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2025年高考数学一轮复习讲义(知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测)专题15导数的概念及运算(新高考专用)(原卷版+解析)
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这是一份2025年高考数学一轮复习讲义(知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测)专题15导数的概念及运算(新高考专用)(原卷版+解析)，共50页。
【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】4
【考点1】导数的运算4
【考点2】导数的几何意义5
【考点3】导数几何意义的应用6
【分层检测】7
【基础篇】7
【能力篇】9
【培优篇】10
考试要求：
1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数.
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数.
知识梳理
1.导数的概念
(1)如果当Δx→0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)).
(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝
eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x).
5.复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，则(f(x0))′＝0.
2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,f（x）)))′＝－eq \f(f′（x）,[f（x）]2)(f(x)≠0).
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
3．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
4．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
三、填空题
5．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
6．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
7．（2021·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ．
8．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
考点突破
【考点1】导数的运算
一、单选题
1．（2023·湖北·模拟预测）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．16B．12C．8D．4
2．（23-24高二上·江苏盐城·期末）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题
3．（2024·湖南·二模）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若满足的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．是偶函数B．
C．D．
4．（2024·甘肃陇南·一模）已知函数有3个不同的零点,且，则（ ）
A．B．的解集为
C．是曲线的切线D．点是曲线的对称中心
三、填空题
5．（23-24高三上·上海普陀·期末）函数，如果为奇函数，则的取值范围为
6．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数，则 .
反思提升：
1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
【考点2】导数的几何意义
一、单选题
1．（2024·重庆·模拟预测）（ ）
A．72B．12C．8D．4
2．（2024·江苏南通·二模）已知曲线与曲线在第一象限交于点，在处两条曲线的切线倾斜角分别为，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2024·河南洛阳·模拟预测）过点向抛物线作两条切线，切点分别为为抛物线的焦点，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若过原点可作函数的三条切线，则（ ）
A．恰有2个异号极值点B．若，则
C．恰有2个异号零点D．若，则
三、填空题
5．（2024·山东泰安·三模）已知函数若曲线与直线恰有2个公共点，则的取值范围是 .
6．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点．过A作C的切线m及平行于x轴的直线，过F作平行于m的直线交于M，过B作C的切线n及平行于x轴的直线，过F作平行于n的直线交于N．若，则点A的横坐标为 ．
反思提升：
1.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为x＝x0.
2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.
【考点3】导数几何意义的应用
一、单选题
1．（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
2．（2024·河北邢台·二模）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·安徽芜湖·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，过点（）作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是（ ）
A．B．切线：
C．D．
4．（2024·江西·二模）设函数（）在处的切线与直线平行，则（ ）
A．
B．函数存在极大值，不存在极小值
C．当时，
D．函数有三个零点
三、填空题
5．（2024·河南·二模）若两个函数和存在过点的公切线，设切点坐标分别为，则 .
6．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若曲线在处的切线与直线垂直，则实数 ；若不等式有且仅有一个正整数解，则实数a的取值范围是 .
反思提升：
1.处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；(3)切点在曲线上，故满足曲线方程.
2.利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·黑龙江·二模）函数在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·山东·二模）已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（ ）
A．1B．C．2D．2023
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数为奇函数，则（ ）
A．0B．C．1D．2
二、多选题
5．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知函数，为的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（22-23高二下·江苏苏州·阶段练习）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（ ）
A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同
7．（2023·广东·二模）已知函数的图象在点处的切线为，则（ ）
A．的斜率的最小值为B．的斜率的最小值为
C．的方程为D．的方程为
三、填空题
8．（2024·上海静安·二模）已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则在时间段内，物体的瞬时速度为的时刻 （单位：s）．
9．（2024·广西贺州·一模）已知直线与曲线的某条切线平行，则该切线方程为
10．（2024·山西吕梁·二模）若曲线在点处的切线过原点，则 .
四、解答题
11．（2024·江苏南京·二模）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值．
12．（2024·四川成都·一模）设函数，
(1)求、的值；
(2)求在上的最值．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·河北邢台·一模）如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2024·湖北·二模）已知抛物线，过y轴正半轴上任意一点的直线交抛物线于，，抛物线在A，B处的切线、交于点Q，则下列结论正确的有（ ）
A．的最小值为
B．如果P为定点，那么Q为定点
C．，的斜率之积为定值
D．如果P为定点．那么的面积的最小值为
三、填空题
3．（2024·辽宁·二模）已知函数的图象与函数且的图象在公共点处有相同的切线，则 ，切线方程为 .
四、解答题
4．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·陕西汉中·二模）已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2024·河南·模拟预测）记，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，且恒成立，则
D．若，则
三、填空题
3．（2024·江西宜春·模拟预测）已知抛物线是直线上的一点（点不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为，圆与直线切于点，且，则四边形的面积为
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基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs__x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin__x
f(x)＝ax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝axln__a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
专题15 导数的概念及运算（新高考专用）
目录
【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】10
【考点1】导数的运算10
【考点2】导数的几何意义14
【考点3】导数几何意义的应用20
【分层检测】25
【基础篇】25
【能力篇】31
【培优篇】35
考试要求：
1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数.
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数.
知识梳理
1.导数的概念
(1)如果当Δx→0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)).
(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝
eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x).
5.复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，则(f(x0))′＝0.
2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,f（x）)))′＝－eq \f(f′（x）,[f（x）]2)(f(x)≠0).
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
3．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
4．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
三、填空题
5．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
6．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
7．（2021·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ．
8．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
参考答案：
1．C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.
【详解】设曲线在点处的切线方程为，
因为，
所以，
所以
所以
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：C
2．B
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
3．D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
4．AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
5．
【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
因为是偶函数，图象为：
所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
[方法三]：
因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；.
6．
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
7．
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
8．
【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.
【详解】由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.
考点突破
【考点1】导数的运算
一、单选题
1．（2023·湖北·模拟预测）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．16B．12C．8D．4
2．（23-24高二上·江苏盐城·期末）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题
3．（2024·湖南·二模）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若满足的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．是偶函数B．
C．D．
4．（2024·甘肃陇南·一模）已知函数有3个不同的零点,且，则（ ）
A．B．的解集为
C．是曲线的切线D．点是曲线的对称中心
三、填空题
5．（23-24高三上·上海普陀·期末）函数，如果为奇函数，则的取值范围为
6．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数，则 .
