2025宜昌协作体高二上学期期中考试数学试题含解析

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考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章~第二章第3节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线和直线的位置关系为（ ）
A. 垂直B. 平行C. 重合D. 相交但不垂直
【答案】A
【解析】
【分析】求得两条直线的斜率，从而判断出两条直线的位置关系.
【详解】直线和直线的斜率分别为，，
因为，所以.
故选：A
2. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. C. 1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直列方程，由此求得的值.
【详解】因为，故，即.
故选：C
3. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用方向向量求出直线斜率即可求出倾斜角.
【详解】因为直线l的一个方向向量为，所以l的斜率，
又，所以，因为，所以.
故选：D.
4. 袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（ ）
A. 0.64B. 0.72C. 0.76D. 0.82
【答案】C
【解析】
【分析】根据互斥事件的概率公式即可求解.
【详解】设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为，
所以，，且，
所以，，
所以，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76．
故选C．
5. 如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，，若，则（ ）

A. B. C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的线性运算用表示出，再用模长公式计算可得结果.
【详解】因为，所以，
则
，所以.
故选：B.
6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以，，
则向量在向量上的投影向量为：.
故选：D.
7. 若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数（ ）
A. -1B. 2C. -l或2D. -2或l
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用分类讨论思想，结合平行直线的性质以及距离公式，可得答案.
【详解】①当时，可得，，由，则此时不符合题意；
②当时，可得直线的斜率，直线的斜率，
由，整理可得，则，解得或，
当时，可得，，整理方程可得，
由两平行直线之间的距离，所以此时不符合题意；
当时，可得，，整理的方程可得，
由两平行直线之间的距离，所以此时符合题意.
综上可得.
故选：A.
8. 在正三棱锥P-ABC中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据长度关系先证明出两两垂直，然后通过补形法求解出的值，再通过向量法求解出的值，则结果可知.
【详解】在正三棱锥中，，又，，
所以，所以，
同理可得，，即两两垂直，
把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
正方体的体对角线就是外接球的直径，易得，
如图，建立空间直角坐标系，则A1,0,0，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，所以，
则点到平面的距离，所以，
故选B.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是能通过给定的长度关系确定出位置关系，同时能利用补形法完成计算，另一方面是能利用向量方法求解出点到面的距离.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线，则（ ）
A. 不过原点B. 在x轴上的截距为
C. 的斜率为D. 与坐标轴围成的三角形的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】将代入直线方程不成立，可判断A，根据截距定义可判断B，将直线化为斜截式方程，可判断C，化为截距式可得D.
【详解】因为，所以不过原点，所以A正确；
令，得，所以在轴上的截距为，所以B错误；
把化为，所以的斜率为，所以C正确；
把化为，
所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为，所以D正确.
故选：ACD.
10. 甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签.其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签.现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响.记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签5；事件C：抽取的两个号签和为4；事件D：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 事件C与D互斥D. 事件A与事件D相互独立
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据古典概型可判断A，B选项.，利用互斥事件的定义，相互独立事件的定义及概率乘法公式判断C，D选项，
【详解】对于A，样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，
(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共18种可能的结果，
则，，A正确；
对于B，事件C包含的样本点有(1,3)，(3,1)，(2,2)，共3种可能的结果，则，故B正确；
对于C，事件D包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，
(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共15种可能的结果，故事件C与D不互斥，C错误：
对于D，，由，得A，D相互独立，D正确.
故选：ABD.
11. 如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ）

A. ，，，四点共面
B. 与所成角的大小为
C. 在线段上存在点，使得平面
D. 在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值
【答案】AD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B选项，假设在线段上存在点，设，，利用坐标法验证线面垂直，可判断C选项；分别证明与上的所有点到平面的距离为定值，即可判断D选项.
【详解】以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，，
设，

则，
所以，解得，
故，即，，，四点共面，故A正确；
因为，，
所以，
所以与所成角的大小为，故B错误；
假设在线段上存在点，符合题意，
设（），则，
若平面，则，,
因为，，
所以，此方程组无解，
所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误；
因为，所以，
又平面，平面，所以平面，
故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值，
又的面积是定值，
所以在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值，故D正确；
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用点到直线距离公式代入计算即可得出结果.
【详解】将直线化为一般方程可得，
由点到直线距离公式可得坐标原点到直线的距离为.
故答案为：
13. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线BD1与CD之间的距离为________.
【答案】
【解析】
【分析】求得与，都垂直的一个向量，利用可求直线与之间的距离.
【详解】以为轴，为轴，为轴建立空间直线坐标系，

