2021-2022学年陕西省渭南市华州区咸林中学高二下学期期中数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年陕西省渭南市华州区咸林中学高二下学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．是虚数单位，则的虚部是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由复数的除法运算，先化简，再由复数的概念，即可得出结果.

【详解】因为，

所以其虚部为.

故选B

【点睛】本题主要考查复数的运算、以及复数的概念，熟记复数的运算法则以及复数概念即可，属于常考题型.

2．反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：

①，这与三角形内角和为180°相矛盾，不成立；

②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角中有两个直角，不妨设；正确顺序的序号为（       ）

A．①②③ B．③①② C．①③② D．②③①

【答案】B

【分析】反证法的步骤为：假设结论不成立，推导出矛盾，得到结论，据此得到答案.

【详解】反证法的步骤为：假设结论不成立，推导出矛盾，得到结论，据此知顺序为③①②.

故选：.

【点睛】本题考查了反证法的步骤，意在考查学生对于反证法的理解和掌握.

3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)

A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确

【答案】C

【分析】不是正弦函数，故小前提错误.

【详解】因为不是正弦函数,所以小前提不正确. 故选C.

【点睛】演绎推理包含大前提、小前提和结论，只有大前提、小前提都正确时，我们得到的结论才是正确的，注意小前提是蕴含在大前提中的.

4．已知x，y的取值如下表所示：

如果与呈线性相关，且线性回归方程为，则等于（　　）A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出、的值，将点的坐标代入回归直线方程，即可求得实数的值.

【详解】由表格中的数据可得，，

将点的坐标代入回归直线方程得，解得.

故选：B.

5．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据程序框图，逐步执行，即可得出结果.

【详解】初始值，

第一步：，进入循环；

第二步：，进入循环；

第三步：，进入循环；

第四步：，结束循环，输出.

故选C

【点睛】本题主要考查程序框图，只需分析框图的作用，逐步执行即可，属于常考题型.

6．在极坐标系中，圆ρ=－2sinθ的圆心的极坐标是

A．（0，－1） B．（1，－） C．（0，1） D．（1，）

【答案】B

【详解】将方程ρ=−2sinθ两边都乘以ρ，

 圆的方程可化为ρ2=−2ρsinθ，

由y=ρsinθ，x=ρcosθ，

得x2+y2=−2y,即x2+(y+1)2=1,圆心为(0,−1)，

∴圆心的极坐标(1,−).

故选B.

7．下列有关样本相关系数说法不正确的是（       ）

A．，且越接近1，相关程度越大

B．，且越接近0，相关程度越小

C．，且越接近1，相关程度越大

D．相关系数用来衡量变量x与y的线性相关程度

【答案】A

【分析】根据相关系数的定义和性质判断.

【详解】由相关系数的定义可得，A错，

由相关系数的性质可得：

当越接近0，相关程度越小，B对，

越接近1，相关程度越大，C对，

相关系数与x与y的线性相关程度有关，D对，

故选：A.

8．已知直线的参数方程为（为参数），则直线上与点的距离等于的点的坐标是（       ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】假设所求的点坐标为，然后利用两点之间的距离公式计算可得结果.

【详解】设所求的点坐标为

则

所以

当时，所求点为

当时，所求点为

故选：C

9．已知某药店只有，，三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，若甲、乙买品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为（       ）

A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.26

【答案】C

【解析】甲、乙两人买相同品牌的N95口罩，可分为三种情况，即甲、乙两人都买品牌或品牌或品牌的N95口罩，利用独立事件的概率公式，分别求出这三种情况对应的概率，再利用互斥事件的概率公式，即可得结果．

【详解】由题意，得甲、乙两人买品牌口罩的概率都是0.3，所以甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为．

故选：C．

【点睛】方法点睛：利用相互独立事件的概率求复杂事件概率的解题思路：（1）把待求事件拆分成若干个彼此互斥的简单事件的和；（2）将彼此互斥的简单事件转化为若干个已知（易求）概率的相互独立事件的积；（3）代入概率公式求解．

10．设曲线的参数方程为，直线的方程，则曲线上到直线的距离为的点的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】将圆C化为普通方程，计算圆心到直线l的距离，通过比较所求距离与的关系即可得到满足条件的点的个数．

【详解】化曲线C的参数方程为普通方程：，

圆心到直线的距离，

所以直线和圆相交，过圆心和l平行的直线和圆的2个交点符合要求，

与l平行且与圆相切的直线和圆的一个交点符合要求，故有3个点符合题意，

故选C

【点睛】解决这类问题首先把曲线C的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系得出结论．

11．为迎接学校的文艺汇演，某班准备编排一个小品，需要甲、乙、丙、丁四位同学扮演老师、家长、学生、快递员四个角色，他们都能扮演其中任意一个角色，下面是他们选择角色的一些信息：①甲和丙均不扮演快递员，也不扮演家长；②乙不扮演家长；③如果甲不扮演学生，那么丁就不扮演家长．若这些信息都是正确的，由此推断丙同学选择扮演的角色是（       ）

A．老师 B．家长 C．学生 D．快递员

【答案】A

【分析】结合题意以及相关信息，先确定四位同学所扮演的角色，然后对其中每一种情况讨论，看是否满足题意即可得到正确结论.

【详解】因为甲和丙均不扮演快递员，也不扮演家长，乙不扮演家长，因此丁一定扮演家长．

如果甲不扮演学生，那么丁就不扮演家长，即丁扮演家长，甲就扮演学生，

又每人扮演一个角色，每个角色由一个人扮演，丙不扮演快递员，因此丙同学选择扮演的角色是老师.

