2023-2024学年吉林省长春市经开区八年级下学期期末数学试题及答案

这是一份2023-2024学年吉林省长春市经开区八年级下学期期末数学试题及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x≠2C．x≠0D．x≠﹣2
2．（3分）四月的长春，繁花盛开，春意满满，伊通河樱花岛成为一道迷人的风景线．已知每片樱花重约0.000018克，数据0.000018用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×10﹣6B．1.8×10﹣5C．18×10﹣6D．0.18×10﹣5
3．（3分）点（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，﹣2）D．（2，﹣1）
4．（3分）将直线y＝2x+4向下平移3个单位长度后得到的函数解析式是（ ）
A．y＝5x﹣7B．y＝2x+7C．y＝﹣x﹣1D．y＝2x+1
5．（3分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则点B的对应点D的坐标为（ ）
A．（3，3）B．（1，4）C．（3，1）D．（4，1）
6．（3分）如图，△ACP∽△ABC，若∠A＝100°，∠ACP＝20°，则∠PCB的度数是（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，延长BC至点F，使得BC＝2CF，连接AF交CD于点E．若CE＝2，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．12B．16C．20D．24
8．（3分）如图，直线AB经过原点O，交反比例函数y＝的图象于A、B两点，点C在x轴负半轴上，BC＝AB．若S△ABC＝12，则k的值为（ ）
A．6B．﹣6C．12D．﹣12
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）计算：＝ ．
10．（3分）已知，则的值为 ．
11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
12．（3分）某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了600个充电桩．设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程为 ．
13．（3分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝14m，则树高PQ＝ m．
14．（3分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，连结DE并延长交边BC于点M，交边AB的延长线于点G，过点E作EF⊥AB于点F．若AF＝3，FB＝2，则线段BG的长度是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）解下列方程：
（1）x2﹣4x＝0；
（2）x（2x+1）＝1．
16．（6分）先化简，再求值：，其中 ．
17．（6分）2024年3月1日起，交通运输部新修订的《快递市场管理办法》正式施行．新规出台是对快递市场的一次重要整领，引领着快递行业向着更加规范、有序的方向发展．快递新规施行后，某快递员现在平均每天的派件量比新规施行前减少200件．现在派1500件的所需时间与新规施行前派2000件的所需时间相同，求该快递员现在平均每天的派件量．
18．（7分）如图，在▱ABCD中，点E为BC边上一点，连结AE：点F为线段AE上一点，且∠DFE＝∠C．求证：△ADF∽△EAB．
19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A、B．两点，与x轴交于点C，点A、B的坐标分别为（3，1）和（﹣1，n）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）△AOB的面积为 ．
20．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中，在△ABC的边BC上找一点D，连结AD，使△BAD∽△BCA；
（2）在图②中，在△ABC的边AB上找一点P，在边BC上找一点Q，连结PQ，使△BPQ∽△BAC，且相似比为1：2；
（3）在图③中，在△ABC的边BC上找一点E，连结AE，使S△ABE＝2S△ACE•
21．（8分）一条笔直的路上依次有M、P、N三地，其中M、N两地相距1000米．甲机器人从M地出发到N地，乙机器人从N地出发到M地，甲、乙两机器人同时出发，匀速而行．图中线段OA、BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．
（1）甲机器人的速度为 米/分钟；
（2）求乙机器人离M地的距离y与行走时间x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）甲机器人到达P地后，再经过1分钟乙机器人也到达P地，求P、M两地间的距离．
22．（9分）在探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝2x+|﹣3x+6|+m的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）写出函数关系式中m及表格中a、b的值：m＝ ，a＝ ，b＝ ；
（2）①根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
②当x＝ 时，函数取得最小值为 ；