参考答案：
1．D
【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.
【详解】对求导得，
由得，则，即，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：D．
2．D
【分析】求出平行于的直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．
【详解】设，函数的定义域为，求导得，
当曲线在点处的切线平行于直线时，，
则，而，解得，于是，
平行于的直线与曲线相切的切点坐标为，
所以点到直线的最小距离即点到直线的距离．
故选：D
3．ABD
【分析】推导出函数的奇偶性，设，利用导数推导出为常值函数，结合函数奇偶性的定义可判断A选项；推导出，令代值计算可判断B选项；由、推导可判断C选项；求出的值，结合函数的周期性可判断D选项．
【详解】对于A选项，因为函数的图象关于直线对称，
则，
即，所以，函数为偶函数，故A正确；
对于选项，因为，令，可得，即，
对等式两边求导得，即，
故，所以，故B正确；
对于选项，因为，则，
令，则，所以，为常值函数，
设，其中为常数，
当时，，故C错误；
对于D选项，因为，所以，.
，可得，
，
由，令，可得，则，
所以，
因为，则，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：本题考查抽象函数的对称性与周期性，一般可根据如下规则判断：
（1）若对任意的实数，满足，则函数的周期为；
（2）若对任意的实数，满足，则函数关于直线对称；
（3）若对任意的实数，满足，则函数关于点对称．
4．AC
【分析】利用三次函数的零点式，结合条件可求得，从而可判断AB，利用导数的几何意义可判断C，举反例排除D.
【详解】对于A，因为有3个不同的零点,
所以不妨设，
易知展开式中的常数项为，故，
又，所以，解得，
所以，解得，故A正确；
对于B，因为，
令，即，
利用数轴穿根法，解得或，故B错误；
对于C，易得，
当切线斜率为时，令，解得或，
当时，，
此时切线为，即，故C正确；
对于D，因为，又，
所以，所以点是曲线的对称中心，故D错误.
故选：AC.
5．
【分析】
求出，结合函数奇偶性的定义判断可得出结果.
【详解】由可得，即函数的定义域为，
则，
又因为函数为奇函数，对任意的，
，
对任意的实数都满足条件，故实数的取值范围是.
故答案为：.
6．
【分析】左右两侧同时求导得到，求出原函数后再求即可.
【详解】由题意知，令，
得，解得，
所以，
所以.
故答案为：
反思提升：
1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
【考点2】导数的几何意义
一、单选题
1．（2024·重庆·模拟预测）（ ）
A．72B．12C．8D．4
2．（2024·江苏南通·二模）已知曲线与曲线在第一象限交于点，在处两条曲线的切线倾斜角分别为，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2024·河南洛阳·模拟预测）过点向抛物线作两条切线，切点分别为为抛物线的焦点，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若过原点可作函数的三条切线，则（ ）
A．恰有2个异号极值点B．若，则
C．恰有2个异号零点D．若，则
三、填空题
5．（2024·山东泰安·三模）已知函数若曲线与直线恰有2个公共点，则的取值范围是 .
6．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点．过A作C的切线m及平行于x轴的直线，过F作平行于m的直线交于M，过B作C的切线n及平行于x轴的直线，过F作平行于n的直线交于N．若，则点A的横坐标为 ．
参考答案：
1．B
【分析】令，根据导数的概念，可求解.
【详解】令，根据导数的概念，
，
，所以.
故选：B．
2．A
【分析】联立曲线曲线与曲线方程求出切点，再由圆的切线与圆心和切点连线垂直，结合两垂直直线斜率乘积等于可求出在处圆的切线斜率，从而得出；由导数知识里在某点处的切线方程求法可得出，进而根据两角和与差的正切公式进行检验判断即可.
【详解】
因为曲线，即，
所以曲线是以为圆心，为半径的圆，
且，即曲线过原点O，
联立，得，
所以在处圆的切线斜率为，所以，
由，
所以曲线在A处的切线斜率为，
又，
所以，所以，从而，
即，故A正确，C错误，
注意到，，且，故B、D错误，
故选：A.
3．BC
【分析】设，利用导数的几何意义求出两切线斜率，即可求出两切线方程，然后根据韦达定理判断AB，根据焦半径公式化简求解判断CD.
【详解】设点为点，抛物线的方程为，即，则,
设，则切线PA，PB的斜率分别为，
切线方程分别为，
将的坐标及代入，并整理得，
可得为方程的两个实数根，
由韦达定理得，故A错误，B正确；
，故C正确；
，故D错误.
故选：BC
4．BD
【分析】利用函数导数的符号可判断AC，设切点，利用导数求出切线方程，代入原点方程有三解，转化为利用导数研究函数极值，由数形结合求解即可判断BD.
【详解】因为，所以在上单调递增，故AC错误；
设过原点的函数的切线的切点为，则切线的斜率，
所以切线方程为，
即，
因为过原点，所以，
化简得，即方程有3个不等实数根，
令，则，
当时，或时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以极大值，极小值为，如图，
所以与相交有三个交点需满足，故B正确；
同理，当时，可知极大值，极小值为，如图，
可得时，与相交有三个交点，故D正确.
故选：BD
5．
【分析】由导函数等求出函数单调性和切线方程，画出的图象，数形结合得到答案.
【详解】当时，，其在上单调递减，在上单调递增，且，则；
当时，，，其在上单调递减，且.
作出的图像，如图，易知的取值范围是.
故答案为：
6．3
【分析】利用导数的几何意义，求切线的斜率，并利用直线的交点求点的坐标，再根据方程，求点的坐标.
【详解】设,，不妨设点在第一象限，点在第四象限，
当时，，所以点处切线的斜率为，
所以过点且与直线平行的直线为，当时，得，即
当时，，所以点处切线的斜率为，
所以过点且与直线平行的直线为，当时，得，即，
所以，
所以，（*）
设直线，联立，得，
得，，代入（*），得，
化简为，解得：，或（舍）
所以点的横坐标为3.
