2025年高考数学一轮复习讲义(知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测)专题12函数的图象(新高考专用)(原卷版+解析)

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义(知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测)专题12函数的图象(新高考专用)(原卷版+解析)，共61页。

【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】9
【考点1】作出函数的图象9
【考点2】函数图象的识别15
【考点3】函数图象的应用21
【分层检测】29
【基础篇】29
【能力篇】28
【培优篇】42
考试要求：
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.
知识梳理
1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象eq \(――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象eq \(――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象eq \(――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象eq \(――→,\s\up17(关于直线),\s\d15(y＝x对称))y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up17(纵坐标不变),\s\d15(各点横坐标变为原来的\f(1,a)（a>0）倍))y＝f(ax).
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up17(横坐标不变),\s\d15(各点纵坐标变为原来的A(A>0)倍))y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象eq \(――――――――――――→,\s\up17(x轴下方部分翻折到上方),\s\d15(x轴及上方部分不变))y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象eq \(――――――――――――→,\s\up17(y轴右侧部分翻折到左侧),\s\d15(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝f(|x|)的图象.
1.记住几个重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.
3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行.
真题自测
一、单选题
1．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
2．（2022·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·天津·高考真题）函数的图像为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
6．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
考点突破
【考点1】作出函数的图象
一、单选题
1．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·四川成都·二模）已知函数，若关于的方程有且仅有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，则（ ）．
A．为奇函数B．在上单调递增
C．恰有3个极值点D．有且仅有2个极大值点
4．（2024·全国·模拟预测）已知则方程可能有（ ）个解.
A．3B．4C．5D．6
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若关于的方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
反思提升：
1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
【考点2】函数图象的识别
一、单选题
1．（2024·宁夏固原·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·四川德阳·二模）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2024·安徽合肥·一模）函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·福建泉州·模拟预测）函数的大致图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·福建泉州·模拟预测）函数的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
反思提升：
1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
3.根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法
(1)定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象.
(2)定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同的特殊的位置时图象的变化特征，从而利用排除法做出选择.
【考点3】函数图象的应用
一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2024·陕西汉中·二模）已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数（且，）为偶函数，则（ ）
A．为定值
B．为定值
C．函数与的定义域不相同，值域不相同
D．若，且对，，则的最大值为
4．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数的定义域为，且满当时，，λ为非零常数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，在单调递增
C．当时，在的值域为
D．当时，且时，若将函数与的图象在的m个交点记为（，2，3，…m），则
三、填空题
5．（2020·北京海淀·一模）如图，在等边三角形ABC中， AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：
①函数f(x)的最大值为12；
②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；
③关于x的方程最多有5个实数根.
其中，所有正确结论的序号是 .
6．（2024·北京西城·二模）已知函数，，其中．
①若函数无零点，则的一个取值为 ；
②若函数有4个零点，则 ．
反思提升：
1.利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2.利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·辽宁抚顺·三模）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·陕西西安·一模）函数在区间上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
3．（22-23高三上·北京大兴·期中）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·上海奉贤·二模）已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（ ）．
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（2020高三·全国·专题练习）关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．在区间上单调递增B． 的图象关于直线对称
C．若则D．有且仅有两个零点
6．（22-23高三上·河北沧州·阶段练习）函数的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·湖南岳阳·二模）设函数在上的最小值为，函数在上的最大值为，若，则满足条件的实数可以是（ ）
A．B．C． D．
8．（21-22高一上·广东广州·期中）一辆赛车在一个周长为的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．
根据图1，以下四个说法中正确的是（ ）
A．在这第二圈的到之间，赛车速度逐渐增加
B．在整个跑道，最长的直线路程不超过
C．大约在这第二圈的到之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶
D．在图2的四条曲线（注：为初始记录数据位置）中，曲线最能符合赛车的运动轨迹
三、填空题
9．（2023·上海宝山·一模）设为常数，若，则函数的图象必定不经过第 象限
10．（2022·北京东城·三模）已知函数.