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的图象，直接写出不等式的解集．
23．（10分）【知识回顾】
我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【定理证明】
将下列的定理证明过程补充完整：
已知：如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点．
求证：DE∥BC，．
证明：
【定理应用】
（1）如图②，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点E，点F是DE的中点，若AB＝8，AD＝6，则OF＝ ；
（2）如图③，将矩形ABCD的边AD绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到线段AD′，连结BD'，点E，F分别是AD'和BD'的中点，连结DE，DF，EF，已知AB＝8，BC＝4，则△DEF的面积的最大值为 ．
24．（12分）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝15，AB＝9，动点D从点C出发沿CA以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，同时动点E从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向终点B运动．设点D运动的时间是t秒（0＜t＜3）．过点D作DF⊥BC于点F，连结DE、EF．
（1）AE＝ ，AD＝ ；（用含t的代数式表示）
（2）当四边形AEFD是菱形时，t的值为 ；
（3）当DE垂直于△ABC的一边时，求t的值；
（4）如图②，将△DEA沿DE翻折，点A的对应点为点A'，直接写出点A'在△ABC外部时t的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x≠2C．x≠0D．x≠﹣2
【分析】分式有意义时，分母x﹣2≠0，由此求得x的取值范围．
【解答】解：依题意得：x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：B．
2．（3分）四月的长春，繁花盛开，春意满满，伊通河樱花岛成为一道迷人的风景线．已知每片樱花重约0.000018克，数据0.000018用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×10﹣6B．1.8×10﹣5C．18×10﹣6D．0.18×10﹣5
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
【解答】解：0.000018＝1.5×10﹣5，
故选：B．
3．（3分）点（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，﹣2）D．（2，﹣1）
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：点（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2），
故选：C．
4．（3分）将直线y＝2x+4向下平移3个单位长度后得到的函数解析式是（ ）
A．y＝5x﹣7B．y＝2x+7C．y＝﹣x﹣1D．y＝2x+1
【分析】根据函数的平移规律，可得答案．
【解答】解：将直线y＝2x+4向下平移3个单位，得y＝2x+4﹣3，即y＝2x+1，
故选：D．
5．（3分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则点B的对应点D的坐标为（ ）
A．（3，3）B．（1，4）C．（3，1）D．（4，1）
【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比，进而得出D点坐标．
【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），
以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴点D的横坐标和纵坐标都变为B点的一半，
∴点D的坐标为：（4，1）．
故选：D．
6．（3分）如图，△ACP∽△ABC，若∠A＝100°，∠ACP＝20°，则∠PCB的度数是（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【分析】由三角形内角和定理得到∠APC＝180°﹣100°﹣20°＝60°，由相似三角形的性质推出∠ACB＝∠APC＝60°，进而得出∠PCB．
【解答】解：∵∠A＝100°，∠ACP＝20°，
∴∠APC＝180°﹣100°﹣20°＝60°，
∵△ACP∽△ABC，
∴∠ACB＝∠APC＝60°，
∴∠PCB＝∠ACB﹣∠ACP＝60°﹣20°＝40°，
故选：C．
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，延长BC至点F，使得BC＝2CF，连接AF交CD于点E．若CE＝2，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．12B．16C．20D．24
【分析】先由菱形的性质得出AD∥CF，AD＝AB＝BC＝CD，证明△ADE∽△FCE，结合BC＝2CF，CE＝2，代入化简，即可作答．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥CF，AD＝AB＝BC＝CD，
∴△ADE∽△FCE，
∴，
即，
∵BC＝2CF，CE＝2，
∴，
则DE＝4，CD＝2+4＝6，
即6×4＝24．
∴菱形ABCD的周长为24．