故答案为：3
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用导数求切线的斜率，以及利用韦达定理得到.
反思提升：
1.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为x＝x0.
2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.
【考点3】导数几何意义的应用
一、单选题
1．（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
2．（2024·河北邢台·二模）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·安徽芜湖·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，过点（）作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是（ ）
A．B．切线：
C．D．
4．（2024·江西·二模）设函数（）在处的切线与直线平行，则（ ）
A．
B．函数存在极大值，不存在极小值
C．当时，
D．函数有三个零点
三、填空题
5．（2024·河南·二模）若两个函数和存在过点的公切线，设切点坐标分别为，则 .
6．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若曲线在处的切线与直线垂直，则实数 ；若不等式有且仅有一个正整数解，则实数a的取值范围是 .
参考答案：
1．A
【分析】设直线的方程为，先根据直线和圆相切算出，在根据导数的几何意义算.
【详解】依题意得，设直线的方程为，
由直线和圆相切可得，，解得，
当时，和相切，
设切点为，根据导数的几何意义，，
又切点同时在直线和曲线上，即，解得，
即和相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位，
和仍会保持相切状态，即时，，
综上所述，或.
故选：A
2．B
【分析】函数在两点处的切线平行，转化为函数在两点处的导数相等，得到的关系，在结合不等式求的取值范围即可.
【详解】因为，.
所以，.
由因为在，两个不同点处的切线相互平行，
所以，又，所以，故CD错误；
因为且，所以，故A不成立；
当时，.故B成立.
故选：B
3．ABD
【分析】由函数零点的存在性定理和，得到，可判定A正确；求得，设切点，求得切线方程，令，求得，可判定D正确；当时，求得，得出切线方程，可判定B正确；计算求得的值，可得判定C错误.
【详解】由，可得，即，
根据函数零点的存在性定理，可得，所以A正确；
又由，设切点，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
令，可得，所以D正确；
当时，可得，则，
所以的方程为，即，所以B正确；
由，可得，，此时，
所以C错误；
故选：ABD
4．AC
【分析】利用导数的几何意义可判定A，利用导数研究函数的单调性与极值可判定B，构造差函数利用导数研究其单调性与最值即可判定C，作出的图象结合条件可判定D.
【详解】对于A，，故，解得，故A正确；
对于B．因为，，
所以函数在上单调递减，不存在极值，故B错误；
对于C，令（），
则，由，故，
故在上单调递减，所以.
即当时，，故C正确；
对于D，因为，当时，；当时，，
又，在同一坐标系中作出与的图象，
如图所示，所以函数有且只有1个零点，故D错误.
故选：AC．
5．9
【分析】分别求出两个函数的导函数，根据导函数的几何意义求出斜率，由求出切点坐标得，利用斜率相等得，代入原式即得
【详解】，设切点坐标为，切线斜率为，
切线方程为，将代入得，
即.
，设切点坐标为，切线斜率为，
切线方程为，将代入得，
即，
又因为，可得，即，
，
所以.
故答案为：9
6． 1
【分析】根据在处的导数与已知直线的斜率之积等于-1可得；将不等式转化为，令，，考察的最值点，结合题意可解.
【详解】依题意，，所以.因为曲线在处的切线与直线垂直，所以，解得；若不等式，即，可化为.令，，且函数的图象恒过定点.因为函数，，所以当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，所以当时，.又，设点，，若满足不等式有且仅有一个正整数解，则必有.又因为，，所以，即实数a的取值范围是.
故答案为：1，
反思提升：
1.处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；(3)切点在曲线上，故满足曲线方程.
2.利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·黑龙江·二模）函数在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·山东·二模）已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（ ）
A．1B．C．2D．2023
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数为奇函数，则（ ）
A．0B．C．1D．2
二、多选题
5．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知函数，为的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（22-23高二下·江苏苏州·阶段练习）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（ ）
A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同
7．（2023·广东·二模）已知函数的图象在点处的切线为，则（ ）
A．的斜率的最小值为B．的斜率的最小值为
C．的方程为D．的方程为
三、填空题
8．（2024·上海静安·二模）已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则在时间段内，物体的瞬时速度为的时刻 （单位：s）．
9．（2024·广西贺州·一模）已知直线与曲线的某条切线平行，则该切线方程为
10．（2024·山西吕梁·二模）若曲线在点处的切线过原点，则 .
四、解答题
11．（2024·江苏南京·二模）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值．
12．（2024·四川成都·一模）设函数，
(1)求、的值；
(2)求在上的最值．
参考答案：
1．C
【分析】先根据圆锥的体积公式列出等式得出；再根据导数的运算得出；最后令即可求解.
【详解】设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，
则，得.
因为，
所以当时，，
即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.
故选：C
2．D
【分析】当时，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.
【详解】因为，则，
当时，则，所以，
所以切点为，切线的斜率为，
所以切线方程为，即.
故选：D
3．C
【分析】根据进行奇偶性和周期性的推导，得到是周期为4的偶函数，从而算出的值.
【详解】因为，所以两边求导，得，
即①
因为为定义在上的奇函数，则，
所以两边求导，得，所以是定义在上的偶函数，
所以，结合①式可得，，
所以，两式相减得，，
所以是周期为4的偶函数，
所以.
由①式，令，得，所以.
故选：C.
4．A
【分析】由奇函数性质可知，函数的定义域关于轴对称，求得，进而通过导数公式计算可得结果.
【详解】易知的定义域为．
因为函数为奇函数，所以，显然是奇函数，满足题意，
所以，故，
故选:A．
5．ABD
【分析】根据已知函数，求出导函数，依次代入验证各选项的正确性即可.
【详解】由已知得
，故A正确：
，故B正确；
，而，所以不成立，故C错误；
，故D正确：
故选：ABD
6．AC
【分析】利用图象可判断A选项；利用导数的几何意义可判断B选项；利用平均变化率的概念可判断C选项；利用平均变化率的概念可判断D选项.