①对于任意实数，为偶函数；
②对于任意实数，在上单调递减，在上单调递增；
③存在实数，使得有3个零点；
④存在实数，使得关于的不等式的解集为.
所有正确命题的序号为 .
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数满足，且当时，，有以下四个结论：①的值域是；②在上有8个零点；③若方程有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为12；④若方程有4个不相等的实数根，则．所有正确结论的序号是 ．
12．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知的定义域为,且是奇函数,当时,,.函数,则方程的所有的根之和为 .
【能力篇】
一、单选题
1．（2024高三下·全国·专题练习）函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则与的图象交点的纵坐标之和为 ．
四、解答题
4．（2023·江西宜春·模拟预测）设，，且a、b为函数的极值点
(1)判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论；
(2)若曲线在处的切线斜率为，且方程有两个不等的实根，求实数m的取值范围.
【培优篇】
一、单选题
1．（2023·四川资阳·模拟预测）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2024·河北沧州·一模）已知函数的定义域为，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．
C．
D．函数与函数的图象有8个不同的公共点
三、填空题
3．（2022·江苏·一模）已知是定义在上的奇函数，且.若当时，，则在区间上的值域为 ，在区间内的所有零点之和为
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专题12 函数的图象（新高考专用）
目录
【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】9
【考点1】作出函数的图象9
【考点2】函数图象的识别15
【考点3】函数图象的应用21
【分层检测】29
【基础篇】29
【能力篇】28
【培优篇】42
考试要求：
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.
知识梳理
1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象eq \(――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象eq \(――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象eq \(――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象eq \(――→,\s\up17(关于直线),\s\d15(y＝x对称))y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up17(纵坐标不变),\s\d15(各点横坐标变为原来的\f(1,a)（a>0）倍))y＝f(ax).
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up17(横坐标不变),\s\d15(各点纵坐标变为原来的A(A>0)倍))y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象eq \(――――――――――――→,\s\up17(x轴下方部分翻折到上方),\s\d15(x轴及上方部分不变))y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象eq \(――――――――――――→,\s\up17(y轴右侧部分翻折到左侧),\s\d15(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝f(|x|)的图象.
1.记住几个重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.
3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行.
真题自测
一、单选题
1．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
2．（2022·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·天津·高考真题）函数的图像为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
6．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
参考答案：
1．D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
2．A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
3．A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.
4．D
【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，A选项错误；
又当时，，C选项错误；
当时，函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.
5．D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
6．②③
【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断.
【详解】依题意，，
当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；
当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取，则的图像如下，

显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；
对于②，当时，
当时，；
当时，显然取得最大值；
当时，，
综上：取得最大值，故②正确；
对于③，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小，

当时，，当且接近于处，，
此时，，故③正确；
对于④，取，则的图像如下，

因为，
结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然在上，满足取得最小值，
即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.
考点突破
【考点1】作出函数的图象
一、单选题
1．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·四川成都·二模）已知函数，若关于的方程有且仅有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，则（ ）．
A．为奇函数B．在上单调递增
C．恰有3个极值点D．有且仅有2个极大值点
4．（2024·全国·模拟预测）已知则方程可能有（ ）个解.
A．3B．4C．5D．6
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若关于的方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
参考答案：
1．D
【分析】
转化为与图象有3个不同的交点，画出两函数图象，数形结合得到答案.
【详解】令，故，
画出与的图象，
函数有3个零点，即与图象有3个不同的交点，
则，
解得.
故选：D
2．A
【分析】令，方程可化为或有个不同实数根，借助导数研究的单调性与最值，数形结合即可判断的取值范围．
【详解】由，
设，则，
又，
所以，，
化简得，
即，或，
当时，，，
当，函数在单调递增；
当时，，函数在单调递增；
因为，所以，
又，且恒有，
从图象趋势看，当；当.
当时，.
作出函数的大致图象，如图，
可得的图象与直线的图象有2个交点，
所以的图象与直线有个交点.
则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.