故选：D．
8．（3分）如图，直线AB经过原点O，交反比例函数y＝的图象于A、B两点，点C在x轴负半轴上，BC＝AB．若S△ABC＝12，则k的值为（ ）
A．6B．﹣6C．12D．﹣12
【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，根据题意得到OA＝OB，OE＝CE，即可得到S△OBE＝S△BCO＝S△ABC＝3，利用反比例函数系数k的几何意义，即可求得k的值．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∵点A、B在反比例函数的图象上，直线AB经过原点，
∴OA＝OB＝AB，
∵，S△BCA＝12，
∴OB＝BC，S△BCO＝S△BCA＝6，
∵BE⊥OC，
∴OE＝CE，
∴S△OBE＝S△BCO＝3，
∵BE⊥x轴于E，
∴S△OBE＝|k|，
∴|k|＝6，
∵k＜0，
∴k＝﹣6．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）计算：＝ 10 ．
【分析】先计算乘方，再算加法．
【解答】解：原式＝1+
＝1+
＝1+9
＝10．
故答案为：10．
10．（3分）已知，则的值为 ．
【分析】根据已知条件得出n＝，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解答】解：，
∴n＝，
∴＝＝．
故答案为：．
11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜1 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，
解得：m＜1．
故答案为：m＜1．
12．（3分）某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了600个充电桩．设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程为 400（1+x）2＝600 ．
【分析】利用该市第三个月新建智能充电桩个数＝该市第一个月新建智能充电桩个数×（1+该市新建智能充电桩个数的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：400（1+x）2＝600．
故答案为：400（1+x）2＝600．
13．（3分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝14m，则树高PQ＝ 7 m．
【分析】根据题意可得△ABD∽△AQP，然后由相似三角形的性质，即可求解．
【解答】解：∵∠ABC和∠AQP均为直角，
∴BD∥PQ，
∴△ABD∽△AQP，
∴，
∵AB＝40cm＝0.4m，BD＝20cm＝0.2m，AQ＝14m，
∴．
故答案为：7．
14．（3分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，连结DE并延长交边BC于点M，交边AB的延长线于点G，过点E作EF⊥AB于点F．若AF＝3，FB＝2，则线段BG的长度是 2.5 ．
【分析】先根据已知条件求出AB，再根据正方形的性质证明∠EFB＝∠MBG，得到EF∥BC，再根据相似三角形的判定得到△AEF∽△ACB，求出的值，最后根据正方形的性质证明CD平行BC，从而证明△CDE∽△AGE，然后根据相似三角形的对应边成比例，列出关于BG的比例式，进行解答即可．
【解答】解：∵AF＝3，BF＝2，
∴AB＝AF+BF＝3+2＝5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，CD∥AB，AB＝CD＝5，
∵∠ABC+∠MBG＝180°，
∴∠MBG＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠EFB＝∠MBG＝90°，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ACB，
∴，
，
∴，
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△AGE，
∴，
，
，
10+2BG＝15，
2BG＝5，
BG＝2.5，
故答案为：2.5．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）解下列方程：
（1）x2﹣4x＝0；
（2）x（2x+1）＝1．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先移项得到x（2x+1）﹣1＝0，然后利用求解公式解方程．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
∴x＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝0，x2＝4；
（2）∵x（2x+1）＝1，
∴x（2x+1）﹣1＝0，
∴2x2+x﹣1＝0，
∴x＝
∴x＝，
∴x1＝﹣1，x2＝．
16．（6分）先化简，再求值：，其中 ．
【分析】利用分式的相应的运算法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：（）•
＝
＝，
当a＝时，
原式＝
＝．
17．（6分）2024年3月1日起，交通运输部新修订的《快递市场管理办法》正式施行．新规出台是对快递市场的一次重要整领，引领着快递行业向着更加规范、有序的方向发展．快递新规施行后，某快递员现在平均每天的派件量比新规施行前减少200件．现在派1500件的所需时间与新规施行前派2000件的所需时间相同，求该快递员现在平均每天的派件量．
