山东省泰安市肥城市龙山中学2023-2024学年七年级上学期期末数学试题(含解析)

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1．在实数，，3.1415，中，无理数是（ ）
A．B．C．3.1415D．
2．若点到x轴、y轴的距离相等，则m的值是（ ）
A．B．1C．D．或
3．一次函数的图象经过第一、二、四象限，则有（ ）
A．，B．，C．，D．，
4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．用无刻度的直尺和圆规在△ABC内部作一个角∠α，下列作法中∠α不等于45°的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在中，平分，于点，，，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，长方形E的长是宽的2倍，图中所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为5、23、8，则正方形D的面积为（ ）
A．1B．C．2D．6
7．如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是（ ）
A．20米B．18米C．16米D．15米
8．如图，，点E在边上，，则的度数为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．50°
9．如图所示，点、是的边上的两点，线段的垂直平分线交于，的垂直平分线恰好经过点，连接、，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
10．实数、在轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为( )
A．B．C． D．
11．已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
12．甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距；②甲车的平均速度是，乙车的平均速度是；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在追上乙车．正确的有（ ）

A．①②B．①③C．②④D．①④
二．填空题（共6小题，每题4分）
13．的平方根与立方根的和是 ．
14．如图所示，过等边的顶点A，B，C依次作的垂线三条垂线围成，已知，则的周长是 ．
15．如图，在一张长方形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达点需要走的最短路程是 ．
16．已知某直线经过点A(0,2),且与两坐标轴围成的三角形的面积为2.则该直线的函数表达式是 .
17．已知的算术平方根为3，的平方根为±5，的平方根是 ．
18．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，点B是x轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为 ．

三．解答题（共8小题）
19．计算或解方程：
(1)；
(2)．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点；，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若点C关于直线AB的对称点为点D，则点D的坐标为______；
(3)连接CD，BD，则的周长为______．
21．如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直半分线交于点E，与相交于点O，连接，若的周长为，的周长为．
(1)求线段的长；
(2)连接，求线段的长；
(3)若，求的度数．
22．如图，已知，点 D 在 y 轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点 B 恰好落在 x 轴正半轴上的点 C 处．

(1)求直线的表达式；
(2)求 C、D 的坐标；
(3)在直线上是否存在一点 P，使得 ? 若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由．
23．如图，在中，的中垂线交于点D，E，．若，求的长．
24．已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．
(1)求证：；
(2)试猜想、有何特殊位置关系，并证明．
25．某羽毛球馆有两种消费方式：A种是办理会员卡，但需按月缴纳一定的会员费；B种是不办会员卡直接按打球时间付费两种消费方式每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)种方式要求客户每月支付的会员费是___________元，种方式每小时打球付费是___________元；
(2)写出办会员卡打球的月费用(元)与打球时间x(小时)之间的关系式___________；
(3)小王每月打球时间为10小时，他选用哪种方式更合算？
26．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．
（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；
（2）如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；
（3）如图3，点P为线段AD上一点，连结BP，作∠BPQ=60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．

