2025年高考数学一轮复习讲义之模拟检测卷01(新高考专用)(原卷版+解析)

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义之模拟检测卷01(新高考专用)(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江苏·三模）已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深菨的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则（ ）

A．B．1C．D．
4．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12B．10C．5D．
5．（2024·浙江嘉兴·二模）若正数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
6．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三上·四川成都·期中）已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．C．D．2
8．（2023·河北·模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（2024·福建厦门·一模）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点成中心对称
C．在区间上单调递增
D．若的图象关于直线对称，则
10．（2024·广东佛山·模拟预测）若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·河北保定·三模）已知抛物线C：的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,直线过点A且与OA垂直,直线过点B且与OB垂直,直线与相交于点Q,则（ ）
A．设AB的中点为H,则轴
B．点Q的轨迹为抛物线
C．点Q到直线l距离的最小值为
D．的面积的取值范围为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且，，数列的公比 ．
13．（2024·广东深圳·二模）已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为，则该圆锥的表面积为 ．
注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球．
14．（2024·北京海淀·三模）设函数（且）．给出下列四个结论：
①当时，存在，方程有唯一解；
②当时，存在，方程有三个解；
③对任意实数（且），的值域为；
④存在实数，使得在区间上单调递增；
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （2024·全国·模拟预测）记的内角所对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)求的最小值．
16. (15分) （2024·河南·一模）近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能．某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据：
其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400．
(1)求的值；
(2)根据小概率值的独立性检验，分析对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人是否有差异？
参考公式：，其中．
临界值表：
17. (15分) （2024·全国·一模）如图，棱柱的所有棱长都等于2，且，平面平面．
(1)求平面与平面所成角的余弦值；
(2)在棱所在直线上是否存在点P，使得平面．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．
18. (17分) （2024·四川乐山·三模）已知椭圆的左､右焦点分别为分别是椭圆的上下顶点，分别是椭圆的左右顶点，点在椭圆上，且的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)点是椭圆上的动点（不与重合），是在点处的切线，直线交于点，直线交于点，求证：直线的斜率为定值.
19. (17分) （23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．当时，若函数是“恒切函数”，求证：．青年人
中年人
老年人
对短视频剪接成长视频的APP有需求
200
对短视频剪接成长视频的APP无需求
150
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
2025年高考数学一轮复习讲义之模拟检测卷01（新高考专用）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江苏·三模）已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深菨的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则（ ）

A．B．1C．D．
4．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12B．10C．5D．
5．（2024·浙江嘉兴·二模）若正数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
6．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三上·四川成都·期中）已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．C．D．2
8．（2023·河北·模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（2024·福建厦门·一模）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点成中心对称
C．在区间上单调递增
D．若的图象关于直线对称，则
10．（2024·广东佛山·模拟预测）若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·河北保定·三模）已知抛物线C：的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,直线过点A且与OA垂直,直线过点B且与OB垂直,直线与相交于点Q,则（ ）
A．设AB的中点为H,则轴
B．点Q的轨迹为抛物线
C．点Q到直线l距离的最小值为
D．的面积的取值范围为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且，，数列的公比 ．
13．（2024·广东深圳·二模）已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为，则该圆锥的表面积为 ．
注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球．
14．（2024·北京海淀·三模）设函数（且）．给出下列四个结论：
①当时，存在，方程有唯一解；
②当时，存在，方程有三个解；
③对任意实数（且），的值域为；
④存在实数，使得在区间上单调递增；
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （2024·全国·模拟预测）记的内角所对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)求的最小值．
16. (15分) （2024·河南·一模）近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能．某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据：
其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400．
(1)求的值；
(2)根据小概率值的独立性检验，分析对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人是否有差异？
参考公式：，其中．
临界值表：
17. (15分) （2024·全国·一模）如图，棱柱的所有棱长都等于2，且，平面平面．
(1)求平面与平面所成角的余弦值；
(2)在棱所在直线上是否存在点P，使得平面．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．
18. (17分) （2024·四川乐山·三模）已知椭圆的左､右焦点分别为分别是椭圆的上下顶点，分别是椭圆的左右顶点，点在椭圆上，且的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)点是椭圆上的动点（不与重合），是在点处的切线，直线交于点，直线交于点，求证：直线的斜率为定值.
19. (17分) （23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．当时，若函数是“恒切函数”，求证：．
参考答案：
1．A
【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.
【详解】解：因为集合，
所以，
故选：A
2．D
【分析】利用复数除法求出z，即可判断.
【详解】因为，
所以点位于第四象限.
故选：D.
3．D
【分析】根据给定条件，利用正八边形的结构特征，结合数量积的定义计算即得.
【详解】在正八边形中，连接，则，
而，即，于是，
在等腰梯形中，，
所以.
故选：D

