安徽省淮南市凤台县第一中学2024-2025学年高二上学期期中模拟数学试题

这是一份安徽省淮南市凤台县第一中学2024-2025学年高二上学期期中模拟数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数满足是虚数单位，则等于( )
A. B. C. D.
2.命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为
( )
A. B. C. D.
4.已知空间向量，若与的夹角是锐角，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.已知直线与直线平行，则的值为( )
A. B. C. 或D. 或
6.已知圆，一条光线从点处射到直线上，经直线反射后，反射光线与圆有公共点，则反射光线斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩满分分，成绩取整数整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是( )
A. 的值为B. 估计这组数据的众数为
C. 估计这组数据的平均数为D. 估计成绩低于分的有人
8.成语“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，意思是在小小的军帐之内作出正确的部署，决定了千里之外战场上的胜利．“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”，如图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面．若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为，底面矩形的长与宽之比为，则正脊与斜脊长度的比值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是
( )
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
10.如图，正方体棱长为，是线段上的一个动点，下列结论中正确的是( )
A. 的最小值为
B. 当在上运动时，都有
C. 当在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D. 的最小值为
11.已知函数，则下列选项正确的是( )
A. 函数的值域为
B. 方程有两个不等的实数解
C. 关于的方程的解的个数可能为，，，
D. 不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，且为第二象限角，则 ．
13.过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 ．
14.已知椭圆的左焦点为，右焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在如图所示的平行六面体中，，，设，，．
用，，表示，，；
求的长；
求异面直线与所成角的余弦值．
16.本小题分
已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求：
顶点的坐标；
直线的方程．
17.本小题分
已知椭圆的右顶点为，上顶点为．
求椭圆的方程；
椭圆的右焦点为，点为椭圆上不同于顶点的一点，若直线，与轴相交，交点分别为，，且，求点的横坐标．
18.本小题分
在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线．
求的轨迹方程，并说明其形状；
过直线上的动点分别作的两条切线，、为切点，，交于点．
(ⅰ)证明：直线过定点，并求该定点坐标；
(ⅱ)是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】 2.【答案】 3.【答案】 4.【答案】 5.【答案】
6.【答案】
解：点 关于直线 的对称点 ，
由题意可得反射光线过 点，显然过 点的直线与圆 有公共点的直线的斜率存在，
设反射光线的斜率为 ，则反射光线的方程为 ，即 ，
圆心 到反射光线的距离 ，
整理可得： ，解得 ．
故选： ．
7.【答案】
解：根据频率分布直方图可知： ，即 ，故 正确；
由图易得在区间 ， 的人数最多，故可估计这组数据的众数为，故 正确；
由图可估计平均数为 ，故 错误；
因为 ，故估计成绩低于分的有人，即 正确．
故选： ．
8.【答案】
解：如图，
多面体中，取的中点，做交于，
作底面于点，则点在上，且点到的距离相等，
即，因为底面，所以，
作于点，连接，因为，平面，
则平面，又平面，
所以，所以坡面与底面所成二面角为，
又，平面，
则平面，因为平面，
所以，坡面与底面所成二面角为，
所以正切值，
不妨设，，
可得斜脊，
因为矩形宽，
所以长为，这样正脊，所以正脊与斜脊长度的比值为，即．
故选：．
9.【答案】
解： 选项，由于 ， ，
所以 ，故 正确；
选项，若 ， ，
则 ，故 正确；
选项，若 ， ，
则 ，可能平行、相交或异面，故错误；
