陕西省咸阳市礼泉县2024-2025学年高二上学期期中学科素养评价质量调研数学试题

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注意事项：
1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线：在轴上的截距为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用轴上截距的概念来求解即可.
【详解】当时，由直线：可得：，
所以直线在轴上的截距为，
故选：A.
2. 圆心为，半径为3的圆的标准方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圆的标准方程的定义可直接得出.
【详解】因为圆心为，半径为3，
所以圆的标准方程为.
故选：D
3. 两条平行直线：与：之间的距离是（ ）
A 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行直线间的距离公式即可得解.
【详解】因为两条平行直线：与：，
根据两平行线距离公式.
故选：B
4. 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于，则直线l与平面α所成的角等于（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面角的向量公式，即可求解.
【详解】设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，
所以，所以.
故选：C
5. 已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由空间向量基本定理易求得的值.
【详解】由，因四点共面,由空间向量基本定理可知，需使，解得.
故选：B.
6. 已知直线与圆：交于，两点，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的标准方程可以得到圆心坐标和半径.直线方程可化为点斜式，可判断直线恒过定点，当圆心与定点的连线垂直于弦时，弦长最短.
【详解】将直线方程变形为，即.
令，此时无论取何值，方程都成立，所以直线恒过定点.
圆的圆心，半径.
根据两点间距离公式，可得到的距离.
当时，最小.
根据垂径定理，此时，将，代入可得.
故选：C.
7. 已知，则到直线的距离为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出与同方向单位向量的坐标，继而计算和，代入点到直线的距离的向量公式计算即得.
【详解】由可知,
则与同方向的单位向量为，
又 , ,
故点到直线的距离为.
故选：D.
8. “不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具.如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中为椭圆左焦点，经过坐标原点，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的定义可得利用垂直关系可得，即可由离心率公式求解.
【详解】根据椭圆的对称性可知，故，得，
又，故，
故离心率为，
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，则（ ）
A. 直线的倾斜角为
B. 直线的一个方向向量的坐标为
C. 直线不经过第三象限
D. 直线的截距式方程为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系可判断A选项；利用直线方向向量的概念可判断B选项；作出直线的图象，可判断C选项；将直线的方程化为截距式方程，可判断D选项.
【详解】对于A选项，直线的斜率为，该直线的倾斜角为，A对；
对于B选项，直线的方向向量为，
故直线的一个方向向量为，B错；
对于C选项，作出直线的图象如下图所示：
由图可知，直线不经过第三象限，C对；
对于D选项，直线的方程可化为，其截距式方程为，D对.
故选：ACD.
10. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，若圆与圆：没有交点，则圆的半径可以是（ ）
A. 1B. 2C. 8D. 9
【答案】AD
【解析】
【分析】首先要将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标和半径.两圆没有交点包含外离和内含两种情况，根据两圆位置关系的判定条件（圆心距与两圆半径，的关系）来确定圆半径的取值范围.
【详解】圆的方程为，配方可得.
所以圆的圆心坐标为，半径.
设圆的半径为，圆心.
根据两点间距离公式，可得圆心与圆心的距离.
两圆没有交点，分两种情况：
外离时，即，解得.
内含时，即.
当，即时，，解得（半径不能为负，舍去）.
当，即时，，解得.
则的范围为或.
故选：AD.
11. 如图，棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，则（ ）
A. 平面
B.
C. 直线与所成角的余弦值为
D. 点到平面的距离为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A由及平面即可判断；B首先确定，得到，再由线平面垂直的判定、性质定理判断；C令为中点，连接，直线与所成角即为所求，应用余弦定理求其余弦值；D应用等体积法求点平面距.
【详解】A：由题意，而平面，即平面不成立，错；
B：由、分别为、的中点，则，且，
所以，则，易得，
由底平面为等边三角形，则，
而，都在平面内，则平面，
由平面，则，都在平面内，
所以平面，平面，，对；
C：为中点，连接，则，
故直线与所成角，即为直线与所成角，
由题设易知：，，则，对；
D：由，若到平面的距离为，且，
则，即，对.
故选：BCD
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线：，直线：，则直线与的交点坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】联立直线方程解方程组即可得交点坐标.
【详解】联立直线与的方程，解方程得，即交点坐标为.
故答案为：.
13. 设，，若，分别是平面，的法向量，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意有，利用向量平行的坐标表示列方程，即可得结果.
【详解】由题意，则，故.
故答案为：
14. 由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】先确定圆的圆心和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线距离，结合得取得最小值时取得最小值和的最小值为即可求解.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
所以圆心到直线距离为，
因为，所以当取得最小值时，取得最小值，
而的最小值为，所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的三个顶点分别为、、.
（1）求直线的一般式方程；
（2）求边上的高线所在直线的斜截式方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）写出直线的两点式方程，然后化为一般方程即可；
（2）求出直线的斜率，可得出边上的高线所在直线的斜率，可得出边上的高线所在直线的点斜式方程，化为斜截式方程即可.
【小问1详解】
解：因为点、，
所以，直线的方程为，整理得，
即直线的一般式方程为.
【小问2详解】
解：因为点、，则，
所以，边上的高线所在直线的斜率为，
又，所以，边上的高线所在直线的方程为，即，
即边上的高线所在直线的斜截式方程为.
16. 如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，设，，.
（1）用，，表示向量；
（2）用，，表示向量；
（3）若，，，求.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】运用空间向量的线性运算规则，结合图形性质和数量积运算即可.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
【小问3详解】
，，，
.
17. 已知圆：和圆：.
（1）求证：圆和圆相交；
（2）求圆与圆的公共弦所在直线的方程以及公共弦的长.
【答案】（1）证明见解析；
（2），.
【解析】
【分析】（1）根据圆的方程确定圆心和半径，利用半径和差与圆心距的大小关系判断圆的位置关系；
（2）两圆方程作差求公共弦方程，应用几何法求公共弦长.
小问1详解】
根据题意，圆：的圆心为，半径，
圆：，得，圆心为，半径，
圆心距，
，
圆和圆相交.
【小问2详解】
将两圆方程相减，有，即两圆公共弦所在直线的方程为，
圆心到的距离，故公共弦的弦长为.
18. 已知椭圆C：（）经过点，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左焦点且与PQ平行的直线交椭圆C于M，N两点，求的长．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用椭圆经过的点，列出方程组求出即得.
（2）求出直线的方程，利用弦长公式计算即得.
【小问1详解】
由椭圆C：经过点，，得，而，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由（1）知，椭圆的左焦点为，而直线的斜率为，
因此直线的方程为，
由消去y得，显然，设，
则，，
所以.
19. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）若二面角余弦值是，求实数的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（2）根据题意建立空间直角坐标系，然后利用空间向量证明线线垂直，最后利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）利用空间向量的坐标运算求两个面的夹角的余弦值，最后等于，求得实数的值即可.
【小问1详解】
平面，，平面，
，，又，
，，两两垂直，
以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A0,0,0，，，，，
，，，
，，
，，
又，，平面，平面.
【小问2详解】
由（Ⅰ）中建立的空间直角坐标系可得，，，，
设平面的法向量为n=x,y,z，
则取，
平面，平面，，
，是的中点，，
又，，平面，平面，
又，取平面的法向量为，
由图知，二面角的平面角为锐角，
二面角的余弦值为：，
解得，
又，.