故选：A

【点睛】本题主要考查了合情推理知识，考查推理能力，属于基础题.

12．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“”代表无限次重复，设，则可以利用方程求得，类似地可得到正数（       ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】A

【解析】设，则，解方程可得结果.

【详解】设，则且，

所以，所以，

所以，所以或（舍）.

所以.

故选：A

【点睛】关键点点睛：设是解题关键.

二、填空题

13．已知为虚数单位，实数，满足，则______.

【答案】

【解析】根据复数相等关系，建立方程，求出，即可求出结论.

【详解】由，得，

∴，，则.

故答案为：.

【点睛】本题考查复数相等的充要条件、复数的模长，属于基础题.

14．若,则的最小值为 ______________．

【答案】6

【详解】试题分析：，当且仅当即时等号成立，取得最小值6

【解析】不等式性质

15．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为______.

【答案】

【分析】根据得出规律，进而预计第10年树的分枝数.

【详解】因为，所以第到第年树的分枝数分别为：

故答案为：

16．已知是椭圆上任何一点，则的最大值为______.

【答案】

【分析】设，，利用辅助角公式可化简得到，由此可得的最大值.

【详解】在椭圆上，可设，，

（其中，），

当时，取得最大值.

故答案为：.

三、解答题

17．入夏以来，天气炎热，合肥地区用电负荷连创新高，某用户随机统计了家里某4天用电量（千瓦·时）与当天气温（℃）情况，数据如下表：

（1）请根据提供的数据，计算，，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；

（2）请估计当时的y值.

参考公式：，.

【答案】（1）；（2）41千瓦∙时.

【分析】（1）根据数据直接求出，，再根据，代入数据即可得解；

（2）将代入线性回归方程即可得解.

【详解】（1），

.

求得线性回归方程为：；

（2）当时，（千瓦∙时）

所以根据回归方程估计用41千瓦∙时.

【点睛】本题考查了线性回归方程，以及利用线性回归方程进行数据估计，考查了计算能力，属于基础题.

18．当实数m取何值时，在复平面内复数对应的点满足下列条件：

(1)在实轴上；

(2)z是纯虚数.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由虚部为得出的值；

（2）由纯虚数的定义得出的值.

【详解】(1)复数在复平面内的坐标为

因为复数对应的点在实轴上，所以，解得或

即或

(2)因为z是纯虚数，所以且，解得（舍）或

故

19．随着电子商务的发展，人们的购物习惯正在改变，基本上所有的需求都可以通过网络购物解决．小王是位网购达人，每次购买商品成功后都会对电商的商品和服务进行评价．现对其近年的200次成功交易进行评价统计，统计结果如下表所示．

（1）是否有的把握认为商品好评与服务好评有关? 请说明理由；

（2）现从这200次交易中，按照“对商品好评”和“对商品不满意”采用分层抽样取出5次交易，然后从这5次交易中任选两次进行观察，求这两次交易中恰有一次“对商品好评”的概率．

附：(其中）

【答案】（1）有的把握认为商品好评与服务好评有关.见解析（2）

【分析】(1) 根据表中数据，代入，求得，然后与临界表对照下结论.

(2) 根据表格得到“对商品的好评”的频率为，得到交易次数为3次， 不满意的次数为2次，这是一个古典概型，先得到从5次交易中任意取出2次的基本事件总数，再找出只有一次好评的基本事件数，代入公式求解.

【详解】(1) ，

所以有的把握认为商品好评与服务好评有关.

(2) 由表格可知“对商品的好评”的频率为，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，则好评的交易次数为3次， 不满意的次数为2次.

设好评的交易为， 不满意的交易，

 从5次交易中任意取出2次的所有取法为，， ， ， 共计10种情况，

其中只有一次好评的情况是，，，，，， 共计6种情况.   

因此， 恰有一次好评的概率为.

【点睛】本题主要考查独立性检验，古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

20．已知在极坐标系中，曲线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为：（t为参数）.

(1)求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

(2)设曲线与曲线交于A，B两点，求弦长.

【答案】(1)曲线的直角坐标方程为；曲线的普通方程为

(2)

【分析】（1）根据利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化即可；

（2）根据曲线与曲线的直角坐标方程联立求出两交点坐标，然后运用两点间的距离公式求解即可.

【详解】(1)对于曲线：，即：

， 代入上式得：

曲线的直角坐标方程为：

对于曲线：，消去参数，普通方程为：

(2)由（1）知：曲线：；曲线：

两式联立，得： 解得：或

，   

21．已知函数．

（1）求的解集；

（2）若，求的最小值．

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）由题意可得，然后去绝对值解出不等式即可；

（2）利用绝对值不等式的几何意义直接得结果．

【详解】（1）因为，，

所以，即或，

所以或，

所以不等式的解集为或．

（2）因为，所以；

因为，

所以的最小值为.

【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值不等式的几何意义，正确的理解绝对值不等式的几何意义很关键，属基础题．

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）若点P的极坐标为，过P的直线与曲线C交于A，B两点，求的最大值．

【答案】（1）

（2）

【分析】（1）先将中的消去得普通方程，再利用可得极坐标方程；

（2）先求出AB的参数方程，代入曲线C的普通方程，利用韦达定理及三角函数的性质可得的最大值.

【详解】解：（1）由，得，

即，所以，

即，故曲线C的极坐标方程为.

（2）因为P的极坐标为，所以P的直角坐标为，

故可设AB的参数方程为（为参数）.

将代入，得，

设点对应的参数分别为，

则，，

所以，

故的最大值为.

【点睛】本题考查普通方程，参数方程，极坐标方程之间的互化，考查直线参数方程中参数几何意义的应用，是中档题.