【详解】选项A，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A正确；
选项B，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等，
说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B错误；
选项C，由平均变化率公式知，甲、乙两人在内，
血管中药物浓度的平均变化率均为，即选项C正确；
选项D，在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为
和，显然不相同，即选项D不正确．
故选：AC.
7．BCD
【分析】对函数求导，表示出在点的切线斜率即可.
【详解】因为，所以的斜率的最小值为.
因为，所以的方程为.
因为，所以的方程为，即.
故选：BCD.
8．
【分析】可求出导函数，根据即可求解．
【详解】由题可得：，
可得，又，
可得．
故答案为：．
9．
【分析】先求出切点，再根据导数的几何意义即可得解.
【详解】，设切点为，则，解得，所以切点为，
故切线方程为，即.
故答案为：.
10．
【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，即可代入求解.
【详解】因为，所以，
所以在点处的切线方程为.
又切线过原点，则，所以.
故答案为：
11．(1)
(2)
【分析】（1）由，分别求出及，即可写出切线方程；
（2）计算出，令，解得或，分类讨论的范围，得出的单调性，由在区间上的最小值为，列出方程求解即可．
【详解】（1）当时，，则，，所以，
所以曲线在处的切线方程为：，即．
（2），令，解得或，
当时，时，，则在上单调递减，
所以，则，符合题意；
当时，时，，则在上单调递减，
时，，则在上单调递增，
所以，则，不合题意；
当时，时，，则在上单调递减，
所以，不合题意；
综上，．
12．(1)，
(2)，
【分析】（1）求出函数的导函数，令求出，再令求出；
（2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极值，再由区间端点的函数值，即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，取，则有，即；
所以，取，则有，即．
故，．
（2）由（1）知，，
则，
所以、与，的关系如下表：
故，．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·河北邢台·一模）如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2024·湖北·二模）已知抛物线，过y轴正半轴上任意一点的直线交抛物线于，，抛物线在A，B处的切线、交于点Q，则下列结论正确的有（ ）
A．的最小值为
B．如果P为定点，那么Q为定点
C．，的斜率之积为定值
D．如果P为定点．那么的面积的最小值为
三、填空题
3．（2024·辽宁·二模）已知函数的图象与函数且的图象在公共点处有相同的切线，则 ，切线方程为 .
四、解答题
4．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
参考答案：
1．B
【分析】利用给定隐函数的导数求法确定斜率，再求出切线方程即可.
【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导，
可得，将点代入，得，
解得，故切线斜率为，得到切线方程为，
化简得方程为，故B正确.
故选：B
2．AD
【分析】设出直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可判断A，利用导数可得切线方程进而可判断C，利用两点坐标点关系可判断B，求出面积表达式可判断D.
【详解】显然直线AB的斜率存在，设，与联立得，
由韦达定理得，，，
所以，当且仅当时取等号，所以A正确；
因为对于抛物线，，所以，即，
同理，即，
所以，的斜率之积为，所以C错误；
因为过点，所以有，同理有，
这表明，在直线上，即直线AB的方程为，
又因为AB经过点P，所以，解得，
又因为Q是直线，的交点，所以，所以，
所以，当P为定点时，Q在直线上，所以B错误；
因为，到直线AB的距离，
所以的面积，显然如果m为定值．
那么当时，S有最小值，且最小值为，所以D正确．
故选：AD
3．
【分析】设公共点为，即可得到，再由导数的几何意义得到，从而求出，即可求出切点坐标，从而求出，再求出切线方程.
【详解】设公共点为，则，即，所以，
所以，
由，，所以，，
又在公共点处有相同的切线，所以，即，所以，则，，
则，
则，所以切线方程为，即.
故答案为：；
4．(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导可得，含参分类讨论、、和时函数的单调性即可求解.
【详解】（1）由题意知，当时，，
则，
故曲线在处的切线方程为．
（2）的定义域为，且，
当时，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，则有：
若，则，令，则单调递增；
令，则或单调递减；
若，则，令，则单调递增；
令，则或单调递减；
若，则单调递减．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·陕西汉中·二模）已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2024·河南·模拟预测）记，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，且恒成立，则
D．若，则
三、填空题
3．（2024·江西宜春·模拟预测）已知抛物线是直线上的一点（点不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为，圆与直线切于点，且，则四边形的面积为 ．
参考答案：
1．D
【分析】由题意可知：函数的零点个数即为与的交点个数，利用导数求过原点的切线，结合图象分析求解.
【详解】作出的图象，如图所示
令，可得，
由题意可知：函数的零点个数即为与的交点个数，
若，则，可得，
设切点坐标为，切线斜率为，
则切线方程为，
代入点，可得，解得，
此时切线斜率为；
若，则，可得，
设切点坐标为，切线斜率为，
则切线方程为，
代入点，可得，解得，
此时切线斜率为；
结合图象可知的取值范围为.
故选：D.
【点睛】易错点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以形助数和以数解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法．运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择．
2．ABD
【分析】对于A，由的导数一直是它本身即可判断；对于B，由诱导公式以及三角函数的导数公式即可判断；对于C，通过归纳即可判断；对于D，由C选项结论即可判断.
【详解】由题知，则当时，，A正确；
由，，
，，所以，B正确；
，则，
若，则恒成立，，C错误；
，由C知，D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：对于递推类函数定义，可以用归纳的方法结合求导公式去验证即可顺利得解.
3．
【分析】设，，，利用导数的几何意义得出直线AB的方程为，联立抛物线方程得到，从而有，，利用弦长公式得，再直接求出点，到直线AB的距离，进而得到，再利用题设条件，即可求出结果.
【详解】设，，由，得，则，
所以切线的斜率为，其方程为，即，
设，．则，同理可得切线PB的方程为，
所以直线AB的方程为，联立，得，
则，，，
所以，
设分别为点，到直线AB的距离，
则，，
则四边形的面积，
因为．所以为线段AB的中点，则，
由题可知，则，解得，
则，即四边形的面积为，
故答案为：.
