增长量的
10．（24-25高三上·江苏·开学考试）关于函数，其中正确命题是（ ）
A．是以为最小正周期的周期函数
B．的最大值为
C．将函数的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合
D．在区间上单调递减
11．（23-24高二下·四川绵阳·期中）等比数列的公比为，且成等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2023·天津北辰·三模）直线经过点，与圆相交截得的弦长为，则直线的方程为 ．
13．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
14．（2024·江苏南通·二模）若正四棱锥的棱长均为2，则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为 ，该十面体的外接球的表面积为 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，．

(1)若，，求的值；
(2)若，，求四边形ABCD的面积．
16. (15分) （2024·河南三门峡·模拟预测）2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛
(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
(2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立.
（i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值；
（ii）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围.
17. (15分) （2024·江苏·模拟预测）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左，右顶点和坐标原点，点为椭圆上异于的一动点，面积的最大值为.
(1)求的方程；
(2)过椭圆的右焦点的直线与交于两点，记的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为.
①求的取值范围；
②求证：为定值.
18. (17分) （23-24高三上·辽宁沈阳·期末）如图，在平行六面体中，，，，，点为中点．

(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
19. (17分) （2024·山东·一模）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，且，求a的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】先求出集合，由并集的定义求解即可.
【详解】由可得：，所以，
由可得：，所以，
所以0,+∞.
故选：C.
2．B
【分析】由的周期性化简，计算后判断所求复数对应点的象限.
【详解】
由复数对应的点在第四象限，
则设，
由
得，
由，
得复数对应的点在第二象限.
故选：B.
3．A
【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答.
【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：
共有36个不同结果，它们等可能，
其中甲乙抽到相同结果有，共6个，
因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率.
故选：A
4．D
【分析】根据直线垂直的斜率关系，即可由斜率与倾斜角的关系求解.
【详解】圆心为，所以,所以过的切线的斜率为，
设倾斜角为，则，
由于，故，
故选：D
5．A
【分析】根据线面平行和面面平行逐项判断即可.
【详解】对于①，若，且，则或相交，故①错误；
对于③和④，与也可能相交，均错误；
对于②，设相交确定平面，根据线面平行的判定定理知，根据平行平面的传递性得知．
故选：A．
6．B
【分析】把变为，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可.
【详解】因为x，y为正实数，且，所以
，
当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为25.
故选：B
7．C
【分析】由题意可得数列在上是递减数列，数列在上是递增数列，再根据二次函数的单调性即可得解.
【详解】因为对任意都有，
所以数列在上是递减数列，
因为对任意都有，
所以数列在上是递增数列，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
8．D
【分析】令，，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到，然后数形结合求的最大值.
【详解】如图:令，，则，故.
因为，所以，记的中点为，所以点在以为直径的圆上.
设，连接，因为，所以点在直线上.
因为，所以，即，所以.
结合图形可知，当时，即取得最大值，且.
故选：D
【点睛】思路点睛：向量中有关最值的求解思路：一是形化，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是数化，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.
9．AC
【分析】利用已知可得，可判断A；由，可判断B；若，可得，由导数的意义可判断C；同理可判断D.
【详解】由题意可得固定且，又，所以，
所以，由于为定值，所以可得增大时(国民收入越高)，
增大(“边际消费倾向”越大)，故A正确；
由上可得，为定值，故增大，减小(投资越小)，故B错误；
若，由，可得，
由导数的定义可得，所以可得收入增长量是投资增长量的倍，故C正确；
同C项讨论可得若，可得，因此收入增长量是投资增长量的倍，故D错误.
故选：AC.
10．ABD
【分析】先化简函数，接着即可由函数性质直接得出函数的最小正周期和最值，进而可判断AB；对于C，由平移变换知识求得变换之后的解析式为即可判断；对于D，由得，进而结合正弦函数性质即可判断.
【详解】由题得
，
对于A，函数最小正周期为，故A正确；
对于B，函数最大值为，故 B正确；
对于C，将函数的图象向左平移个单位可得到函数解析式为