3．CD
【分析】A选项，根据函数的定义域和奇偶性得到，A正确；B选项，求导后转化为和在的图像，结合隐零点得到在上单调递增，在上单调递减；CD选项，利用函数图象交点分析得到答案.
【详解】A选项，函数的定义域为，关于原点对称，
，所以函数为偶函数，故A错误．
B选项，，显然，
当时，令，即，得，
分别作出和在的图像，如图所示．
由图可知，若存在使得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，故B错误．
C选项，由图象可得和在区间上共有3个公共点，且图像在这些公共点处都不相切，
当时，；当时，，
当时，，
故为的极大值点，为的极小值点，
故在区间上的极值点的个数为3，有2个极大值点和1个极小值点，故C，D正确．
故选：CD．
4．BCD
【分析】方程得或，作出函数图象，数形结合判断解的个数.
【详解】，有，
当时，单调递减；当时，单调递增，
当时，有极小值.
，由二次函数的性质可知，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，有极大值.
由的图象如图所示，

由得或，
由图象可知有3个解，可能有1，2，3，4个解，
故方程可能有4，5，6，7个解.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
5．
【分析】先作出函数图象，解一元二次方程，结合函数图象含参讨论即可.
【详解】作出函数的图象，如图所示．
由，得，
解得或．
由图象易知，直线与的图象有3个交点，
所以方程有3个不同的实数根，
因为方程有7个不同的实数根，
所以直线与的图象有4个交点，
故，解得，故实数的取值范围是．
故答案为：
6．
【分析】利用分段函数，指数函数，对数函数的性质作出函数的图象，结合图象，从而确定的取值范围.
【详解】由的解析式作出的大致图像．如图所示：

方程有3个不等实数根等价于的图象与直线有3个不同的公共点，则．
故答案为：.
反思提升：
1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
【考点2】函数图象的识别
一、单选题
1．（2024·宁夏固原·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·四川德阳·二模）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2024·安徽合肥·一模）函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·福建泉州·模拟预测）函数的大致图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·福建泉州·模拟预测）函数的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
参考答案：
1．A
【分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的单调性排除D，从而得解.
【详解】对于B，当时，，易知，，
则，不满足图象，故B错误；
对于C，，定义域为，
又，则的图象关于轴对称，故C错误；
对于D，当时，，
由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误；
检验选项A，满足图中性质，故A正确.
故选：A.
2．B
【分析】根据诱导公式化简，再利用函数奇偶性的定义判断的奇偶性，从而得解.
【详解】因为，定义域为，
又，
所以是奇函数，从而ACD错误，B正确.
故选：B.
3．A
【分析】根据函数解析式，求函数定义域，奇偶性，特殊值利用排除法逐一判断各个选项.
【详解】由题意得，即，得，且，
所以的定义域为；
又，所以为奇函数，
其图象关于原点对称，排除B，C；
又，所以排除D．
故选：A．
4．ABD
【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解.
【详解】由题意可知，函数的定义域为，
当时，，函数在上单调递增，故B正确；
当时，，，所以在上单调递增，故D正确；
当时，当时，；当时，；
故A正确；C错误.
故选：ABD.
5．BCD
【分析】利用函数的单调性和奇偶性，通过对进行分类讨论，得出的单调区间和奇偶性，再逐一对各个选项即可得出结果.
【详解】因为，
所以，解得，故定义域为.
，，
因为时，在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增.
当时，，此时为奇函数，故选项B正确；
当时，，易知其图像为选项D，故选项D正确.
当时，由，得，又，
所以，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
综上可知，在区间上不严格单调递减，故选项A不正确；
当时，，此时为偶函数，
且在区间上单调递增，在区间上单调递减，故选项C正确，
故选：BCD.
6．AD
【分析】首先判断函数的奇偶性，再分、、三种情况讨论，利用导数说明函数的单调性，即可判断.