【点睛】关键点晴：本题的关键在于利用导数的几何意义，求出切线方程，进而求出直线AB的方程为，再利用几何法求出弦长及点，到直线AB的距离，即可得到，从而求解
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基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs__x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin__x
f(x)＝ax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝axln__a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
0
1
2
0
单调递增
极大值
单调递减
【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】4
【考点1】导数的运算4
【考点2】导数的几何意义5
【考点3】导数几何意义的应用6
【分层检测】7
【基础篇】7
【能力篇】9
【培优篇】10
考试要求：
1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数.
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数.
知识梳理
1.导数的概念
(1)如果当Δx→0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)).
(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝
eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x).
5.复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，则(f(x0))′＝0.
2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,f（x）)))′＝－eq \f(f′（x）,[f（x）]2)(f(x)≠0).
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
3．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
4．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
三、填空题
5．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
6．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
7．（2021·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ．
8．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
考点突破
【考点1】导数的运算
一、单选题
1．（2023·湖北·模拟预测）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．16B．12C．8D．4
2．（23-24高二上·江苏盐城·期末）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题
3．（2024·湖南·二模）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若满足的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．是偶函数B．
C．D．
4．（2024·甘肃陇南·一模）已知函数有3个不同的零点,且，则（ ）
A．B．的解集为
C．是曲线的切线D．点是曲线的对称中心
三、填空题
5．（23-24高三上·上海普陀·期末）函数，如果为奇函数，则的取值范围为
6．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数，则 .
反思提升：
1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
【考点2】导数的几何意义
一、单选题
1．（2024·重庆·模拟预测）（ ）
A．72B．12C．8D．4
2．（2024·江苏南通·二模）已知曲线与曲线在第一象限交于点，在处两条曲线的切线倾斜角分别为，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2024·河南洛阳·模拟预测）过点向抛物线作两条切线，切点分别为为抛物线的焦点，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若过原点可作函数的三条切线，则（ ）
A．恰有2个异号极值点B．若，则
C．恰有2个异号零点D．若，则
三、填空题
5．（2024·山东泰安·三模）已知函数若曲线与直线恰有2个公共点，则的取值范围是 .
6．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点．过A作C的切线m及平行于x轴的直线，过F作平行于m的直线交于M，过B作C的切线n及平行于x轴的直线，过F作平行于n的直线交于N．若，则点A的横坐标为 ．
反思提升：
1.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为x＝x0.
2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.
【考点3】导数几何意义的应用
一、单选题
1．（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
2．（2024·河北邢台·二模）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·安徽芜湖·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，过点（）作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是（ ）
A．B．切线：
C．D．
4．（2024·江西·二模）设函数（）在处的切线与直线平行，则（ ）
A．
B．函数存在极大值，不存在极小值
C．当时，
D．函数有三个零点
三、填空题
5．（2024·河南·二模）若两个函数和存在过点的公切线，设切点坐标分别为，则 .
6．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若曲线在处的切线与直线垂直，则实数 ；若不等式有且仅有一个正整数解，则实数a的取值范围是 .
反思提升：
1.处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；(3)切点在曲线上，故满足曲线方程.
2.利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·黑龙江·二模）函数在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·山东·二模）已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（ ）
A．1B．C．2D．2023
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数为奇函数，则（ ）
A．0B．C．1D．2
二、多选题
5．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知函数，为的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（22-23高二下·江苏苏州·阶段练习）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（ ）
A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同
7．（2023·广东·二模）已知函数的图象在点处的切线为，则（ ）
A．的斜率的最小值为B．的斜率的最小值为
C．的方程为D．的方程为
三、填空题
8．（2024·上海静安·二模）已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则在时间段内，物体的瞬时速度为的时刻 （单位：s）．
9．（2024·广西贺州·一模）已知直线与曲线的某条切线平行，则该切线方程为
10．（2024·山西吕梁·二模）若曲线在点处的切线过原点，则 .
四、解答题
11．（2024·江苏南京·二模）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值．
12．（2024·四川成都·一模）设函数，
(1)求、的值；
(2)求在上的最值．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·河北邢台·一模）如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2024·湖北·二模）已知抛物线，过y轴正半轴上任意一点的直线交抛物线于，，抛物线在A，B处的切线、交于点Q，则下列结论正确的有（ ）
A．的最小值为
B．如果P为定点，那么Q为定点
C．，的斜率之积为定值
D．如果P为定点．那么的面积的最小值为
三、填空题
3．（2024·辽宁·二模）已知函数的图象与函数且的图象在公共点处有相同的切线，则 ，切线方程为 .
四、解答题
4．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·陕西汉中·二模）已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2024·河南·模拟预测）记，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，且恒成立，则
D．若，则
三、填空题
3．（2024·江西宜春·模拟预测）已知抛物线是直线上的一点（点不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为，圆与直线切于点，且，则四边形的面积为
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基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs__x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin__x
f(x)＝ax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝axln__a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
专题15 导数的概念及运算（新高考专用）
目录
【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】10
【考点1】导数的运算10
【考点2】导数的几何意义14
【考点3】导数几何意义的应用20
【分层检测】25
【基础篇】25
【能力篇】31
【培优篇】35
考试要求：
1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数.
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数.
知识梳理
1.导数的概念
(1)如果当Δx→0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)).
(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝
eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x).
5.复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，则(f(x0))′＝0.
2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,f（x）)))′＝－eq \f(f′（x）,[f（x）]2)(f(x)≠0).
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
3．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
4．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
三、填空题
5．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
6．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
7．（2021·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ．
8．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
参考答案：
1．C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.
【详解】设曲线在点处的切线方程为，
因为，
所以，
所以
所以
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：C
2．B
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
3．D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
4．AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
5．
【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
因为是偶函数，图象为：
所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
[方法三]：
因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；.
6．
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
7．
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
8．
【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.
【详解】由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.
考点突破
【考点1】导数的运算
一、单选题
1．（2023·湖北·模拟预测）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．16B．12C．8D．4
2．（23-24高二上·江苏盐城·期末）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题
3．（2024·湖南·二模）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若满足的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．是偶函数B．
C．D．
4．（2024·甘肃陇南·一模）已知函数有3个不同的零点,且，则（ ）
A．B．的解集为
C．是曲线的切线D．点是曲线的对称中心
三、填空题
5．（23-24高三上·上海普陀·期末）函数，如果为奇函数，则的取值范围为
6．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数，则 .