选项，若 ， ，
则 或 ，故错误．
故选：．
10.【答案】
解：对于，连接，，
在正方体中，
，
故B的最小值为正三角形的边上的高，
即，故A正确；
对于，连接，，，
由于平面，平面，
故，
而，，，平面，
故平面，
因为平面，所以，
同理可证，
又因为，，平面，
故平面，平面，
故，故B正确
对于，连接，，，
因为，，
故四边形为平行四边形，
则，
又平面，平面，
故平面，
点在直线上运动，
即到平面的距离为定值，
而为边长为的正三角形，其面积为定值，
故三棱锥的体积为定值，
由于，
故三棱锥的体积为定值，故C正确；
对于，将平面沿着翻折到平面上，
连接，与交于点，
则即为的最小值
在中，，
，
即的最小值为，故D错误．
故选：．
11.【答案】
解：画出 的图象，如下图所示：
令 ，得 ，
解得 或 ，
所以 的图象与 轴交于 ，
对于 ，由图象可知，函数 的值域为 ，故A正确；
对于 ，由图象可知，直线 与函数 有三个不同的交点，
所以方程 有三个不等的实数解，故B错误；
对于 ， ，
即 ，所以 ，
由图知 有解，
若 ， 解的个数即为 解的个数，有个解，
若 ， 解的个数可能为，，，，
此时 解的个数为 和 解的个数之和，可能为，，，，
综上方程 解的个数可能为，，，，故C正确；
对于 ，由图象可知，当 或 时， ，
所以，由 ，可得 或 ，
令 ，解得 或 ，
令 ，解得 或 ，
所以，由图象可知，不等式解集为，故D正确．
故选：．
12.【答案】
13.【答案】 或
解：圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
当直线 的斜率不存在时，
过点 的直线 的方程为 ，
此时直线 被圆截得弦长为 ，满足题意；
当直线 的斜率存在时，
设直线 的方程为 ，即 ，
圆心到直线 距离 ，
由垂径定理，弦长，
可得 ，即 ，
化简得 ，解得 ，
即直线 的方程为 ．
故答案为： 或 ．
14.【答案】
解：设线段的中点为，连接，
由题意知， ，又 是 的中位线，
则，
由椭圆的定义知，
又，，
在直角三角形 中，
由勾股定理得：，
又 ，可得，
故有 ，
由此可求得离心率 ，
故答案为： ．
15.【答案】解：，
，，
，， ，
，，，
因为
，
所以 ，即的长为 ；
因为，，
同理可求得 ， ，
又因为
，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为
16.【答案】解：由于 ，且 的直线方程为 ，
所以 ，故 ，
又的顶点，
所以 所在的直线方程为 ，
由于 边上的中线 所在的直线方程为 ，
联立方程 ，解得 ，
故点 ；
设点 ，
则 的中点 ，
由于点 在直线 上，
所以 ，整理得 ，
同时点 在直线 上，
所以 ，
故 ，解得 ，即点 ，
17.【答案】解：由题意可得 ， ，
所以椭圆 的方程为 ；
如图
法一：设 ，其中 且 ，
因为直线 ， 与 轴相交，所以直线 ， 斜率都存在，
直线 方程为 ，
令 ，得 ，
直线 方程为 ，
令 ，得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
代入 中 ，可得 ，
整理得 ，即 ，
所以 或 ，
又因为 ， ，所以 ，
所以点 的横坐标为 ；
法二：由题意直线 斜率存在，且不为，
设直线 的方程为 ，
令 ，得 ，
由 ，得 ，
易知 ，
设 ， ，其中 且 ，则 ，
所以 ，即 ，
直线 的方程为，
令 ，得 ，
所以 ，
所以 舍或 ，
代入 中，得 ，
满足 ， ，
所以点 的横坐标为
18.【答案】解：证明：取的中点，连接，，
，且，，分别是、的中点，
，且，
，且，故四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面；
，平面，，平面，
，，
设，，
又因为， ，所以，
所以、、两两垂直，
如图，以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
设点，则，，
，可得，
解得，，，
设平面的法向量为，
由，得
取，得，
故平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
，，
则，即
令，得，，
平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为；
设，，
，
，
，
设 与平面 所成角为 ，
则 ， ，
，
整理得： ，解得或 舍 ，
存在满足条件的点 ， ，且长为 ．
19.【答案】解：设 ，
由题意得 ，
化简整理得 ，
故曲线 是以 为圆心，为半径的圆；
如图：
(ⅰ)证明：因为 ， ，
所以点 、 在以 为直径的圆 上，
可求得圆 的方程为 ，
所以直线 为圆 与圆 的公共弦所在的直线，
由 ，整理得 ，
即直线 的方程为，
故直线 恒过定点 ；
(ⅱ)当 时，点 、 重合，
当 时，因为 ，点 、 在直线 上，所以 ，
综上，点在以 为直径的圆上，
圆方程为 ，
因为 ，又 ，
所以当 时， 的面积最大，此时 ，
又由 ， ， 三点共线，得 ，即 ， ，
所以存在点 ，使 的面积最大，此时 点坐标为