【详解】因为与均为偶函数，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除B；
当时的定义域为，
且当时，此时，当或时，
由于为定义域上的偶函数，只需考虑的情况即可，
当时，
方程的两根为，，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递减，在单调递增，故A正确；
当时的定义域为，由于为定义域上的偶函数，只需考虑的情况即可，
即，，所以，
则时，时，
则在上单调递减，在上单调递增，故D正确；
当时的定义域为，由于为定义域上的偶函数，只需考虑的情况即可，
此时，
对于函数，与轴交于正半轴，对称轴为，开口向上，无论是否与轴有交点，
函数在靠近处函数值均大于，即，此时函数单调递增，故C错误；
故选：AD
反思提升：
1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
3.根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法
(1)定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象.
(2)定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同的特殊的位置时图象的变化特征，从而利用排除法做出选择.
【考点3】函数图象的应用
一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2024·陕西汉中·二模）已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数（且，）为偶函数，则（ ）
A．为定值
B．为定值
C．函数与的定义域不相同，值域不相同
D．若，且对，，则的最大值为
4．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数的定义域为，且满当时，，λ为非零常数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，在单调递增
C．当时，在的值域为
D．当时，且时，若将函数与的图象在的m个交点记为（，2，3，…m），则
三、填空题
5．（2020·北京海淀·一模）如图，在等边三角形ABC中， AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：
①函数f(x)的最大值为12；
②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；
③关于x的方程最多有5个实数根.
其中，所有正确结论的序号是 .
6．（2024·北京西城·二模）已知函数，，其中．
①若函数无零点，则的一个取值为 ；
②若函数有4个零点，则 ．
参考答案：
1．C
【分析】根据函数的对称性与周期性，数形结合可得函数交点情况，进而确定方程解的情况.
【详解】由已知，则，则，
可知函数为周期函数，最小正周期，
又当时，，
可知函数的图象如图所示，且的值域为，
关于的方程至少有两解，
可得函数与函数的图象至少有两个交点，
如图所示，

可知当时，，解得，即，
当时，，解得，即，
综上所述，
故选：C.
2．D
【分析】由题意可知：函数的零点个数即为与的交点个数，利用导数求过原点的切线，结合图象分析求解.
【详解】作出的图象，如图所示
令，可得，
由题意可知：函数的零点个数即为与的交点个数，
若，则，可得，
设切点坐标为，切线斜率为，
则切线方程为，
代入点，可得，解得，
此时切线斜率为；
若，则，可得，
设切点坐标为，切线斜率为，
则切线方程为，
代入点，可得，解得，
此时切线斜率为；
结合图象可知的取值范围为.
故选：D.
【点睛】易错点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以形助数和以数解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法．运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择．
3．BD
【分析】利用偶函数性质得恒成立，即可判断A、B；由与的关系判断C；由已知求得，将问题化为对恒成立，利用对数复合函数单调性求最值，判断D.
【详解】为偶函数，则，即，
，则，
恒成立，即，故B正确，A错误.
∵函数是函数向右平移一个单位长度得到的，
∴两个函数的值域相同，又函数的定义域为，
的定义域也为，故C错误.
若，则，即，
，即，解得（负值已舍），故.
不等式对恒成立，即对恒成立.
令，且.
由知，在上单调递增，
即可，则，故D正确.
故选：BD
4．BC
【分析】理解函数 的性质： ，即 ，自变量x每增加2，则对应的函数值为原来的倍，利用这个性质逐项分析可以求解.
【详解】不妨令 ，则图像如下：
由函数的性质可得：当时， ，
，…，，
∴当时， …①；
对于A，当λ＝﹣1，时，
，，所以是周期为4的周期函数， ，
由于 ，， = ，故A错误；
对于B，当λ＞0时，
， ∴在上，由①知，的单调性与在上相同，即为增函数，故B正确；
对于C，由得，，则．
因为，如图可知，
在和单调递增，
在单调递减．
当时，
；
．
所以在的值域为，故选项C正确．
对D：由图像可知，与的图象在有n个交点，且，，（，2，3，…n），， ，所以，故选项D错误．
故选：BC．
5．①②
【解析】写出分别在上运动时的函数解析式，利用分段函数图象可解.