4．B
【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.
【详解】因为an是各项均为正数的等比数列，，
所以，即，则
记，则，
两式相加得，
所以，即.
故选：B.
5．A
【分析】根据题意可得，利用基本不等式求解.
【详解】由可得，
，
当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意.
所以的最小值为.
故选：A.
6．B
【分析】平行移动与相交构成三角形，指明或其补角就是异面直线与所成的角，在三角形中由余弦定理解出即可.
【详解】
如图连接，因为为正四棱柱，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，则或其补角就是异面直线与所成的角，
设，则，，，
由余弦定理得：.
故选：B.
7．C
【分析】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，运用双曲线的定义和条件可得，，，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．
【详解】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，
由双曲线的定义可得，
由，可得，，，
由可得，
在三角形中，由余弦定理可得：
，
即有，化简可得，
所以双曲线的离心率．
故选：C．
8．B
【分析】根据所给数的结构特征，设函数，利用导数判断其单调性，利用单调性比较大小，可得答案.
【详解】设函数，则，
当时，，当时，，
故在单调递增，在上单调递减，
又，，，
因为，故，即，
故选：B
【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小.
9．BC
【分析】根据正弦型函数的性质，结合代入法、整体法逐一判断各项正误.
【详解】由，最小正周期，A错；
由，即是对称中心，B对；
由，则，显然在区间上单调递增，C对；
由题意，故，D错.
故选：BC
10．ACD
【分析】将，，代入判断ACD，利用二项式展开式的通项公式判断B即可.
【详解】将代入得，解得，A正确；
由二项式定理可知展开式的通项为，
令得，所以，B错误；
将代入得，
即，C正确；
将代入得，
即①，
将代入得，
即②，
①+②得，所以，
①-②得，所以，
所以，D正确；
故选：ACD
11．BD
【分析】通过设l：,设,,然后联立方程后结合韦达定理得到,然后求出直线与,进而求出Q点坐标,然后可以判断A,B选项,然后通过参数m表示点Q到直线l的距离和的面积,进而可以判断.
【详解】易知,设l：,设,,
将l与抛物线C的方程联立,则可得,
所以,,即,,
所以,因为,所以直线AQ：,有,
同理可知,直线BQ：,所以,
所以,所以,所以,即A错误；
又,
所以Q的轨迹方程为,即B正确；
Q到l的距离,
因为,所以,即C错误；
因为,
所以,即D正确.
故选:BD.
12．23
【分析】利用等比数列前n项和公式联立方程组即可求解.
【详解】由题意可知：，
根据等比数列的前项公式可得：①，②,
联立①②可得，解得.
故答案为：23
13．
【分析】借助过圆锥的轴以及内切球球心的截面图求出圆锥的母线长，即可求出圆锥表面积.
【详解】由题过圆锥的轴以及内切球球心的截面图如下：