参考答案：
1．D
【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.
【详解】对求导得，
由得，则，即，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：D．
2．D
【分析】求出平行于的直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．
【详解】设，函数的定义域为，求导得，
当曲线在点处的切线平行于直线时，，
则，而，解得，于是，
平行于的直线与曲线相切的切点坐标为，
所以点到直线的最小距离即点到直线的距离．
故选：D
3．ABD
【分析】推导出函数的奇偶性，设，利用导数推导出为常值函数，结合函数奇偶性的定义可判断A选项；推导出，令代值计算可判断B选项；由、推导可判断C选项；求出的值，结合函数的周期性可判断D选项．
【详解】对于A选项，因为函数的图象关于直线对称，
则，
即，所以，函数为偶函数，故A正确；
对于选项，因为，令，可得，即，
对等式两边求导得，即，
故，所以，故B正确；
对于选项，因为，则，
令，则，所以，为常值函数，
设，其中为常数，
当时，，故C错误；
对于D选项，因为，所以，.
，可得，
，
由，令，可得，则，
所以，
因为，则，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：本题考查抽象函数的对称性与周期性，一般可根据如下规则判断：
（1）若对任意的实数，满足，则函数的周期为；
（2）若对任意的实数，满足，则函数关于直线对称；
（3）若对任意的实数，满足，则函数关于点对称．
4．AC
【分析】利用三次函数的零点式，结合条件可求得，从而可判断AB，利用导数的几何意义可判断C，举反例排除D.
【详解】对于A，因为有3个不同的零点,
所以不妨设，
易知展开式中的常数项为，故，
又，所以，解得，
所以，解得，故A正确；
对于B，因为，
令，即，
利用数轴穿根法，解得或，故B错误；
对于C，易得，
当切线斜率为时，令，解得或，
当时，，
此时切线为，即，故C正确；
对于D，因为，又，
所以，所以点是曲线的对称中心，故D错误.
故选：AC.
5．
【分析】
求出，结合函数奇偶性的定义判断可得出结果.
【详解】由可得，即函数的定义域为，
则，
又因为函数为奇函数，对任意的，
，
对任意的实数都满足条件，故实数的取值范围是.
故答案为：.
6．
【分析】左右两侧同时求导得到，求出原函数后再求即可.
【详解】由题意知，令，
得，解得，
所以，
所以.
故答案为：
反思提升：
1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
【考点2】导数的几何意义
一、单选题
1．（2024·重庆·模拟预测）（ ）
A．72B．12C．8D．4
2．（2024·江苏南通·二模）已知曲线与曲线在第一象限交于点，在处两条曲线的切线倾斜角分别为，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2024·河南洛阳·模拟预测）过点向抛物线作两条切线，切点分别为为抛物线的焦点，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若过原点可作函数的三条切线，则（ ）
A．恰有2个异号极值点B．若，则
C．恰有2个异号零点D．若，则
三、填空题
5．（2024·山东泰安·三模）已知函数若曲线与直线恰有2个公共点，则的取值范围是 .
6．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点．过A作C的切线m及平行于x轴的直线，过F作平行于m的直线交于M，过B作C的切线n及平行于x轴的直线，过F作平行于n的直线交于N．若，则点A的横坐标为 ．
参考答案：
1．B
【分析】令，根据导数的概念，可求解.
【详解】令，根据导数的概念，
，
，所以.
故选：B．
2．A
【分析】联立曲线曲线与曲线方程求出切点，再由圆的切线与圆心和切点连线垂直，结合两垂直直线斜率乘积等于可求出在处圆的切线斜率，从而得出；由导数知识里在某点处的切线方程求法可得出，进而根据两角和与差的正切公式进行检验判断即可.
【详解】
因为曲线，即，
所以曲线是以为圆心，为半径的圆，
且，即曲线过原点O，
联立，得，
所以在处圆的切线斜率为，所以，
由，
所以曲线在A处的切线斜率为，
又，
所以，所以，从而，
即，故A正确，C错误，
注意到，，且，故B、D错误，
故选：A.
3．BC
【分析】设，利用导数的几何意义求出两切线斜率，即可求出两切线方程，然后根据韦达定理判断AB，根据焦半径公式化简求解判断CD.
【详解】设点为点，抛物线的方程为，即，则,
设，则切线PA，PB的斜率分别为，
切线方程分别为，
将的坐标及代入，并整理得，
可得为方程的两个实数根，
由韦达定理得，故A错误，B正确；
，故C正确；
，故D错误.
故选：BC
4．BD
【分析】利用函数导数的符号可判断AC，设切点，利用导数求出切线方程，代入原点方程有三解，转化为利用导数研究函数极值，由数形结合求解即可判断BD.
【详解】因为，所以在上单调递增，故AC错误；
设过原点的函数的切线的切点为，则切线的斜率，
所以切线方程为，
即，
因为过原点，所以，
化简得，即方程有3个不等实数根，
令，则，
当时，或时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以极大值，极小值为，如图，
所以与相交有三个交点需满足，故B正确；
同理，当时，可知极大值，极小值为，如图，
可得时，与相交有三个交点，故D正确.
故选：BD
5．
【分析】由导函数等求出函数单调性和切线方程，画出的图象，数形结合得到答案.
【详解】当时，，其在上单调递减，在上单调递增，且，则；
当时，，，其在上单调递减，且.
作出的图像，如图，易知的取值范围是.
故答案为：
6．3
【分析】利用导数的几何意义，求切线的斜率，并利用直线的交点求点的坐标，再根据方程，求点的坐标.
【详解】设,，不妨设点在第一象限，点在第四象限，
当时，，所以点处切线的斜率为，
所以过点且与直线平行的直线为，当时，得，即
当时，，所以点处切线的斜率为，
所以过点且与直线平行的直线为，当时，得，即，
所以，
所以，（*）
设直线，联立，得，
得，，代入（*），得，
化简为，解得：，或（舍）
所以点的横坐标为3.
