2023届北京市丰台区高三一模数学试题含解析

这是一份2023届北京市丰台区高三一模数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据并集运算求解.
【详解】因为集合，，
所以，
故选:D.
2．设，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】逐一判断，对A取，，可得结果；对B取，可得结果；对C利用不等式的性质判断即可；对D取可判断.
【详解】解：A.取，，则不成立；
B.取，，则不成立；
C.∵，∴，正确；
D.取，∵，∴，因此不成立.
故选：C.
3．已知圆与轴相切，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】求出圆心和半径，即可求解.
【详解】圆的圆心为，半径为.
因为圆与轴相切，所以.
故选：C
4．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根据奇函数的性质及所给函数解析式计算可得.
【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，，
所以.
故选：A
5．在平面直角坐标系中，若角以轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为，则的一个可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义得到，再根据特殊角的三角函数判断即可.
【详解】依题意可得，则或，
所以的一个可能取值为.
故选：B
6．在中，若，则该三角形的形状一定是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用内角和定理及诱导公式得到，利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知等式变形再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到，即，即可确定出三角形形状．
【详解】解：在中，，
，即，
，，
，即，则为等腰三角形．
故选：A．
7．设无穷等差数列|的前n项和为，则“对任意，都有”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用定义法直接判断.
【详解】充分性：因为“对任意，都有”，所以，
所以“数列为递增数列”成立.故充分性满足；
必要性：因为“数列为递增数列”，取数列：-1，1，3，5……符合数列为无穷等差数列|，且为递增数列，但是.故必要性不满足.
故“对任意，都有”是“数列为递增数列”的充分而不必要条件.
故选：A
8．已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为．过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为B．若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】过点A向x轴作垂线、垂足为E．设准线交x轴于D.利用几何法求出直角三角形的三边，利用勾股定理即可求解.
【详解】如图示：
过点A（不妨设为第一象限点）向x轴作垂线、垂足为E．设准线交x轴于D.
因为四边形ABOF为等腰梯形，所以，.
所以.
又，
所以，所以，
所以.
所以.
由抛物线的定义可得：.
在直角三角形中，,.
由勾股定理可得：，解得：.
故选：C
9．已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，．若在区间上单调递减，则t的最小值为（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为存在常数，使得对任意，都有，
所以函数的周期为，
当时，函数在单调递减，
所以当时，函数在上单调递减，
因为在区间上单调递减，
所以有，
故选：B
【点睛】关键点睛：根据函数的周期的性质，结合绝对值型函数的单调性是解题的关键.
10．如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论：
①三棱锥的体积的最大值为；
②的最小值为；
③点到直线的距离的最小值为．
其中所有正确结论的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据锥体的体积公式判断①，将将翻折到与矩形共面时连接交于点，此时取得最小值，利用勾股定理求出距离最小值，即可判断②，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到距离，再根据函数的性质计算可得.
【详解】在直三棱柱中平面，
对于①：因为点在棱上，所以，又，
又，，，点在棱上，所以，，
所以，当且仅当在点、在点时取等号，故①正确；
对于②：如图将翻折到与矩形共面时连接交于点，此时取得最小值，
因为，，所以，所以，
即的最小值为，故②错误；
对于③：如图建立空间直角坐标系，设，，，，
，
所以，，
则点到直线的距离
，
当时，
当时，，，则，
所以当取最大值，且时，
即当在点在点时点到直线的距离的最小值为，故③正确；
故选：C
二、填空题
11．若复数是纯虚数，则________．
【答案】
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念得到方程（不等式），解得即可.
【详解】，
因为是纯虚数，所以，解得.
故答案为：
12．已知正方形的边长为，则________．
【答案】
【分析】根据正方形的性质及数量积的定义计算可得.
【详解】因为正方形的边长为，所以，，，
所以.
故答案为：
13．从，，，，这个数中任取个不同的数，记“两数之积为正数”为事件，“两数均为负数为事件．则________．
【答案】##
【分析】根据古典概型的概率公式求出，，再由条件概率的概率公式计算可得.
