湖南省益阳市资阳区多校联考2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份湖南省益阳市资阳区多校联考2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A. 3，4，5B. 9，12，15C. ，2，D. 0.3，0.4，0.5
【答案】C
【解析】
【分析】通过边判断构成直角三角形必须满足，两短边的平方和=长边的平方.即通过勾股定理的逆定理去判断.
【详解】A. ，能构成直角三角形
B.，构成直角三角形
C. ，不构成直角三角形
D. ，构成直角三角形
故答案为C
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的的三边满足 ，那么这个三角形为直角三角形.
2. 某市在开展“红心颂党恩，喜迎二十大”主题活动演讲比赛中，成绩在95分以上的选手有8人，频率为0.2，则参加比赛的选手共有（ ）
A. 16人B. 40人C. 80人D. 20人
【答案】B
【解析】
【分析】用成绩在95分以上的选手人数除以其所对应的频率即可求解．
【详解】8÷0.2=40（人），
故选：B．
【点睛】本题考查了通过频数和与之对应的频率求出样本容量的知识，掌握相关知识点是解答本题的关键．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 矩形的对角线互相垂直
C. 一组对边平行的四边形是平行四边形D. 四边相等的四边形是菱形
【答案】D
【解析】
【详解】解：选项A，菱形的对角线互相垂直，当对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故不正确；
选项B，矩形的对角线相等但不一定垂直，故不正确；
选项C，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故不正确；
选项D，四边相等的四边形是菱形．
故选D．
4. 关于一次函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A. 随的增大而增大B. 图象经过第三象限
C. 图象经过点D. 图象与轴的交点是
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图像及性质，掌握一次函数的性质是解题关键．根据一次函数的图像及性质逐项分析即可．
【详解】解：A、，随的增大而减小，故不符合题意；
B、，图象经过第一、二、四象限，故不符合题意；
C、当时，故不符合题意；
D、一次函数，图象与轴的交点是0,1，故符合题意；
故选：D．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
B. 频数与频率相等
C. 一次函数都是正比例函数
D. 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的判定，频率与频数，正比例函数和一次函数的定义，轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是熟练掌握其相关的概念，依据相关的定义即可解答
【详解】解：A. 两个锐角对应相等的两个直角三角形相似，且三角形全等的判定里没有，故此选项错误；
B.频数除以样本数等于频率，故此选项错误；
C. 正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数，故此选项错误；
D. 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项正确，
故选：D
6. 在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据第二象限内点横坐标是负数，纵坐标是正数以及点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【详解】解：∵第二象限的点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，
∴点P的横坐标是-3，纵坐标是2，
∴点P的坐标为（-3，2）．
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
7. 如图，已知，P是平分线上一点，，交于点C，，垂足为点D，且，则的长为（ ）

A. 2B. C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】作于，如图，先利用平行线的性质得，则，然后根据角平分线的性质得到的长．
【详解】解：作于，如图，
，
，
在中，，
是平分线上一点，，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．解决本题的关键是把求点到的距离转化为点到的距离．
8. 小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】∵y轴表示当天爷爷离家的距离，X轴表示时间
又∵爷爷从家里跑步到公园，在公园打了一会儿太极拳，然后沿原路慢步走到家，
∴刚开始离家的距离越来越远，到公园打太极拳时离家的距离不变，然后回家时离家的距离越来越近
又知去时是跑步，用时较短，回来是慢走，用时较多
∴选项B中的图形满足条件.
故选B.
9. 如图，在中，，为边上一动点，且于点，于点，则线段的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，等面积法，解题的关键是要证明，此题根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形，进一步得出四边形为矩形，则有，当时，最小，即可解答
【详解】解：连接，如图所示，
，
，
为直角三角形，
则，
又于点，于点，
四边形为矩形，
，
当时，最小，即此时有最小值，
，
即，
，
故选：C
10. 如图，矩形纸片，点M、N分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点P与点A重合时，；③的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③B. ①②C. ①③D. ②③
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的性质与折叠的性质，证明出，，通过等量代换，得到PM=CN，则由一组邻边相等的平行四边形是菱形得到结论正确；用勾股定理，，由菱形的性质对角线互相垂直，再用勾股定理求出；当过点D时，最小面积，当P点与A点重合时，S最大为，得出答案．
【详解】解：①如图1，
∵，
∴，
∵折叠，∴，NC=NP
∴，
∴，
∴PM=CN，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴平行四边形为菱形，
故①正确，符合题意；
②当点P与A重合时，如图2所示
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴，，
∴，
又∵四边形为菱形，
∴，且，
∴
∴，
故②错误，不符合题意．
③当过点D时，如图3所示：
此时，最短，四边形的面积最小，则S最小为，
当P点与A点重合时，最长，四边形的面积最大，则S最大为，
∴，故③正确，符合题意．
故答案为：①③．
故选：C
【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、折叠问题、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理与性质定理、勾股定理是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 在Rt中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，则AB=_______．

