湖南省益阳市赫山区海棠学校2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题

这是一份湖南省益阳市赫山区海棠学校2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题，共10页。
时量：120分钟 满分：120分
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．若、都在函数的图象上，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知点A是双曲线在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为，则m，n满足的关系式为（ ）
第3题图
A．B．C．D．
4．已知，下列变形错误的是（ ）
A．B．C．D．
5．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．B．且C．D．且
6．如图，在中，CD是斜边AB上的高，则图中的相似三角形共有（ ）
第6题图
A．1对B．2对C．3对D．4对
7．如图有一块直角边cm，cm的的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）
第7题图
A．B．C．D．
8．如图，点P是边AB上一点（），下列条件不一定能使的是（ ）
第8题图
A．B．C．D．
9．如图，在四边形ABCD中，，，，，P是AD上的动点，连接BP，CP，若，则这样的点P共有（ ）
第9题图
A．0个B．1个C．2个D．3个
10．如图，正方形ABCD中，点E在边BC上，且．连接BD、DE、AE，且AE交BD于F，OG为的中位线：下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的个数是（ ）
第10题图
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．若反比例函数的图象经过点，则m的值是______．
12．反比例函数的图象上有一点，将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则______．
13．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为______．
14．设a、b是一元二次方程的两个根，则______．
15．如图，在中，，，如果，则______．
第15题图
16．如图，在两个直角三角形中，，，，若与相似，______．
第16题图
17．如图，在等边中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且，，，则的边长为______．
第17题图
18．如图，在中，，cm，AD、BE是两条中线，F为其交点，那么______cm．
第18题图
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（6分）解下列方程：
．
20．（6分）已知反比例函数，（k为常数，）．
（1）若点在这个函数的图象上，则k的值为______；
（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；
21．（8分）已知关于x的方程．
（1）当该方程的一个根为1时，则a的值为______；方程的另一根是______；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
22．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且A点坐标为，一次函数交x轴于点C．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
23．（9分）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
24．（9分）如图，D为内一点，E为外一点，且满足，
求证：．
25．（10分）如图在直角坐标系xOy中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作矩形ABCD，使．
（1）求点A，点B的坐标，并求边AB的长；
（2）过点D作轴，垂足为H，求证：；
（3）求点D的坐标．
26．（10分）如图，在中，，cm，cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，）．
（1）当______，，
（2）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与相似？
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．
九年级数学期中考试答案
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．－2 12．6 13．20% 14．5 15． 16．18或 17．9 18．4
19．（6分）（1）原方程可化为：
∴
解得：，．
20．（6分）（1）∵点在这个函数的图象上，
∴，
解得；
（2）∵在函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，∴，
解得；
21．（8分）（1）设方程的另一根为，
∵该方程的一个根为1，∴，解得．
∴a的值为，该方程的另一根为．
（2）∵，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
22．（8分）
（1）把代入，得，解得：，
∴一次函数解析式为：；
把代入，得：，
∴反比例函数解析式为：；
（2）当时，，则直线与y轴的交点坐标为，
联立，得：，
解得：，，
∴，
∴的面积；
23．（9分）
（1）解：设矩形ABCD的边m，则边m．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为
640m2的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到650m2．
24．（9分）
解：∵，∴，
∴，∴，
∵，∴．
25．（10分）
（1）在中，令，
解得，令，
解得，因而，，
∴在中，；
（2）证明：由，，
∴，
又∵，∴；
（3）∵，∴，
即，∴，，∴．
26．（10分）
解：∵如图，在中，，cm，cm．
∴根据勾股定理，得cm．
（1）
（2）以A，P，M为顶点的三角形与相似，分两种情况：
①当时，，即，解得；
②当时，，即，解得（不合题意，舍去）．
综上所述，当时，以A、P、M为顶点的三角形与相似．
（3）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：
假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．
如图，过点P作于点H．则，
∴，即．
∴．
∴．
∵，∴S有最小值．
当时，．
答：当时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是．1
2
3
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5
6
7
8
9
10
B
A
B
A
D
C
D
B
C
C