【详解】从，，，，这个数中任取个不同的数有种取法，
其中满足两数之积为正数的有种取法，
满足两数之积为正数且两数均为负数的有种取法，
所以，，
所以.
故答案为：
三、双空题
14．设函数若存在最小值，则a的一个取值为_______；a的最大值为________．
【答案】 1（≤1的任一实数，答案不唯一）； 1
【分析】利用导数讨论函数的单调性，分析取最值的情况，进行求解.
【详解】记函数，则.
令，解得：.
列表得：
对于函数，当时，不能取得最小值，
所以存在最小值，的最小值只能在时，时取得.
当时，在单减，在单增，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；
当时，在单减，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；
当时，在单减，在单减，在单增.所以
的最小值为，即存在最小值；
当时，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；
当时，在单减，在单增，且，所以
的最小值为，即存在最小值；
当时，在单减，在单增，且，不能取得最小值.
综上所述：当时函数存在最小值.
故答案为：①1（的任一实数，答案不唯一）；②1.
15．三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家Pappus（约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段AB的三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线H．双曲线H与弧AB的交点记为E，连接CE，则．
①双曲线H的离心率为________；
②若，，CE交AB于点P，则________．
【答案】 2
【分析】①根据图形关系确定即可求解；利用面积之比，进而可求出，再根据求解.
【详解】①由题可得所以，
所以双曲线H的离心率为；
②，因为，且，
所以,
又因为，所以
所以，
所以,
因为,解得，
所以,
故答案为:2; .
四、解答题
16．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)若函数，求在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最大值为和最小值为0
【分析】（1）由图象及三角函数的性质可以得到，进而得到的解析式；
（2）根据三角恒等变换化简，进而分析在区间上的最大值和最小值.
【详解】（1）由图象可知：，
将点代入得，
∴
（2）
由得
当时，即；
当时，即；
17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O，，．点E是棱PA的中点，连接OE，OP．
(1)求证：平面PCD；
(2)若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP的长．
条件①：平面平面；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明；
(2)利用空间向量的坐标运算表示出平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值，即可求解.
【详解】（1）因为底面是菱形，所以是中点，
因为E是棱PA的中点，所以，
又因为平面PCD, 平面PCD,
所以平面PCD.
（2）选择条件①:
因为，是的中点，所以,
因为平面平面,平面平面,
平面，
所以平面，因为平面，所以，
又，所以两两垂直，
以为原点建立空间直角坐标系,
因为菱形的边长为2，
所以,
所以设
所以，
设为平面的一个法向量，
由得所以
取，所以，
因为平面，所以平面的一个法向量为,
平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为,
所以，所以
所以，所以，因为，所以，所以.
所以线段OP的长为.
选择条件②:
因为.在菱形中，，
因为平面平面,
所以平面,
因为平面，所以，因为,
所以两两垂直，
以为原点建立空间直角坐标系,
因为菱形的边长为2，
所以,
所以设
所以，
设为平面的一个法向量，
由得所以
取，所以，
因为平面，所以平面的一个法向量为,
平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为,
所以，所以
所以，所以，因为，所以，所以.
所以线段OP的长为.
18．交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的统计数据如下图：
(1)从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；
(2)从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为，求的分布列及数学期望；
(3)把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为，将2022年同期TPI依次记为，记，．请直接写出取得最大值时的值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据随机事件的概率公式即可求解；
（2）结合题意先求出的分布列，再结合数学期望的公式求解即可；
（3）结合题意先求得，进而即可求解.
【详解】（1）由图可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天，
所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为.
（2）由图可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI高的天数只有1月3日和1月4日这2天，
所以，
，
，
所以的分布列为：
数学期望.
（3）由题意，，
，
，
，
，
，
，
所以，
所以取得最大值时，.
