解析：广西壮族自治区点 南宁市银海三雅学校2024-2025学年九年级上学期数学期中试卷（解析版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上．
2、考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 下列实数中，最小的数是（ ）
A. B. 2C. 0D. π
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查实数大小比较，先将4个数进行大小比较，再取最小的数即可．
【详解】解：，
故最小的数是．
故选：A．
2. 巴黎奥运会后，受到奥运健儿的感召，全民健身再次成为了一种时尚，球场上出现了更多年轻人的身影．下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形，根据一个图形绕一点旋转180度，能与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形，进行判断即可．
【详解】解：观察图形，只有选项C的图形能够找到一个点，使图形旋转180度，能与自身完全重合，是中心对称图形；
故选C．
3. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（ ）
A. 点P在圆外B. 点P在圆上C. 点P在圆内D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径大小比较即可求解，掌握点和圆的位置关系的判断方法是解题的关键．根据时，点在圆内可得答案．
【详解】解：∵的半径为，，
∴，
∴点在圆内，
故选：C．
4. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A 下个月，南宁将下一场雨B. 三角形任意两边之和大于第三边
C. 圆直径平分任意一条弦D. 同位角相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：、下个月，南宁将下一场雨是随机事件，故本选项不符合题意；
、三角形任意两边之和大于第三边是必然事件，故本选项符合题意；
、只有当弦是直径或垂直于弦时，圆的直径才平分此弦，故不是必然事件，故本选项不符合题意；
、只有当两直线平行时，同位角才相等，故不是必然事件，故本选项不符合题意；
故选：．
5. 如图，在中，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆心角，弧，弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，由此即可得到答案．
【详解】解：，，
．
故选：D．
6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. 4D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【详解】∵方程有两个相等的实数根，，
∴，
∴，
解得．
故选C．
7. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线顶点式直接得到顶点坐标．
【详解】解：∵抛物线顶点式为，
∴顶点坐标是．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是掌握二次函数顶点式的性质．
8. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查同底数幂的除法、二次根式的加减、幂的乘方、完全平方公式的运算，解题的关键是熟知运算法则．
【详解】解：A、 ，计算正确；
B、不能合并，原计算错误；
C、，原计算错误；
D、，原计算错误；
故选A．
9. 将抛物线向右平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的平移，掌握“自变量左加右减，函数值上加下减”的规律是解题关键．根据向右平移2个单位，自变量减2，即可得到答案．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，所得抛物线的表达式为，
故选：D．
10. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得门高（x-2）尺、宽（x-4）尺，长为对角线x尺，根据勾股定理可得方程．
【详解】解：设门对角线的长为x尺，由题意得：
（x-2）2+（x-4）2=x2，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
11. 如图，中，，，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ）
A. 4B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质和勾股定理等知识，由旋转的性质得出、的长度，利用勾股定理即可得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵绕点B逆时针旋转得，
∴，，，
∴，
∴，
故选：B．
12. 在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用解不等式组可得且a>0，即可判断二次函数的对称轴位置，再利用函数的增减性判断即可解题．
【详解】解不等式组可得:，且a>0
所以对称轴的取值范围在，
由对称轴位置可知到对称轴的距离最近的是，其次是，最远的是，
即根据增减性可得，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，求不等组的解集，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 比较大小：______2．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数大小的比较，对于含有算术平方根的两个实数大小的比较，先比较两个被开方数的大小，则被开方数大的其算术平方根也大；或者先比较这两个数的平方，则平方数大的这个数也大．根据实数比较大小的方法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
故答案为：．
14. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分解因式，直接提取公因式即可．
【详解】，
故答案为：．
15. 某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
则估计这种绿豆发芽的概率为______（精确到0.01）
【答案】0.93
【解析】
【分析】当试验次数足够大时，发芽的频率逐渐稳定并趋于某一个值，这个值作为概率的估计值．
【详解】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.93左右，所以可估计这种绿豆发芽的机会大约是0.93．
故答案为：0.93．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
16. 如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则___________