设圆锥高为，母线长为，
则在三角形中有，即①，
又由得，即②，
所以由①②得，
所以圆锥的表面积为.
故答案为：.
14．①②④
【分析】分情况，做出函数图象，数形结合，可得问题答案.
【详解】当时，可得函数图象如下：
由；，，结合图象：
当时，函数单调递减，且；
当，函数单调递增，.
所以当时，方程有唯一解.故①正确；
当时，函数图象如下：
由；由图象可知，
当时，函数单调递减，；
当时，函数单调递增，；
当时，函数单调递增，.
因为，因为，所以，即.
所以，当时，方程有三个解.故②正确；
如图：
由，再由，
此时在上单调递减，在上单调递增，且，
所以此时函数的值域不是.故③错误；
由①可得，当时，函数在上单调递增.
即：存在实数，使得在区间上单调递增.故④正确.
故答案为：①②④
【点睛】方法点睛：本题可以画出分段函数的草图，数形结合，可以比较轻松的解答.
15．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）将已知条件利用两角和差公式与正弦定理即可计算出结果；
（2）利用第一问的结果代入的余弦定理表达式，再利用基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）已知，
由正弦定理得：，
整理得：，
……①
因为……②
②代入①有：，
再由正弦定理得．
（2）由余弦定理得：
，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．
16．(1)
(2)有差异
【分析】（1）根据题意列式求解即可；
（2）根据题意可得列联表，计算，并与临界值对比分析.
【详解】（1）由题意可得：，解得．
（2）零假设为：对短视频剪接成长视频APP的需求，青年人与中老年人没有差异．
由已知得，如下列联表：
可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
所以对短视频剪接成长视频的APP有需求，青年人与中老年人有差异．
17．(1)
(2)存在，点P在的延长线，且.
【分析】（1）取中点，先证平面.再以为原点，建立空间直角坐标系，用空间向量的方法求二面角所成的余弦.
（2）根据在线段上，设，再由和平面的法向量，求，即可得解.
【详解】（1）如图：
取中点，连接，，.
因为各棱长均为2，且，所以是等边三角形.
所以.
又因为，，所以是等边三角形.
所以，又平面平面，平面平面，
平面，
所以平面.
由，所以可以以为原点，建立如图空间直角坐标系.
那么：，，，.
设平面的法向量为，则
，取；
因为平面，可取平面的法向量.
则，即为平面与平面所求角的余弦值.
（2）因为，
设，因为在上，可设，
则，
可得.
设平面的法向量为，
则，
取.
由.
所以存在点P，使得平面，此时点P在的延长线，且.
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件求的值，确定椭圆的标准方程.
（2）因为直线的斜率不为0，可设直线方程为：，与直线方程联立可得点坐标，与椭圆方程联立，可得点坐标，进一步写出直线的方程，令得点坐标，列出直线的斜率，化简即可.
【详解】（1）．
点在椭圆上，
，解得或（舍）
．椭圆的方程为．
（2）如图：
易知直线斜率不为0，设直线方程为
直线方程为：，
联立，得．
由，得，
．
直线的斜率为：．
直线方程为：．
令，得．
．
所以直线的斜率为定值.
19．(1)有极小值，无极大值.
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用极值的定义求解即可；
（2）分类讨论求的单调区间即可；
（3）利用“恒切函数”的定义，列方程组得出，然后结合的范围求解即可.
【详解】（1）函数,
,
当时， ，
，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故有极小值，无极大值.
（2），
当时，，在单调递减；
当时，，,，
,且为增函数，
时，，在单调递增；
时，，在单调递减；
综上得：当时，在单调递减；
当时，在单调递增,在单调递减；
（3）当时，函数是“恒切函数”，
且,
设函数与直线切点,则,
故，即，，，
，所以是方程的根，
设，,
,
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
且,
，，
是方程的根，
所以或,
或
故.
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青年人
中年人
老年人
对短视频剪接成长视频的APP有需求
200
对短视频剪接成长视频的APP无需求
150
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
D
B
A
B
C
B
BC
ACD
题号
11









答案
BD









青年人
中老年人
合计
对短视频剪接成长视频的APP有需求
300
250
550
对短视频剪接成长视频的APP无需求
100
350
450
合计
400
600
1000