【答案】8
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质30°所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，
∴，
∵BC=4，
∴AB=8．
故答案为：8．
考点：含30度角的直角三角形．
12. 一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个外角等于______度．
【答案】72
【解析】
【分析】根据正多边形的性质、补角的定义即可得．
【详解】解：设正多边形的边数为，根据题意得：
，
解得：，
∵正多边形的每个外角都相等，且外角和为，
∴正多边形的每一个外角为：．
故答案为：72．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正多边形的内角和和外角和，熟记正多边形的性质是解题关键．
13. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【详解】由题意得：点关于轴对称的点为，
故答案为：．
14. 如图，在中，，点D是的中点，，，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，先根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半即可得到答案．
【详解】解：∵在中，∠，，，
∴由勾股定理得，
∵点D是的中点，
∴，
故答案为：5．
15. 将一次函数的图象向上平移个单位，得到的一次函数的表达式是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”．据此解答即可．
【详解】解：将一次函数的图象向上平移个单位，得到的一次函数的表达式是，
即，
故答案为：．
16. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，DC，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离为 ___．
【答案】2
【解析】
【分析】点到的距离，指的是过点作的垂线段的长度，根据角平分线的性质，可以得到，利用AC＝6，，可以求出线段的长度，问题即可解决．
【详解】解：如图，过作于，
，
，
平分，，，
，
，AC＝6，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到的距离指的是过点作的垂线段的长度，是解决此题的突破口．
17. 如图，在中，分别是的中点，点在上，且，若，则的长为_____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，根据三角形中位线定理求出，进而求出根据直角三角形的性质即可求出．
【详解】解：∵D，E分别是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵点D是的中点，且，
∴，
故答案为：6．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点、、……都在x轴上，点，，，……都在直线上，，，，，都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，由得到点的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点的坐标，进而得到点的坐标，然后再一次类推得到点的坐标．
【详解】解：
点的坐标为，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，
，
同理可得，
故答案为：．
三、解答题（本题共8个小题，共66分）
19. 如图，四边形中，，，，，，计算四边形的面积．
【答案】36
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键．
先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：，，，
，
在中，，
直角三角形，
．
答：四边形的面积是36．
20. 阅读下列一段文字，然后回答下列问题，已知在平面内两点，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或．
（1）已知，，试求A、B两点间的距离；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）
（2）等腰直角三角形，证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，解题的关键是要熟练掌握其相关的公式和定理
（1）利用公式代入计算即可；
（2）利用公式求出的长，再由勾股定理逆定理即可判断；
【小问1详解】
解：A、B两点间的距离为；
【小问2详解】
解：为等腰直角三角形，理由如下：
，
，
，
，且
为等腰直角三角形；
21. 如图，已知是四边形各边的中点．
（1）证明：四边形为平行四边形；
（2）若四边形是矩形，且其面积是，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查中点四边形以及矩形的性质，解题时利用三角形中位线定理判定四边形是平行四边形是解题的关键．
（1）连接，由三角形中位线定理可得出，由平行四边形的判定可得出结论；
（2）由矩形的判定与性质得出答案．
【小问1详解】
．证明：（1）连接，
、分别为、的中点，
是的中位线，
同理，
，
四边形为平行四边形
【小问2详解】
如图，由（1）知四边形为平行四边形，
四边形是矩形，且是四边形各边的中点，
，
四边形和四边形都是矩形，
四边形是菱形，
，
四边形的面积是，
，
．
22. 2015年3月30日是全国中小学生安全教育日，学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
频率分布表