【答案】55
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先由垂径定理得到，由得到，故．
【详解】解：∵直径平分弦，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为______．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积，正确表示花窗的面积是解题的关键；根据花窗的面积为求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∵点C，D分别是的中点，
，
，
∴花窗的面积为，
故答案为：．
18. 如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为________．
【答案】60
【解析】
【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
过点作，，
则：，
∵，且，
∴，
∴四边形的面积，
∵，
∴，
设，则：，
由勾股定理，得：，
∴，
解：，
∴，
∴，
∴四边形的面积为60．
故答案为：60．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先计算乘方和括号内的运算，再计算乘法，最后计算减法即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
20. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键；先求出，再直接开平方求解即可．
【详解】解：，
，
，
．
21. 如图，在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为，，．
（1）将沿水平方向向左平移4个单位得，请画出，并直接写出的坐标；
（2）画出关于原点成中心对称的，并直接写出的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图旋转变换，作图平移变换，根据题意作出各点在几何变换下的对应点是解答此题的关键．
（1）依据沿水平方向向左平移4个单位得△，即可画出△；
（2）依据中心对称的性质，即可得到关于原点成中心对称的△；据图得出的坐标即可．
【小问1详解】
解：如图1，△即为所求；
【小问2详解】
解：如图，△即为所求；
点的坐标是．
22. 在“重走建军路，致敬新四军”红色研学活动中，学校建议同学们利用周末时间自主到以下三个基地开展研学活动：A．新四军纪念馆（主馆区）；B．新四军重建军部旧址（泰山庙）；C．新四军重建军部纪念塔（大铜马）．小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站．
（1）小明选择基地A的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择不同基地的概率．
【答案】（1）
（2）23
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接根据概率公式可得出答案；
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小丽选择不同基地的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：小明选择基地A的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小丽选择到不相同基地的结果有6种，
∴小明和小丽选择不同基地的概率为．
23. 如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，交于点F．连接并延长交于点E，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，则的半径是 ．
【答案】（1）证明见解析
（2）2
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，等边对等角，勾股定理，
（1）如图，连接，根据等边对等角得到，则可证明，再证明，即可证明，进而可证明是的切线；
（2）根据得到，再由，在利用勾股定理建立方程求出半径即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
，即的半径是2.
24. 某公园有一个喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜着喷出水柱，经过测量水柱在不同位置到水管的水平距离米和对应的竖直高度米，将数据整理如下表：

（1）根据表格数据，在如下坐标系中描点、连线；判断与之间满足我们学过的哪类函数关系，并求与之间的函数表达式；

（2）此喷水管可以上下调节，喷出的水柱形状不变且随之上下平移，若调节后的落水点（水落到地面的位置）向左平移了1米，求喷水管需要向下平移多少米？
【答案】（1）画图见解析，y与x满足二次函数关系，抛物线的表达式为
（2）喷水管需要向下平移米
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，涉及求二次函数解析式，二次函数作图，二次函数的平移，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法．
（1）先描点，然后连线，作出函数图象；用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出原抛物线的落水点为，根据题意得出新抛物线的落水点为，设喷水管需要向下平移h米，得出新抛物线的表达式为，将代入求出结果即可．
【小问1详解】
解：描点，连线如图：

猜想y与x满足二次函数关系；
观察图象可知，顶点坐标为，
设y与x之间的函数表达式为，
将代入，得，解得：，
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：令，得，解得：，
∴原抛物线的落水点为，
∴新抛物线的落水点为，即，
设喷水管需要向下平移h米，
则新抛物线的表达式为，
将代入得，
解得：，
答：喷水管需要向下平移米．
25. 定义：如图，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．特例感知：在图，图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．

（1）如图，当为等边三角形时，与的数量关系为___；
（2）如图，当，时，的长为______，猜想论证；
（3）在图中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给出证明过程．
【答案】（1）；
（2），猜想论证见解析；
（3），证明见解析．
【解析】
【分析】（）首先证明是含有是直角三角形，可得即可解决问题；
（）首先证明，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；
（）延长至点使得，连接、，证明四边形是平行四边形，根据性质得，，由，则，所以，从而证明即可求解．
【小问1详解】
∵是等边三角形，
∴，
∵是“旋补三角形”，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
∵是的“旋补三角形”，
∴，，，
在和中，
∴，
∴，
∵，是的“旋补中线”，
∴，
故答案为：；
【小问3详解】
猜想：，
证明：如图，延长至点使得，连接、，

∵是的中线，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
26. 阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
任务：
（1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_______．
（2）如图③，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）如图④，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】（1）240 （2），见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和为；
（2）连接，，通过全等很容易证出；
（3）作、、的垂直平分线，在圆内线上取一点或者圆外取一点都行，切记不能取圆上，否则就是正六边形了．
小问1详解】
解：∵六边形内角和为，且，，
∴等边半正六边形相邻两个内角的和为，
故答案为：240；
【小问2详解】
解：．
理由如下：连接，．
六边形是等边半正六边形．
，．
．
．
在与中，
，
．
；
【小问3详解】
解：如图，六边形即为所求（答案不唯一）．
作法一：作法二：．
【点睛】本题主要考查圆综合题，以等边半正六边形为背景，理解题意以及掌握圆和多边形的相关性质是解题关键．每批粒数n
10
50
100
500
1000
1500
2000
3000
4000
5000
发芽的频数m
9
44
92
461
928
1396
1866
2794
3728
4646
发芽的频率（精确到0.001
0.900
0.880
0.920
0.926
0.928
0.931
0.933
0.931
0.932
0929
A
B
C
A
(A,A)
(B,A)
(C,A)
B
(A,B)
(B,B)
(C,B)
C
(A,C)
(B,C)
(C,C)
水平距离（米）
0
1
2
3
4
5
6
7
竖直距离（米）
5
关于“等边半正多边形”的研究报告
博学小组
研究对象：等边半正多边形
研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究．
研究方法：观察（测量、实验）—猜想—推理证明
研究内容：
【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图①，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形……
【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：
概念理解：如图②，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且．
性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：
内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为 ▲ °．
对角线：……