故答案为：3
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用导数求切线的斜率，以及利用韦达定理得到.
反思提升：
1.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为x＝x0.
2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.
【考点3】导数几何意义的应用
一、单选题
1．（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
2．（2024·河北邢台·二模）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·安徽芜湖·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，过点（）作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是（ ）
A．B．切线：
C．D．
4．（2024·江西·二模）设函数（）在处的切线与直线平行，则（ ）
A．
B．函数存在极大值，不存在极小值
C．当时，
D．函数有三个零点
三、填空题
5．（2024·河南·二模）若两个函数和存在过点的公切线，设切点坐标分别为，则 .
6．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若曲线在处的切线与直线垂直，则实数 ；若不等式有且仅有一个正整数解，则实数a的取值范围是 .
参考答案：
1．A
【分析】设直线的方程为，先根据直线和圆相切算出，在根据导数的几何意义算.
【详解】依题意得，设直线的方程为，
由直线和圆相切可得，，解得，
当时，和相切，
设切点为，根据导数的几何意义，，
又切点同时在直线和曲线上，即，解得，
即和相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位，
和仍会保持相切状态，即时，，
综上所述，或.
故选：A
2．B
【分析】函数在两点处的切线平行，转化为函数在两点处的导数相等，得到的关系，在结合不等式求的取值范围即可.
【详解】因为，.
所以，.
由因为在，两个不同点处的切线相互平行，
所以，又，所以，故CD错误；
因为且，所以，故A不成立；
当时，.故B成立.
故选：B
3．ABD
【分析】由函数零点的存在性定理和，得到，可判定A正确；求得，设切点，求得切线方程，令，求得，可判定D正确；当时，求得，得出切线方程，可判定B正确；计算求得的值，可得判定C错误.
【详解】由，可得，即，
根据函数零点的存在性定理，可得，所以A正确；
又由，设切点，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
令，可得，所以D正确；
当时，可得，则，
所以的方程为，即，所以B正确；
由，可得，，此时，
所以C错误；
故选：ABD
4．AC
【分析】利用导数的几何意义可判定A，利用导数研究函数的单调性与极值可判定B，构造差函数利用导数研究其单调性与最值即可判定C，作出的图象结合条件可判定D.
【详解】对于A，，故，解得，故A正确；
对于B．因为，，
所以函数在上单调递减，不存在极值，故B错误；
对于C，令（），
则，由，故，
故在上单调递减，所以.
即当时，，故C正确；
对于D，因为，当时，；当时，，
又，在同一坐标系中作出与的图象，
如图所示，所以函数有且只有1个零点，故D错误.
故选：AC．
5．9
【分析】分别求出两个函数的导函数，根据导函数的几何意义求出斜率，由求出切点坐标得，利用斜率相等得，代入原式即得
【详解】，设切点坐标为，切线斜率为，
切线方程为，将代入得，
即.
，设切点坐标为，切线斜率为，
切线方程为，将代入得，
即，
又因为，可得，即，
，
所以.
故答案为：9
6． 1
【分析】根据在处的导数与已知直线的斜率之积等于-1可得；将不等式转化为，令，，考察的最值点，结合题意可解.
【详解】依题意，，所以.因为曲线在处的切线与直线垂直，所以，解得；若不等式，即，可化为.令，，且函数的图象恒过定点.因为函数，，所以当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，所以当时，.又，设点，，若满足不等式有且仅有一个正整数解，则必有.又因为，，所以，即实数a的取值范围是.
故答案为：1，
反思提升：
1.处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；(3)切点在曲线上，故满足曲线方程.
2.利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·黑龙江·二模）函数在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·山东·二模）已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（ ）
A．1B．C．2D．2023
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数为奇函数，则（ ）
A．0B．C．1D．2
二、多选题
5．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知函数，为的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（22-23高二下·江苏苏州·阶段练习）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（ ）
A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同
7．（2023·广东·二模）已知函数的图象在点处的切线为，则（ ）
A．的斜率的最小值为B．的斜率的最小值为
C．的方程为D．的方程为
三、填空题
8．（2024·上海静安·二模）已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则在时间段内，物体的瞬时速度为的时刻 （单位：s）．
9．（2024·广西贺州·一模）已知直线与曲线的某条切线平行，则该切线方程为
10．（2024·山西吕梁·二模）若曲线在点处的切线过原点，则 .
四、解答题
11．（2024·江苏南京·二模）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值．
12．（2024·四川成都·一模）设函数，
(1)求、的值；
(2)求在上的最值．
参考答案：
1．C
【分析】先根据圆锥的体积公式列出等式得出；再根据导数的运算得出；最后令即可求解.
【详解】设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，
则，得.
因为，
所以当时，，
即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.
故选：C
2．D
【分析】当时，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.
【详解】因为，则，
当时，则，所以，
所以切点为，切线的斜率为，
所以切线方程为，即.
故选：D
3．C
【分析】根据进行奇偶性和周期性的推导，得到是周期为4的偶函数，从而算出的值.
【详解】因为，所以两边求导，得，
即①
因为为定义在上的奇函数，则，
所以两边求导，得，所以是定义在上的偶函数，
所以，结合①式可得，，
所以，两式相减得，，
所以是周期为4的偶函数，
所以.
由①式，令，得，所以.
故选：C.
4．A
【分析】由奇函数性质可知，函数的定义域关于轴对称，求得，进而通过导数公式计算可得结果.
【详解】易知的定义域为．
因为函数为奇函数，所以，显然是奇函数，满足题意，
所以，故，
故选:A．
5．ABD
【分析】根据已知函数，求出导函数，依次代入验证各选项的正确性即可.
【详解】由已知得
，故A正确：
，故B正确；
，而，所以不成立，故C错误；
，故D正确：
故选：ABD
6．AC
【分析】利用图象可判断A选项；利用导数的几何意义可判断B选项；利用平均变化率的概念可判断C选项；利用平均变化率的概念可判断D选项.
【详解】选项A，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A正确；
选项B，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等，
说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B错误；
选项C，由平均变化率公式知，甲、乙两人在内，
血管中药物浓度的平均变化率均为，即选项C正确；
选项D，在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为
和，显然不相同，即选项D不正确．
故选：AC.