参考答案与解析
1．A
【分析】根据无理数的定义：限不循环小数叫无理数，结合算术平方根的性质分析，即可得到答案．
【详解】是无理数，故选项A符合题意；
，是整数，属于有理数，故选项B不合题意；
是有限小数，属于有理数，故选项C不合题意；
是分数，属于有理数，故选项D不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了实数、算术平方根的知识；解题的关键是熟练掌握无理数的定义和算术平方根的性质，从而完成求解．
2．D
【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵点到x轴、y轴的距离相等，
∴，
∴或，
解得或，
故选：D．
3．D
【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系，解题关键是熟悉直线所在的位置与k、b的符号的关系．根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
则，
故选：D
4．C
【分析】根据角平分线的尺规作图和等腰直角三角形、直角三角形的性质、三角形外角的性质逐一判断即可．
【详解】解：A．此选项是作直角∠ACB的平分线，∠α＝∠ACB＝45°，不符合题意；
B．此选项是作CA＝CD，由∠ACB＝90°知∠CAD＝∠CDA＝∠α＝45°，不符合题意；
C．此选项是作∠CAB的平分线，由∠CAB＜90°知∠α＝∠ACB＜45°，符合题意；
D．此选项是作∠CAB和∠CBA的平分线，∠α＝∠DAB＋∠EBA＝∠CAB＋∠CBA＝（∠CAB＋∠CBA）＝45°，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图与性质、直角三角形的性质．
5．C
【分析】过点作，垂足为，根据角平分线的性质可得，根据三角形面积公式即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴的面积的面积，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．A
【分析】设正方形D的面积为，首先根据长方形E的长是宽的2倍，得出长方形E的长的平方是长方形E的宽的平方的4倍，长方形E的宽的平方为，然后结合图形，利用勾股定理得到关于x的一元一次方程，解这个方程求出x的值，即可求解．
【详解】解：设正方形D的面积为，
∵长方形E的长是宽的2倍，
∴长方形E的长的平方是长方形E的宽的平方的4倍，
∵正方形A、B、C、D的面积依次为5、23、8、x，
∴根据图形得：，
解得：，
∴正方形D的面积为1，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解答本题的关键是掌握利用勾股定理求线段长的思路与方法．
7．B
【分析】利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：设大树在折断之前的高是，
由勾股定理得：，
解得：或（不符合题意，舍去）
∴大树在折断之前的高是；
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，是解题的关键．
8．B
【分析】由全等三角形的性质推出，由等腰三角形的性质得到，求出，，即可得到．
【详解】，
，
，
，
，
．
故选： B ．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是由，得到，．
9．D
【分析】根据线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理计算判断即可．
【详解】∵线段的垂直平分线交于，的垂直平分线恰好经过点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，三角形外角性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段的垂直平分线，三角形外角性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
10．B
【分析】利用数轴得出的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可．
【详解】∵由数轴可知，，且，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性．
11．C
【分析】根据一次函数与系数的关系，由已知函数图象判断k、b，然后根据系数的正负判断函数y=－bx+k的图象位置．
【详解】∵函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b>0，
∴－b＜0，
∴函数y=－bx+k的图象经过第二、三、四象限．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的图象与系数，明确一次函数图象与系数之间的关系是解题关键．
12．D
【分析】根据图象逐项分析判断即可．
【详解】解：由图象知：
①A，B两城相距，故此项正确；
②甲车的平均速度是，乙车的平均速度是，故此项错误；
③乙车先出发，才到达B城，甲车后出发，就到达B城，故此项错误；
④两车在时，行驶路程一样，即甲车在追上乙车，故此项正确．
综上，①④说法正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，正确识别图象并能提取相关信息是解答的关键．
13．0或##或0
【分析】根据平方根和立方根的概念求解．
【详解】∵，，，
∴的平方根是，的立方根是．
则：的平方根与立方根的和为：，或者，
故答案为：0或．
【点睛】考查的是平方根和立方根的概念，熟知算术平方根及立方根的定义是解答此题的关键．
14．36
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形判定与性质，所对的直角边是斜边的一半等知识，本题中为等边三角形，通过证明，得．证明是等边三角形，易得，，即可作答．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
同理：，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∵，
所以的周长，
故答案为：36
15．
【分析】本题主要考查两点之间线段最短，解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．
【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽，
∴长为米；宽为米．
于是最短路径为：米．
故答案为：．
16．y=x+2或y=-x+2
【分析】先画出函数大致图，结合图象分两种情况讨论，根据三角形的面积为2求出函数与x轴交点坐标，即可求出函数解析式
【详解】如下图，∵点A(0,2)
∴OA=2
当直线与x轴相交于时，
∵直线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，
∴,
解得，故
设该直线的解析式为y=kx+2
将（2,0）代入得0=2k+2，解得k=-1
∴y=-x+2
当直线与x轴相交于时，同理可求
将代入得0=-2k+2，解得k=1
∴y=-x+2
故该函数表达式为：y=x+2或y=-x+2
填：y=x+2或y=-x+2.
【点睛】本题考查一次函数与几何图形问题.能根据函数与两坐标轴围成的三角形的面积为2求出它与x轴的交点坐标是解决此题的关键.另外本题一定要分交点在x轴正半轴和x轴负半轴两种情况讨论.
17．±1
【分析】运用算术平方根和平方根的意义列出方程，解出未知数，再求的平方根即可求解．
【详解】解：由题意得，
，
解得，
∴
，
，
的平方根是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了运用平方根进行有关运算的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
18．3
【分析】以为边向左侧作等边三角形，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短可得当轴，的值最小，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：如图，以为边向左侧作等边三角形，连接，

