解析：湖南省长沙市周南中学2025届高三上学期11 月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份解析：湖南省长沙市周南中学2025届高三上学期11 月期中考试数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，考试结束后， 将答题卡上交等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上， 并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答： 每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答： 用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内， 写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后， 将答题卡上交.
一、单选题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只 有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合.若，则实数的取值集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用集合的基本运算及集合中元素的互异性可确定选项.
【详解】由及集合中元素的互异性可得或，故实数的取值集合为.
故选：A.
2. 复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的模长公式和复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论.
【详解】因为，则，
因此，复数的共轭复数在复平面对应的点位于第四象限.
故选：D.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式可知，由可推出，由得到可能没有意义，由此可确定选项.
【详解】由得，此时与同号，或，均满足.
由得，可能，此时 没有意义.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知函数 的定义域为 ，设 的导函数是 ，且恒成立， 则（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题设不等式特点，设，判断的单调性，利用函数的单调性，可得，即得，即可判断.
【详解】设 则 ，
故 y=gx 在定义域上增函数，
于是 即 ，
即有，故得 .
故选:C.
5. 已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（ ）
A. 2B. 0
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量的概念可求得，利用向量垂直数量积为可求得的值.
【详解】由题意得，，则.
∵，
∴，即，
∴，解得.
故选：C.
6. 已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线交 于 两点， 在第一象限，若以 为直径的圆经过(0,2)，则 的面积为（ ）
A. B.
C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据焦点可得，即可根据圆心到轴距离以及圆的半径可得圆与与相切，即可求解，可得，联立直线方程与抛物线方程得韦达定理，即可根据焦点弦公式以及点到直线距离求解面积.
【详解】由题意知 ，解得 ，所以抛物线 ，
设 坐标为 ,
又抛物线的焦半径可知,故圆的半径为
故以为直径的圆的圆心圆心到轴的距离为
以为直径的圆的与相切，且切点为(0,2)，故因此，故 ，
直线 为 ，
联立 ，消去 得， ，所以 ，
. O 到直线 AB 的距离 ，
所以 的面积为
故选：B
7. 已知数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列 为等比数列B. 数列 为等比数列
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数列递推式消去通项，得，推得等比数列，利用等比数列定义判断数列，可见不是等比数列，排除B项，并判断D项正确；再由公式求出，验证数列的首项，排除A，C两项即得.
【详解】由 ，得 ，即 ，
又 ，
数列 是首项为 3，公比为 3 的等比数列，即 ，
，因不是常数，故数列 不是等比数列，即 D 正确，B 错误；
当 时， ，
又 时， ，
，数列 不是等比数列，故 A， C 均错误.
故选：D.
8. 已知可导函数 的定义域为， 为奇函数，设 是 的导函数， 若 为奇函数，且 ，则（ ）
A. -1012B. -506
C. 506D. 1012
【答案】D
【解析】
【分析】由fx-1为奇函数得出，然后求导得出，得出对称轴. gx+1 为奇函数得出对称中心，取求出的值，结合前面两个等量关系得到，取特殊值求出的值，再由关系是推出周期为8，求出，的值，通过规律即可求出的值.
【详解】∵fx-1为奇函数，∴，∴两边求导得，
∵，可知关于直线对称，
又∵gx+1为奇函数，则，可知关于点1,0对称，
令，可得，即，
由可得，
由，可得，即，可得 ，即，
令，可得；
令，可得 ;
且，可知8为的周期，
可知，，，
所以
故选: D
【点睛】方法点睛：本题利用函数的奇偶性得到对称性，然后对函数自变量进行转化，求出几个特殊点（偶数）的函数值，利用周期性得到规律，然后求出的值.
二、多选题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项 符合题目要求.全部选对得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分.
9. 盒中有 3 个球， 其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球， 每次取 1 个， 不放回， 直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据概率乘法公式可得的分布列，即可求解,进而判断AB,利用方差和期望的性质即可求解CD.
【详解】 表示停止取球时没有取到黄球，所以 ，故 A 正确;
又随机变量 的所有可能取值为0，1，2，则 ，
，
故的分布列为
所以 ，故 B 正确;
由 ，故 C 错误;
，故 D 正确.
故选：ABD
10. 点在曲线上，点是点关于轴的对称点，点是点关于轴的对称点，点是点关于直线的对称点.设为坐标原点，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 点在曲线上
C. 为定值
D. 当且仅当点与点重合时，取最小值
【答案】ACD
【解析】
【分析】设点，由题意得出点坐标.由对称性得到互为相反向量判断A选项；由点的横纵坐标的关系判断B选项；由向量数量积为0得到垂直，从而知道三角形为等腰三角形得出角的大小；列出的解析式，求导后得出函数单调区，从而求出最小值.