【分析】设该快递员现在平均每天的派件量为x件，则该快递员新规施行前平均每天的派件量为（x+200）件，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合该快递员现在派1500件的所需时间与新规施行前派2000件的所需时间相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设该快递员现在平均每天的派件量为x件，则该快递员新规施行前平均每天的派件量为（x+200）件，
根据题意得：＝，
解得：x＝600，
经检验，x＝600是所列方程的解，且符合题意．
答：该快递员现在平均每天的派件量为600件．
18．（7分）如图，在▱ABCD中，点E为BC边上一点，连结AE：点F为线段AE上一点，且∠DFE＝∠C．求证：△ADF∽△EAB．
【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定解答即可．
【解答】证明：在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠DFE＝∠C，∠AFD+∠DFE＝180°，
∴∠B＝∠AFD，
∴△ADF∽△EAB．
19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A、B．两点，与x轴交于点C，点A、B的坐标分别为（3，1）和（﹣1，n）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）△AOB的面积为 ．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数y＝ax+b即可求出函数的解析式；
（2）求出C的坐标，求出△AOC和△BOC的面积，即可求出答案．
【解答】解：（1）把A（3，1）代入y＝的得：m＝3×1＝3，
∴y＝，
∵B（﹣1，n）代入n＝得：n＝﹣3，
∴B的坐标是（﹣1，﹣3），
把A、B的坐标代入一次函数y＝ax+b得，
解得：，
∴一次函数的解析式是y＝x﹣2；
（2）把y＝0代入一次函数的解析式是y＝x﹣2；得x﹣2＝0，
解得x＝2，
∴C（2，0），
∴S△AOB＝SAOC+S△BOC＝×2×1+×2×3＝4．
20．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中，在△ABC的边BC上找一点D，连结AD，使△BAD∽△BCA；
（2）在图②中，在△ABC的边AB上找一点P，在边BC上找一点Q，连结PQ，使△BPQ∽△BAC，且相似比为1：2；
（3）在图③中，在△ABC的边BC上找一点E，连结AE，使S△ABE＝2S△ACE•
【分析】（1）在A＝BC上取一点D，使得AD⊥BC即可；
（2）取AB的中点P，取格点T，连接PT交BC于点Q，线段PQ即为所求；
（3）取格点P，Q，连接PQ交BC于点E，连接AE即可．
【解答】解：（1）如图①中，线段AD即为所求；
（2）如图2中，线段PQ即为所求；
（3）如图③中，点E即为所求．
21．（8分）一条笔直的路上依次有M、P、N三地，其中M、N两地相距1000米．甲机器人从M地出发到N地，乙机器人从N地出发到M地，甲、乙两机器人同时出发，匀速而行．图中线段OA、BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．
（1）甲机器人的速度为 200 米/分钟；
（2）求乙机器人离M地的距离y与行走时间x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）甲机器人到达P地后，再经过1分钟乙机器人也到达P地，求P、M两地间的距离．
【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”可得答案；
（2）利用待定系数法，将（5，1000）代入解析式中，求出答案；
（3）设甲到P地时间为x分钟，乙到P地时间为（x+1）分钟，分别求出两机器人到P地时，与M的距离，列出方程，解出答案．
【解答】解：（1）由图象可知，甲机器人的速度为：1000÷5＝200（米/分钟），
故答案为：200；
（2）由图象可知，BC所在直线为一次函数，
∴设y＝kx+b，
∵B（0，1000），C（10，0），
∴，
解得，
∴BC所在直线的表达式为y＝﹣100x+1000（0＜x≤10）；
（3）设甲机器人行走x分钟时到P地，P地与M地距离为200x米，
则乙机器人（x+1）分钟后到P地，P地与M地距离[1000﹣100（x+1）]米，
由200x＝1000﹣100（x+1），
解得x＝3，
∴200x＝600，
答：P，M两地间的距离为600米．
22．（9分）在探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝2x+|﹣3x+6|+m的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）写出函数关系式中m及表格中a、b的值：m＝ ﹣10 ，a＝ ﹣5 ，b＝ 4 ；
（2）①根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
②当x＝ 2 时，函数取得最小值为 ﹣6 ；
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的图象，直接写出不等式的解集．
【分析】（1）代入一对x、y的值即可求得m的值，然后代入x＝1求a值，代入x＝4求b值即可；
（2）利用描点作图法作出图象并写出最值即可；
（3）根据图象求出即可．
【解答】解：（1）将（﹣2，﹣2）代入y＝2x+|﹣3x+6|+m得：
﹣2＝2×（﹣2）+丨﹣3×（﹣2）+6丨+m，
解得：m＝﹣10，
∴y＝2x+|﹣3x+6|﹣10，