则，，，
设与，都垂直的一个向量，
则，取，则，，
所以与BD1，CD都垂直的一个向量，
所以直线与之间的距离为.
故答案为：
14. 九宫格数独游戏是一种训练推理能力数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1~9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为偶数，则的概率为________.
【答案】##
【解析】
【分析】将试验结果表示出来，然后用符合要求的试验数除以试验总数可求得结果.
【详解】这个试验的等可能结果用下表表示：
共有种等可能的结果，其中的结果有种，
所以的概率为，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在平面直角坐标系中，的顶点，，，关于原点O对称.
（1）求边上的高所在直线的一般式方程；
（2）已知过点B的直线l平分△ABC的面积，求直线l的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得的斜率，从而得到边上高所在直线的斜率，进而求得边上的高所在直线的方程.
（2）先判断出直线l经过边AC的中点，进而求得直线的方程.
【小问1详解】
因为B，C关于原点O对称，所以，，
所以边上高所在直线的斜率为，
因为，所以BC边上高所在直线的方程为，
所以BC边上高所在直线的一般式方程为.
【小问2详解】
因为过点的直线平分的面积，
所以直线l经过边AC的中点12,1，
又，所以直线l的方程
16. 如图，在三棱柱中，，，，点满足.

（1）用表示；
（2）若三棱锥的所有棱长均为，求及.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据，可表示出；
（2）先确定的模长以及两两之间的夹角，然后根据计算出，
再根据展开计算求得结果.
【小问1详解】
因为，所以，
所以
【小问2详解】
因为三棱锥的所有棱长均为，
所以，所以，
所以，
所以，
所以.
17. 在荾形中，，，将菱形沿着翻折，得到三棱锥如图所示，此时．
（1）求证：平面平面；
（2）若点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，由已知得到和的长，由勾股定理的逆定理得到，再结合证明平面，由此证明平面平面；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，分别写出直线的方向向量和平面的法向量，利用空间坐标求出角的正弦值.
【小问1详解】
证明：因为四边形是菱形，，
所以与均为正三角形，
取的中点，连结，，则，
因为，所以，
因为，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
【小问2详解】
由（1）可知，，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为是的中点，所以，
所以，，，
设为平面的一个法向量，
则
令，得，，所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18. 为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式．现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和．假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响．
（1）若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率；
（2）若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率；
（3）假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由事件的相互独立性的乘法公式和对立事件可求出答案。
（2）记“甲答对i个问题”为事件，“乙答对i个问题”为事件，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件由事件的相互独立性的乘法公式代入即可得答案。
（3）记“甲答对第i个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件，由事件的相互独立性的乘法公式代入即可得答案。
【小问1详解】
记“乙至少有1个回答正确”为事件，
所以，
即乙至少有1个回答正确的概率是．
【小问2详解】
记“甲答对i个问题”为事件，“乙答对i个问题”为事件，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件
所以
，
即甲回答正确个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率是．
【小问3详解】
记“甲答对第i个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件，
所以
，
即甲恰好回答5次被退出比赛的概率是．
19. 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中．
（1）求经过的直线的点方向式方程；
（2）已知平面，平面，平面，若，证明：；
（3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先求直线的方向向量，结合题意即可得直线方程；
（2）根据题意可得平面、、的法向量，进而可求交线的方向向量，利用空间向量判断线面关系；
（3）根据题意可得平面、的法向量，进而可求交线的方向向量，根据线面关系可得，利用空间向量求面面夹角.
【小问1详解】
由得，直线的方向向量为，
故直线的点方向式方程为．
【小问2详解】
由平面可知，平面的法向量为，
由平面可知，平面的法向量为，
设交线的方向向量为，则，
令，则，可得，
由平面可知，平面的法向量为，
因为，即，
且，所以．
【小问3详解】
因平面经过三点，可得，
设侧面所在平面的法向量，
则，令，解得，可得，
由平面可知，平面法向量为，
设平面与平面的交线的方向向量为，
则，令，则，可得，
由平面可知，平面的法向量为，
因为，解得，即，
则，
故平面与平面夹角的大小为．
9
a
7
b
c
d
4
e
6
a
1
1
3
3
5
5
1
1
3
3
5
5
b
2
2
2
2
2
2
8
8
8
8
8
8
c
3
5
5
1
1
3
3
5
5
1
1
3
d
8
8
8
8
8
8
2
2
2
2
2
2
e
5
3
1
5
3
1
5
3
1
5
3
1