【详解】点在曲线上，可设， 根据题意，， ，
又点是点关于直线的对称点，故.
对于A选项，点和点关于坐标原点对称，项正确；
对于B选项，根据确定曲线方程，设，得，B选项错误；
对于C选项，因为，且，故 ，
所以是等腰直角三角形，故，C选项正确；
对于D选项，，，则，
∴在0,1单调递减，在1,+∞单调递增，
∴当且仅当时，取最小值，即点与点重合，D选项正确.
故选：ACD.
11. 设直线 两两垂直，且三条直线与平面 所成角如下表所示：
注： 夹角为 0 表示相应直线和平面平行.则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 和 互余D. 和 互补
【答案】CD
【解析】
【分析】根据题目所给条件可在空间直角坐标系中研究问题，利用线面角公式可取各个平面的一个法向量，计算其余各角的大小.
【详解】设空间直角坐标系中，直线对应的方向向量分别为,平面的法向量分别为.
不妨设直线方向向量与法向量的夹角，由题意得，
，
两式相除得 ，可取，同理可取，
所以，
所以.
故选： CD.
【点睛】思路点睛：本题考查空间向量解决线面角问题，具体思路如下：
（1）根据所给条件把直线和平面放在空间直角坐标系中，设直线的方向向量和平面的法向量.
（2）利用题目中的已知角结合线面角公式可取各个平面的一个法向量.
（3）根据所取法向量和直线的方向向量求其他线面角的大小.
三、填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.
12. 函数的值域是 .
【答案】.
【解析】
【分析】设，，其中，将问题转化为在上的值域，得到，结合正弦函数的图象与性质，即可求解.
【详解】因为，，可设，，其中，
则函数的值域转化为关于的函数在上的值域问题，
又因为
，
由，所以，可得，
所以，
因此函数的值域是.
故答案为：.
13. 已知圆 ，点 在直线 上运动，以线段为直径的圆与圆相交于 两点，则直线 过定点______.
【答案】
【解析】
【分析】设点，表示出以为直径的圆的方程，与圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程，以此计算直线所过定点.
【详解】
由题意得，.设点 ，则圆的方程为 ，
即.
圆的方程可化为，两圆方程相减，
得直线的方程为，
直线的方程化为 .
由，得，
所以直线过定点 .
故答案为：.
14. 在棱长为 4的正四面体中，为其外接球的球心，过点 作平面使得 .若，则截正四面体所得截面的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据正四面体的对称性确定截面，分析计算截面三角形的底和高，利用公式求面积.
【详解】
如图，即为截面三角形，取中点，连接 ，，连接.
由对称性得，为等边的中心、重心， 三点共线，.
∵平面，平面，平面平面，
∴，分别为线段上靠近点的三等分点，.
在 中，，
由为的中心得平面，
∵平面，平面，∴，，
由题意得，，故，
∴面积为：.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：本题考查正四面体截面问题，具体思路如下：
（1）利用正四面体的对称性，确定截面三角形各个顶点的位置.
（2）利用线面平行的性质转线线平行，得到截面三角形为等腰三角形，计算等腰三角形的底和高，结合公式求面积.
四、解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分.解答过程应写出文字说明， 证明过程或演算 步骤.
15. 锐角 的三个内角是 ，满足 ， 的外接圆的圆心为 ，半径是 1 .
（1）求角 的大小及 的值；
（2）求 的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）先用二倍角的余弦值进行化简，进而结合正弦定理角化边利用余弦定理可求角值，从由圆周角定理可得，从而利用平面向量的数量即可求解；
（2）由可得，进而根据题意求取值范围，从而由的取值范围可得结果.
【小问1详解】
(1) 由 ，
得 ，
;
由正弦定理得 ，
即 ，又锐角 中， ，
，
由圆周角定理可得， ，
又，
.
【小问2详解】
.
是锐角三角形，
，
，又在上单调递减，
所以，即.
故 的取值范围是 .
16. 已知函数 ，设 表示 的最大值，记 .
（1）讨论 在 上的单调性；
（2）当 x>0 时， ，求 的取值范围.
【答案】（1）在 上单调递减，在 上单调递增
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，即可根据导数的正负，结合三角函数的性质求解，
（2）将问题转化为在0,π上恒成立.，进一步转化为，构造，利用导数求解即可.
【小问1详解】
，
，
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