7．BCD
【分析】对函数求导，表示出在点的切线斜率即可.
【详解】因为，所以的斜率的最小值为.
因为，所以的方程为.
因为，所以的方程为，即.
故选：BCD.
8．
【分析】可求出导函数，根据即可求解．
【详解】由题可得：，
可得，又，
可得．
故答案为：．
9．
【分析】先求出切点，再根据导数的几何意义即可得解.
【详解】，设切点为，则，解得，所以切点为，
故切线方程为，即.
故答案为：.
10．
【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，即可代入求解.
【详解】因为，所以，
所以在点处的切线方程为.
又切线过原点，则，所以.
故答案为：
11．(1)
(2)
【分析】（1）由，分别求出及，即可写出切线方程；
（2）计算出，令，解得或，分类讨论的范围，得出的单调性，由在区间上的最小值为，列出方程求解即可．
【详解】（1）当时，，则，，所以，
所以曲线在处的切线方程为：，即．
（2），令，解得或，
当时，时，，则在上单调递减，
所以，则，符合题意；
当时，时，，则在上单调递减，
时，，则在上单调递增，
所以，则，不合题意；
当时，时，，则在上单调递减，
所以，不合题意；
综上，．
12．(1)，
(2)，
【分析】（1）求出函数的导函数，令求出，再令求出；
（2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极值，再由区间端点的函数值，即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，取，则有，即；
所以，取，则有，即．
故，．
（2）由（1）知，，
则，
所以、与，的关系如下表：
故，．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·河北邢台·一模）如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2024·湖北·二模）已知抛物线，过y轴正半轴上任意一点的直线交抛物线于，，抛物线在A，B处的切线、交于点Q，则下列结论正确的有（ ）
A．的最小值为
B．如果P为定点，那么Q为定点
C．，的斜率之积为定值
D．如果P为定点．那么的面积的最小值为
三、填空题
3．（2024·辽宁·二模）已知函数的图象与函数且的图象在公共点处有相同的切线，则 ，切线方程为 .
四、解答题
4．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
参考答案：
1．B
【分析】利用给定隐函数的导数求法确定斜率，再求出切线方程即可.
【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导，
可得，将点代入，得，
解得，故切线斜率为，得到切线方程为，
化简得方程为，故B正确.
故选：B
2．AD
【分析】设出直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可判断A，利用导数可得切线方程进而可判断C，利用两点坐标点关系可判断B，求出面积表达式可判断D.
【详解】显然直线AB的斜率存在，设，与联立得，
由韦达定理得，，，
所以，当且仅当时取等号，所以A正确；
因为对于抛物线，，所以，即，
同理，即，
所以，的斜率之积为，所以C错误；
因为过点，所以有，同理有，
这表明，在直线上，即直线AB的方程为，
又因为AB经过点P，所以，解得，
又因为Q是直线，的交点，所以，所以，
所以，当P为定点时，Q在直线上，所以B错误；
因为，到直线AB的距离，
所以的面积，显然如果m为定值．
那么当时，S有最小值，且最小值为，所以D正确．
故选：AD
3．
【分析】设公共点为，即可得到，再由导数的几何意义得到，从而求出，即可求出切点坐标，从而求出，再求出切线方程.
【详解】设公共点为，则，即，所以，
所以，
由，，所以，，
又在公共点处有相同的切线，所以，即，所以，则，，
则，
则，所以切线方程为，即.
故答案为：；
4．(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导可得，含参分类讨论、、和时函数的单调性即可求解.
【详解】（1）由题意知，当时，，
则，
故曲线在处的切线方程为．
（2）的定义域为，且，
当时，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，则有：
若，则，令，则单调递增；
令，则或单调递减；
若，则，令，则单调递增；
令，则或单调递减；
若，则单调递减．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·陕西汉中·二模）已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2024·河南·模拟预测）记，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，且恒成立，则
D．若，则
三、填空题
3．（2024·江西宜春·模拟预测）已知抛物线是直线上的一点（点不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为，圆与直线切于点，且，则四边形的面积为 ．
参考答案：
1．D
【分析】由题意可知：函数的零点个数即为与的交点个数，利用导数求过原点的切线，结合图象分析求解.
【详解】作出的图象，如图所示
令，可得，
由题意可知：函数的零点个数即为与的交点个数，
若，则，可得，
设切点坐标为，切线斜率为，
则切线方程为，
代入点，可得，解得，
此时切线斜率为；
若，则，可得，
设切点坐标为，切线斜率为，
则切线方程为，
代入点，可得，解得，
此时切线斜率为；
结合图象可知的取值范围为.
故选：D.
【点睛】易错点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以形助数和以数解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法．运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择．
2．ABD
【分析】对于A，由的导数一直是它本身即可判断；对于B，由诱导公式以及三角函数的导数公式即可判断；对于C，通过归纳即可判断；对于D，由C选项结论即可判断.
【详解】由题知，则当时，，A正确；
由，，
，，所以，B正确；
，则，
若，则恒成立，，C错误；
，由C知，D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：对于递推类函数定义，可以用归纳的方法结合求导公式去验证即可顺利得解.
3．
【分析】设，，，利用导数的几何意义得出直线AB的方程为，联立抛物线方程得到，从而有，，利用弦长公式得，再直接求出点，到直线AB的距离，进而得到，再利用题设条件，即可求出结果.
【详解】设，，由，得，则，
所以切线的斜率为，其方程为，即，
设，．则，同理可得切线PB的方程为，
所以直线AB的方程为，联立，得，
则，，，
所以，
设分别为点，到直线AB的距离，
则，，
则四边形的面积，
因为．所以为线段AB的中点，则，
由题可知，则，解得，
则，即四边形的面积为，
故答案为：.
【点睛】关键点晴：本题的关键在于利用导数的几何意义，求出切线方程，进而求出直线AB的方程为，再利用几何法求出弦长及点，到直线AB的距离，即可得到，从而求解
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基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs__x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin__x
f(x)＝ax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝axln__a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
0
1
2
0
单调递增
极大值
单调递减
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