19．已知椭圆的一个顶点为，焦距为2．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线的垂线（点B，C在直线l的两侧）．垂足分别为M，N，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数t，使得，，总成等比数列？若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，使得，，总成等比数列.
【分析】(1)根据的关系求解；
(2)表示，，的面积，利用韦达定理表示出即可求出常数t的值.
【详解】（1）根据已知可得，
所以，
所以椭圆E的方程为.
（2）由已知得，的斜率存在，且在轴的同侧，
设直线的方程为，，不妨设，
则
由得
所以
因为，
所以
，
，
要使，，总成等比数列，则应有解得，
所以存在，使得，，总成等比数列.
20．已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)若函数有两个不相等的零点，．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：．
【答案】(1)函数无极大值，有极小值.
(2)（i）.（ii）见详解.
【分析】(1)利用导数研究函数的单调性和极值.
(2)（i）利用导数研究函数的单调性与极值，再结合图象与零点进行求解.
（ii）利用构造对称函数以及导数进行证明.
【详解】（1）因为，所以，因为，
由有：，由有：，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以函数无极大值，有极小值.
（2）（i）由(1)有：函数在单调递减，在单调递增，
若函数有两个不相等的零点，，则，解得，
所以，因为当时，，所以，
所以在上有1个零点，
当时，，又“指数爆炸”，所以，
所以在上有1个零点，
综上，当时，函数有两个不相等的零点，.
（ii）由（i）有：当时，函数有两个不相等的零点，，
不妨设，构造函数，
因为，所以，
因为，所以，当前仅当时取到等号，
所以，所以在R上单调递减，
又，所以，
即，即，又，
所以，又，所以，
由(1)有：函数在单调递减，所以，
即，结论得证.
21．已知集合，对于集合的非空子集．若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”．
(1)试判断集合，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
(2)如果一个集合中含有三个元素，，，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质；
(3)若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值．
【答案】(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集”
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据所给定义判断即可.
（2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可；
（3）首先利用反例说明当、时不成立，再利用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，即可得解.
【详解】（1）因为，
对于集合，令，解得，显然，，
所以是集合的“期待子集”；
对于集合，令，则，
因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集”；
（2）先证明必要性：
当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得，
不妨设，令，，，则，即条件中的①成立；
又，所以，即条件中的②成立；
因为，
所以为偶数，即条件中的③成立；
所以集合满足条件.
再证明充分性：
当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数，
记，，，
由③得，由①得，由②得，
所以，
因为，，，所以，，均属于，
即集合是集合的“期待子集”.
（3）的最小值为，理由如下：
一方面，当时，对于集合，其中任意三个元素之和均为奇数，由（2）知，不是的“期待子集”；
当时，对于集合，
从中任取三个不同的元素，若不含有，则不满足条件的③，
若含有，则另外两个数必都是奇数，因为任意两个奇数之差（大数减小数）都不小于，
故不满足条件中的②，所以不是的“期待子集”；
所以.
另一方面，我们用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”：
（I）当时，对于集合的任意含有个元素的子集，记为，
当、、三个数中恰有个属于时，则，因为数组、、、、都满足条件，
当三个数都属于，因为数组满足条件，
所以此时集合必是集合的“期待子集”，
所以当时的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”.
（II）假设当时结论成立，即集合的任意含有个元素的子集都是的“期待子集”，那么时，对于集合的任意含有个元素的子集，
分成两类，①若，至多有个属于，则中至少有个元素都在集合，由归纳假设知，结论成立；
②若，，则集合中恰含的个元素，此时，当中只有一个奇数时，则集合中包含中的所有偶数，此时数组，，符合条件，结论成立；
当集合中至少有两个奇数时，则必有一个奇数不小于，此时数组，，符合条件，结论成立，所以时结论成立，
根据（I）（II）知，集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，所以的最小值为
【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.
+
0
-
0
+
单增
单减
单增
TPI
不低于4
拥堵等级
畅通
缓行
拥堵
严重拥堵
0
1
2