【详解】
分别在上运动时的函数解析式，
分别在上运动时的函数解析式，
分别在上运动时的函数解析式，
，
由图象可得，方程最多有个实数根
故正确的是①②.
故答案为：①②
【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.
6．
【分析】①结合函数的图象， 函数无零点，即与的图象无交点，所以可得到的一个取值；②由图象对称，即可算出的值.
【详解】画函数的图象如下：
①函数无零点，即 无解，
即与的图象无交点，所以，可取；
②函数有4个零点，即 有4个根，
即与的图象有4个交点，
由关于对称，所以，
关于对称，所以，
所以.
故答案为：；.
反思提升：
1.利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2.利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·辽宁抚顺·三模）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·陕西西安·一模）函数在区间上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
3．（22-23高三上·北京大兴·期中）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·上海奉贤·二模）已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（ ）．
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（2020高三·全国·专题练习）关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．在区间上单调递增B． 的图象关于直线对称
C．若则D．有且仅有两个零点
6．（22-23高三上·河北沧州·阶段练习）函数的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·湖南岳阳·二模）设函数在上的最小值为，函数在上的最大值为，若，则满足条件的实数可以是（ ）
A．B．C． D．
8．（21-22高一上·广东广州·期中）一辆赛车在一个周长为的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．
根据图1，以下四个说法中正确的是（ ）
A．在这第二圈的到之间，赛车速度逐渐增加
B．在整个跑道，最长的直线路程不超过
C．大约在这第二圈的到之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶
D．在图2的四条曲线（注：为初始记录数据位置）中，曲线最能符合赛车的运动轨迹
三、填空题
9．（2023·上海宝山·一模）设为常数，若，则函数的图象必定不经过第 象限
10．（2022·北京东城·三模）已知函数.
①对于任意实数，为偶函数；
②对于任意实数，在上单调递减，在上单调递增；
③存在实数，使得有3个零点；
④存在实数，使得关于的不等式的解集为.
所有正确命题的序号为 .
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数满足，且当时，，有以下四个结论：①的值域是；②在上有8个零点；③若方程有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为12；④若方程有4个不相等的实数根，则．所有正确结论的序号是 ．
12．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知的定义域为,且是奇函数,当时,,.函数,则方程的所有的根之和为 .
参考答案：
1．A
【分析】利用导数判断函数的单调性即可得到函数的大致图象.
【详解】易知，因为，令，得，或，
则时，，时，，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
所以选项A符合题意,
故选：A.
2．A
【分析】利用函数的奇偶性和指数函数的性质，排除选项得出正确答案．
【详解】
是偶函数，排除选项B和D
当时，，，即，排除选项C
故选：A
3．C
【分析】根据速度差函数的定义，分四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图像.
【详解】由题意可得，当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”；
当时，无人机做匀速运动，，“速度差函数”；
当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”；
当时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”，结合选项C满足“速度差函数”解析式，
故选：C.
4．A
【分析】根据函数图象和的奇偶性判断.
【详解】易知是偶函数， 是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数，
A. ，定义域为R，
又，所以是奇函数，符合题意，故正确；
B. ，，不符合图象，故错误；
C. ，定义域为R，
但，故函数是非奇非偶函数，故错误；
D. ，定义域为R，
但，故函数是非奇非偶函数，故错误，
故选：A
5．ABD
【分析】作出函数的图象，由图象观察性质判断各选项．
【详解】根据图象变换作出函数的图象（，作出的图象，
再作出其关于轴对称的图象，然后向右平移2个单位，
最后把轴下方的部分关于轴翻折上去即可得），如图，
由图象知在是单调递增，A正确，函数图象关于直线对称，B正确；
，直线与函数图象相交可能是4个交点，如图，
如果最左边两个交点横坐标分别是，则不成立，C错误，
与轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D正确．
故选：ABD．
6．ABD
【分析】
先根据当时，，时，，排除C，再举出适当的的值，分别得到ABD三个图象.