当x＝1时，a＝2+3﹣10＝﹣5，
当x＝4时，b＝8+6﹣10＝4，
故答案为：﹣10，﹣5，4．
（2）图象如图，
根据图象可知当x＝2时函数有最小值y＝﹣6；
故答案为：2；﹣6．
（3）根据当y＝2x+|﹣3x+6|﹣10的函数图象在函数y＝的图象上方时，不等式x+|﹣2x+6|﹣2＞成立，
∴x＜0或x＞4．
23．（10分）【知识回顾】
我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【定理证明】
将下列的定理证明过程补充完整：
已知：如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点．
求证：DE∥BC，．
证明：
【定理应用】
（1）如图②，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点E，点F是DE的中点，若AB＝8，AD＝6，则OF＝ 1 ；
（2）如图③，将矩形ABCD的边AD绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到线段AD′，连结BD'，点E，F分别是AD'和BD'的中点，连结DE，DF，EF，已知AB＝8，BC＝4，则△DEF的面积的最大值为 12 ．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，得到∠CDE＝∠AED，根据角平分线的定义得到∠CDE＝∠ADE，求得∠ADE＝∠AED，得到AE＝AD＝6，得到EB＝AB﹣AE＝8﹣6＝2，根据三角形中位线定理得到FO＝EB＝1；
（2）根据三角形中位线定理得到EF＝AB＝4，EF∥AB，由△DEF的面积＝点D到EF的距离＝2×点D到EF的距离，得到当点D到EF的距离最大时，△DEF的面积有最大值，求得将线段BC绕点B旋转180°时，点D到EF的距离最大，即为AB+AE，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，
∴∠CDE＝∠AED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝6，
∵CD＝8，
∴AB＝8，
∴EB＝AB﹣AE＝8﹣6＝2，
∵F是ED的中点，O是BD的中点，
∴FO是△DEB的中位线，
∴FO＝EB＝1，
故答案为：1；
（2）∵点E，F分别是AD'和BD'的中点，
∴EF＝AB＝4，EF∥AB，
∵△DEF的面积＝点D到EF的距离＝2×点D到EF的距离，
∴当点D到EF的距离最大时，△DEF的面积有最大值，
∴将线段BC绕点B旋转180°时，点D到EF的距离最大，即为AB+AE，
如图，
∴△DEF的面积的最大值为＝12，
故答案为：12．
24．（12分）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝15，AB＝9，动点D从点C出发沿CA以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，同时动点E从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向终点B运动．设点D运动的时间是t秒（0＜t＜3）．过点D作DF⊥BC于点F，连结DE、EF．
（1）AE＝ 3t ，AD＝ 15﹣5t ；（用含t的代数式表示）
（2）当四边形AEFD是菱形时，t的值为 ；
（3）当DE垂直于△ABC的一边时，求t的值；
（4）如图②，将△DEA沿DE翻折，点A的对应点为点A'，直接写出点A'在△ABC外部时t的取值范围．
【分析】解：（1）先根据动点意义用含t的代数式表示出CD，AE，再用AC减去CD即可求出AD；
（2）根据菱形的性质得到AE＝AD，列出关于t的方程，解方程即可求出结果；
（3）分DE⊥AE，DE⊥AC两种情况进行讨论，根据相似三角形的判定与性质列出关于t的方程即可求出每种情况下的t值；
（4）当∠AED或∠ADE是钝角时将△DEA沿DE翻折，点A的对应点A'在△ABC外部，然后看t值在什么范围时这两个角是钝角即可求出将△DEA沿DE翻折，点A的对应点A'在△ABC外部时t的取值范围．
【解答】解：（1）∵动点D从点C出发沿CA以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t秒，
∴CD＝5t，
又∵AC＝15，
∴AD＝15﹣5t，
∵动点E从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，运动时间为t秒，
∴AE＝3t．
故答案为：3t；15﹣5t；
（2）当四边形AEFD是菱形时，AE＝AD，
∴3t＝15﹣5t，
∴t＝，
故答案为：；
（3）当DE⊥AE时，DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
即，
解得：t＝，
当DE⊥AC时，∠ADE＝∠B＝90°，∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
即，
解得：t＝．
∴t的值为或；
（4）当0＜t＜时，∠AED是钝角，此时将△DEA沿DE翻折，点A的对应点A'在△ABC外部，
当＜t＜3时，∠ADE是钝角，此时将△DEA沿DE翻折，点A的对应点A'在△ABC外部，
∴将△DEA沿DE翻折，点A的对应点A'在△ABC外部时t的取值范围为0＜t＜或当＜t＜3．x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
﹣2
﹣3
﹣4
a
﹣6
﹣1
b
9
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
﹣2
﹣3
﹣4
a
﹣6
﹣1
b
9
…