，
所以该函数图象不会与已知函数的图象重合，故C错误；
对于D，当，，因为正弦函数在区间上单调递减，
所以函数在区间上单调递减，故D正确.
故选：ABD.
11．AB
【分析】根据等比数列的成等差数列，求出的值，再根据等比数列的性质逐项判断即可.
【详解】因为成等差数列，
所以，即，
又因为，所以，解得或，
而，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：AB.
12．或
【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，根据弦长求出圆心到直线的距离，分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出直线方程.
【详解】圆，即，圆心为，半径，
因为直线与圆相交截得的弦长为，
所以圆心到直线的距离，
若直线的斜率不存在，此时直线方程为，满足圆心到直线的距离为，符合题意；
若直线的斜率存在，设斜率为，则直线方程为，即，
则，解得，所以直线方程为，即，
综上可得直线方程为或.
故答案为：或
13．
【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.
【详解】由得，，
故曲线在处的切线方程为；
由得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
切线方程为，
根据两切线重合,所以，解得.
故答案为：
14． /
【分析】根据给定条件，利用割补法，结合锥体体积公式计算体积；建立空间直角坐标系，求出外接球半径即可求出表面积.
【详解】正四棱锥的所有棱长为2，点是所在棱的中点，如图，
显然，即有，则正四棱锥的高为，
于是，
到平面的距离，
所以所求十面体的体积为；
令，以直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，则，
，设外接球球心，半径，
则，因此，解得，
所以十面体的外接球的表面积为.
故答案为：；
【点睛】关键点睛：求几何体的体积，将给定的几何体进行恰当的分割，转化为可求体积的几何体求解是关键.
15．(1)
(2)
【分析】（1）中求出，在中，由正弦定理求出的值；
（2）和中，由余弦定理求出和，得和，进而可求四边形ABCD的面积．
【详解】（1）在中，，，则，
，
在中，由正弦定理得，
.
（2）在和中，由余弦定理得
，
，
得，又，得，
则，，
四边形ABCD的面积
.
16．(1)，
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）6道题中小王能答对4道，答错2道，结合超几何分布计算即可，再结合条件概率计算即可.
（2）由，运用导数研究其极大值即可.
（3）分析每名进入决赛的大学生获得的奖金的期望，解不等式即可.
【详解】（1）由题意知，的可能取值为，
则，
，
，
故的分布列为
则.
记事件：小王已经答对一题，事件：小王未进入决赛，
则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率.
（2）（i）由题意知，，
则，
令，解得或（舍），
当时，，当时，，
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，
所以当时，有极大值，且的极大值为.
（ii）由题可设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量，
则的可能取值为，
，
，
，
，
所以，
所以，
即，整理得，
经观察可知是方程的根，
故，
因为恒成立，
所以由可得，解得得，
又，所以的取值范围为.
17．(1)
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）根据离心率以及面积的最大值，构造方程解方程可得的方程为；
（2）①联立椭圆与直线方程得出的面积的表达式，利用对勾函数单调性即可求得的取值范围为；
②利用中点坐标公式求得，得出斜率表达式即可得，可得为定值.
【详解】（1）由题意知，解得，
所以的方程为；
（2）①易知F1,0，
设直线方程为，如下图所示：
联立，消去可得，
所以，
且，
可得，
令，
可得，由对勾函数性质可得在时单调递增；
所以可得；
即的取值范围为.
②易知，
可得；
所以
；
因此为定值.
18．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）依次证得四边形与四边形是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）依题意建立空间直角坐标系，利用待定系数法求得点的坐标，进而求得平面与平面的法向量，再利用空间向量法即可得解.
【详解】（1）连结，交于点，连结，
在平行六面体中，，是的中点，
所以四边形是平行四边形，又点为中点，
则且，
所以四边形是平行四边形，从而，
因为平面，，所以平面.
（2）以为原点建立如图所示的坐标系，

则，，设点为，其中，
则，，，
因为，，，
所以，即，解得，
则，则，
设平面的法向量为，则，
令，则，
设平面的法向量，则，
令，则，
设二面角为，则，
所以，
则，
所以二面角的正弦值为.
19．(1)增区间，减区间
(2)
【分析】（1）将代入求导，然后确定单调性即可；
（2）求导，根据导函数有两个根写出韦达定理，代入，构造函数，求导，研究函数性质进而求出a的取值范围．
【详解】（1）当时，，，
则，
当，，单调递增，当，，单调递减，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是；
（2），
所以，
设，令，由于有两个极值点，
所以，解得．
由，，
得
，
即，令，
则，
所以在上单调递减，且，
所以，故a的取值范围是．
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群1.5T一线老师必备资料一键转存自动更新
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群1.5T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
D
A
B
C
D
AC
ABD
题号
11









答案
AB









乙甲
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
0
1
2