【详解】
由题意知，则，当时，，，，
当时，，，，
所以的大致图象不可能为C，
而当为其他值时，A，B，D均有可能出现，
不妨设，定义域为，此时A选项符合要求；
当时，定义域为，且，
故函数为奇函数，所以B选项符合要求，
当时，定义域为，且，
故函数为偶函数，所以D选项符合要求.
故选：ABD
7．BD
【分析】根据对数函数和正弦函数的图象，对a分类讨论，结合对数函数、正弦函数的单调性求解即可.
【详解】函数和的图象，如图，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
函数在上单调递增，所以，
所以，解得；
当时，函数在上单调递增，所以，
由图可知，函数在上，有，得
所以，解得，
结合选项，实数a可以是和.
故选：BD.
8．AD
【分析】根据弯道减速，直道可加速，再根据图像逐一判断即可.
【详解】由图1知，在2.6km到2.8km之间，图象上升，故在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加，故A正确；
在整个跑道上，高速行驶时最长为(1.8，2.4) 之间，但直道加减速也有过程，故最长的直线路程有可能超过0.6km，故B不正确；
最长直线路程应在1.4到1.8之间开始，故C不正确；
由图1可知，跑道应有3个弯道，且两长一短，故D正确；
故选：AD.
9．二
【分析】由指数函数的性质与图象的平移可得.
【详解】已知,
则指数函数单调递增，过定点，且，
函数的图象是由函数函数向下平移个单位，
作出函数的图象，可知图象必定不经过第二象限.
故答案为：二.
10．①②④
【分析】对于①：利用偶函数定义判断；对于②：根据单调性的性质以及偶函数的对称性判断；对于③：根据题意得，结合图像判断与交点个数；对于④：，通过函数性质解不等式．
【详解】，为偶函数，①正确；
当时，在上单调递增，再根据偶函数可得在上单调递减，②正确；
令，则，结合图像可知：与至多有两个交点，则至多有两个零点，③不正确；
当时，，根据②可知在上单调递减，在上单调递增，且
∴不等式的解集为，④正确；
故答案为：①②④．
11．①③④
【分析】由已知，画出函数的简图，结合图形即可判断.
【详解】由题意可作出函数的大致图象如图所示，

数形结合可知的值域是，在上的零点分别为2，4，6，8，共4个，故①正确，②错误；
易知函数与的图象都关于直线对称，故若方程有4个不同的实数根，则这4个实数根之和为12，故③正确；
作出直线，数形结合可知，若方程有4个不相等的实数根，则，得，故④正确．
故所有正确结论的序号是①③④．
故答案为：①③④.
12．5
【分析】根据是奇函数,可知关于对称,根据解析式可知,关于对称,根据解析式及对称性在同一坐标系下画出两函数图象,判断交点个数及位置,即可得出方程根之和.
【详解】解:由题知是奇函数,
则有:,
关于对称,且,
当时,,
,
恒过,且关于对称,
方程的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和,
根据对称性及解析式画出图象如下:
由图像可知,有5个交点,其中一个交点横坐标为1,
另外四个,两两分别关于对称,
故五个交点横坐标和为,
即所有根之和5.
故答案为:5
【能力篇】
一、单选题
1．（2024高三下·全国·专题练习）函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则与的图象交点的纵坐标之和为 ．
四、解答题
4．（2023·江西宜春·模拟预测）设，，且a、b为函数的极值点
(1)判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论；
(2)若曲线在处的切线斜率为，且方程有两个不等的实根，求实数m的取值范围.
参考答案：
1．B
【分析】考查图像识别，常用排除法，根据函数解析式特征分段讨论，讨论时分别从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性和特殊值等入手研究，排除不符合答案即可得出结果.
【详解】解法一： 由题意得当时，，
因为函数，在上都单调递减，
所以函数在上单调递减，排除C，D；
因为，所以排除A，
故选：B.
解法二：当时，则，
由，得；由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以B正确.
故选：B．
2．AB
【分析】先利用求导公式得到，再根据函数的一个极值点位于区间得到，得到的大小关系，即可判断A，B，C选项的正误；根据题图得到，然后对取特殊值，说明即可得到D错误.