，
是等边三角形，
，
，即，
在和中，，
，
，
由垂线段最短可知，当轴，的值最小，
∵点的坐标是，
，
，
又，
，
则在中，，
所以在运动过程中，的最小值为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
19．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了利用平方根解方程，实数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据平方根定义解方程即可；
（2）根据乘方运算法则，绝对值意义，算术平方根定义进行计算即可．
【详解】（1）解：，
移项得：，
开平方得：，
∴，；
（2）解：
．
20．(1)直角三角形，见解析
(2)（-3，-1）
(3)
【分析】（1）求出各线段长，利用勾股定理逆定理可得答案；
（2）根据对称的性质得出点即可；
（3）根据勾股定理和二次根式的计算求解即可．
【详解】（1）：，，，
，
是直角三角形；
（2）解：如图所示：
点坐标为；
故答案为：；
（3）解：，，的周长为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了作图轴对称变换，以及勾股定理逆定理，解题的关键是正确画出图形．
21．(1)6厘米
(2)4厘米
(3)20度
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角和三角形内角和定理，
（1）根据线段垂直平分线的性质可得,继而求解即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得,继而求解即可；
（3）根据三角形内角和得出，再由等边对等角及角的代换得出，继而求解即可．
【详解】（1）∵边的垂直平分线交于点D，边的垂直半分线交于点E，
∴,
∴，
∵的周长为，即，
∴；
（2）连接，
∵边的垂直平分线交于点D，边的垂直半分线交于点E，
∴,
∵的周长为，即，，
∴；
（3）∵，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴．
22．(1)
(2)，
(3)存在，或
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到图形折叠、面积的计算等，（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式，即可得到直线的表达式；（2）由题意得：，故点，设点D的坐标为，根据，即可得到m的值；（3）由，即可求解．
【详解】（1）解：设一次函数表达式：，
将点的坐标代入得：
，
解得：，
故直线的表达式为：；
（2）解：，
，
由题意得： ，，
，
故点，
设点D的坐标为：，
，
解得：，
故点；
（3）解：存在，
理由如下：

设直线的表达式为，
由点、的坐标代入得：
，
解得：，
直线的表达式为：，
，，
，
，
，
点P在直线上，
设，
，
解得：或5，
即点P的坐标为：或．
23．
【分析】直接把代入到进行求解即可．
【详解】解： ∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，正确计算是解题的关键．
24．(1)见详解
(2)，证明见详解
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余等知识．
（1）先证明，再根据“边角边”即可证明；
（2）根据得到，根据得到，即可证明，问题得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即．
在和中，
，
∴；
（2）解：．
证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
25．(1)100，40
(2)
(3)办会员卡更合算
【分析】（1）直接从函数图象上得出答案；
（2）根据题意得出种方式每小时打球付费元，会员费是元，即可求解．
（3）先求得B种方式打球的月费用，将，分别代入中，求出相应的函数值，然后比较大小即可解答本题．
【详解】（1）解：根据函数图象可知，会员费是元，
种方式每小时打球付费是元，
故答案为：，；
（2）解：种方式每小时打球付费是元
∴，
故答案为：；
（3）B种方式打球的月费用
当时，(元)
(元)
∵
∴办会员卡更划算
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
26．（1）见解析；（2）见解析；（3）DQ=AD+DP.
【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠ABC=60°，由角平分线的定义得出∠A=∠DBA，证出AD=BD，由线段垂直平分线的性质得出AE=BE，由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=AB=BE，即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质得出BC=BE，BM=BN，∠EBC=∠MBN=60°，证出∠CBM=∠EBN，由SAS证明△CBM≌△EBN，得出∠BEN=∠BCM=60°，得出∠BEN=∠EBC，即可得出结论；
（3）延长BD至F，使DF=PD，连接PF，证出△PDF为等边三角形，得出PF=PD=DF，∠F=∠PDQ=60°，得到∠F=∠PDQ=60°，证出∠Q=∠PBF，由AAS证明△PFB≌△PDQ，得出DQ=BF=BD+DF=BD+DP，证出AD=BD，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBA=∠ABC=30°，
∴∠A=∠DBA，
∴AD=BD，
∵DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴CE=AB=BE，
∴△BCE是等边三角形；
（2）证明：∵△BCE与△MNB都是等边三角形，
∴BC=BE，BM=BN，∠EBC=∠MBN=60°，
∴∠CBM=∠EBN，
在△CBM和△EBN中，
∴△CBM≌△EBN（SAS），
∴∠BEN=∠BCM=60°，
∴∠BEN=∠EBC，
∴EN∥BC；
（3）解：DQ=AD+DP；理由如下：
延长BD至F，使DF=PD，连接PF，如图所示：

∵∠PDF=∠BDC=∠A+∠DBA=30°+30°=60°，
∴△PDF为等边三角形，
∴PF=PD=DF，∠F=60°，
∵∠PDQ=90°-∠A=60°，
∴∠F=∠PDQ=60°，
∴∠BDQ=180°-∠BDC-∠PDQ=60°，
∴∠BPQ=∠BDQ=60°，
∴∠Q=∠PBF，
在△PFB和△PDQ中，

∴△PFB≌△PDQ，
∴DQ=BF=BD+DF=BD+DP，
∵∠A=∠ABD，
∴AD=BD，
∴DQ=AD+DP．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要通过作辅助线证明等边三角形和三角形全等才能得出结论．