（1）这次抽取了_________名学生的竞赛成绩进行统计，其中：_________，_________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？
【答案】（1）200，70，
（2）见解析 （3）该校安全意识不强的学生约有420人
【解析】
【分析】本题考查了频率分布表和频数分布直方图、利用样本的频率估计总体，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
（1）利用分数段的频数除以频率可得这次抽取的学生人数，再据此分别求出的值即可得；
（2）根据的值补全频数分布直方图即可得；
（3）利用该校全校学生乘以成绩在70分以下的学生的频率即可得．
【小问1详解】
解：这次抽取的学生人数为，
则，，
故答案为：200，70，；
【小问2详解】
解：补全频数分布直方图如下：
【小问3详解】
解：（人），
答：该校安全意识不强的学生约有420人．
23. 某省疾控中心将一批10万剂疫苗运往A，B两城市，根据预算，运往A城的费用为800元/万剂，运往B城的费用为600元/万剂．结合A城的疫苗预约情况，A城的需求量不低于4万剂，设运输这批10万剂疫苗的总费用为y（元），运往A城x（万剂）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）在满足A城市最低需求量的情况下，求运输费用最少的方案，最少费用是多少？
【答案】（1）
（2）运往A城4万剂，运往B城6万剂，最低费用是6800元．
【解析】
【分析】（1）根据题意总费用=运往A城费用运往B城费用列出函数关系式整理即可求解．
（2）根据一次函数的性质和自变量的取值范围即可求出当时，y取最小值，费用为6800元，即可解答．
【小问1详解】
解：设运往A城x万剂，运往B城万剂，
依据题意可得
答：运输这批10万剂疫苗的费用y与x的函数关系式为；
【小问2详解】
根据A城的疫苗预约情况，A城的需求量不低于4万剂，可得
因为，所以y随着x的增大而增大，
所以，当时，y取最小值，（元）
答：在满足A城市需求量的情况下，费用最低的调运方案是：运往A城4万剂，运往B城6万剂，最低费用是6800元．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用和一次函数的性质，根据题意列函数解析式是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线：与y轴交于点Q，且与直线：相交于点P，其中点P纵坐标为1．
（1）求点P的坐标及的值；
（2）求△PQO的面积；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）点P的坐标为（-2，1），a=3
（2）3 （3）x≥-2
【解析】
【分析】（1）由直线l2：y＝−x相交于点P，求得P的坐标，然后根据待定系数法求得a的值；
（2）求得Q的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得△PQO的面积；
（3）根据图象即可求得．
【小问1详解】
解：把y=1代入y=-x得，-x=1，
解得x=-2，
∴点P的坐标为（-2，1），
把P点的坐标代入y=x+a得，1=-2+a，
解得a=3；
【小问2详解】
解：∵直线l1：y=x+3与y轴交于点Q，
∴Q（0，3），
∴OQ=3，
∴S△POQ=×3×2=3；
【小问3详解】
解：由图象可知，不等式−x≤x+a解集是x≥-2．
【点睛】本题两条直线相交问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
25. 如图，已知中，，点为边上一动点，四边形是正方形，连接，正方形对角线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】此题是四边形的综合题，考查的是正方形的性质及全等三角形的判定与性质．
（1）根据正方形的性质和“”可证，从而得结论；
（2）连接由正方形的性质及全等三角形的性质可得，然后根据勾股定理可得答案；
（3）如图3，连接，根据勾股定理计算的长，可得答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴ ，
∴，
∴在中，，
∴；
小问3详解】
解：连接，
∵，
∴在中，
，
∵，
∴，
由（1）知，
由（2）知，
在中，，
∵四边形是正方形，
∴．
26. 如图，已知直线与坐标轴交于B，C两点，点A是x轴正半轴上一点，并且，点F是线段上一动点（不与端点重合），过点F作轴，交BC于E．

（1）求所在直线的解析式；
（2）若轴于D，且点D的坐标为，请用含m的代数式表示与的长；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）存在，或或
【解析】
【分析】（1）由直线可求得B、C坐标，再结合，则可求得A点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式；
（2）根据直线解析式可求得F点的纵坐标，即可表示出，由轴则可得出E点纵坐标，代入直线解析式可求得E点横坐标，从而可表示出的长；
（3）设，当时，则有，则可得到关于x的方程，可求得P点坐标；当时，则有，可求得P点坐标；当时，过P作于点H，由等腰直角三角形的性质可知，可求得D点坐标，从而可求得P点坐标．
【小问1详解】
在中，令可得，令可求得 ，
∴，，
∴，，
∵，
∴，即，，解得，
∴，
设直线解析式为，
∴ ，解得 ，
∴直线解析式为；
【小问2详解】
∵轴，且，
∴F点横坐标为m，
在中，令，可得，
∴，
∵轴，
∴E点纵坐标为，
在中，令，可得，解得，
∵F在线段上，
∴，
∴；
【小问3详解】
假设存在满足条件的点P，设其坐标为，
∵为等腰直角三角形，
∴有、和三种情况，
①当时，则有，
由（2）可得，，
∴，解得，
∴；
②当时，则有，
在中，令可得，
∴，
在中，令，可得，解得，
∴，
∴，解得，
∴；
③当时，如图，过P作于点H，则，

由（2）可知，，
∴，解得，
∴，，
∴，
∴；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或或．
【点睛】本题考查一次函数解析式，等腰三角形的判定，坐标与图形，注意分类讨论是解题的关键．分数段
频数
频率
16
0.08
40
0.2
50
0.25
m
035
24
n