【详解】选项A，B，C：由题意知，
令，解得或或，
由题图可知函数的一个极值点位于区间，
因此，又，所以，故，因此A，B正确，C错误.
选项D：由题图可知，
若取，则，解得，因此D错误.
故选：AB
3．2
【分析】分析函数的奇偶性，由图象的平移变换求解即可.
【详解】对于，可以把的图象看作：
由的图象向上平移1个单位长度得到，
而的图象可看作由的图象向右平移1个单位长度得到；
对于的图象可看作由
的图象向上平移1个单位长度得到，
而的图象可看作由的图象向右平移1个单位长度得到．
易知与都为奇函数，
则易知与的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0．
因为将函数图象向右平移不改变与两函数图象交点处函数值的大小，
所以与的图象交点的纵坐标之和为0，
又将函数图象向上平移1个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1，
则与的图象的两个交点的纵坐标与与的图象两个交点的纵坐标相比都增加1，
故与的图象交点的纵坐标之和为2．
故答案为：2
4．(1)在区间，上单调递增，证明见解析.
(2)
【分析】（1）求导得，则，利用韦达定理得，则，分析出，根据其导数与单调性关系即可得到答案.
（2）根据求出，则，求导，求出其极值，作出其函数图象，利用直线与交点个数即可得到答案.
【详解】（1）依题设方程，即方程
的两根分别为a、b∴
∴
因为，且，则，
∴，∴当且时，，
∴在区间，上单调递增.
（2）由，得，∴，∴，
时或，当x在上变化时，，的变化情况如下：
∴的大致图象如图,
∴方程有两个不等根时，转化为直线与函数的图象有两交点，
则.

【培优篇】
一、单选题
1．（2023·四川资阳·模拟预测）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2024·河北沧州·一模）已知函数的定义域为，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．
C．
D．函数与函数的图象有8个不同的公共点
三、填空题
3．（2022·江苏·一模）已知是定义在上的奇函数，且.若当时，，则在区间上的值域为 ，在区间内的所有零点之和为
参考答案：
1．C
【分析】先分析函数的奇偶性，排除AB，再结合导数分析函数的单调性，得到答案.
【详解】∵为奇函数，为奇函数，为偶函数，∴为奇函数，其图象关于原点中心对称.排除AB.
设，则；
再设，则
当时，恒成立.
所以在上单调递增，又，，
所以存在，使.当时，，即：时，.
所以在上递减，又
所以：当时，.
又恒成立，所以：当时，.所以C正确.
故选：C.
【点睛】由解析式判断函数图象的问题，一般采用排除法，可以从以下角度考虑：
（1）考虑函数的定义域，排除定义域不对的图象；
（2）考虑函数的奇偶性，结合函数图象的对称性进行选择；
（3）结合特殊点的函数值（尤其是符号）进行选择.
2．ABD
【分析】根据条件先得到函数的对称性及周期性，进而判断ABC，画出函数与函数的图象，根据图象观察交点个数即可判断D.
【详解】由得函数关于对称，A正确；
由得函数关于对称，
所以，，
所以，即，
所以，故函数的周期为，
由知，，
又时，，所以，解得，
所以时，，
所以，B正确；
，C错误；
画出函数和函数的图象，如图：
，观察图象可得函数与函数的图像有8个不同的公共点，D正确.
故选：ABD.
3． /2.5
【分析】第一空先求出函数在上的解析式，结合奇函数画出的图像，再由得到，
进而得到函数在上的图像，即可求得值域；
第二空画出将零点转化为的交点，再画出的图像即可求解.
【详解】由当时，，可得当时，，当时，，
又是奇函数，可得函数图像关于原点对称.又当时，即，即，
即函数右移两个单位，函数值变为原来的2倍，由此可得函数在上的图像如图所示：
结合图像可知在区间上的值域为；，即，即的交点，
画出的图像，由图像可知4个交点的横坐标依次为，又均是奇函数，故，
故.
故答案为：；
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