2024-2025学年上海市杨浦区同济大学第一附中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

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这是一份2024-2025学年上海市杨浦区同济大学第一附中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n⊥α成立的是( )
A. α⊥β，m⊂βB. α//β，n⊥βC. α⊥β，n//βD. m//α，n⊥m
2.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是( )
A. 直线AA1
B. 直线A1B1
C. 直线A1D1
D. 直线B1C1
3.已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为R1，与该正方体每条棱都相切的球半径为R2，过该正方体所有顶点的球半径为R3，则下列关系正确的是( )
A. R1：R2：R3= 2： 3：2B. R1+R2=R3
C. R12+R22=R32D. R13+R23=R33
4.正四面体ABCD的体积为1，O为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为( )
A. 13
B. 12
C. 23
D. 34
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.不等式x2+2x−3≤0的解集为______．
6.对于正实数x，代数式x+9x+1的最小值为______．
7.两条直线没有公共点是这两条直线为异面直线的______条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”)
8.若圆柱的高为10，底面积为4π，则这个圆柱的侧面积为______.(结果保留π)
9.已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线与底面半径的比为______．
10.若正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，且高为1，则其体积为______．
11.在△ABC中，已知 2sinA= 3csA，则∠A= ______．
12.若三个向量a=(3,3,2)，b=(6,m,7)，c=(0,5,1)共面，则实数m的值为______．
13.已知二面角α−AB−β为30°，P是平面α内的一点，P到β的距离为1，
则P在β内的射影到AB的距离为______．
14.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，P为该球面上的动点，若三棱锥P−OAB体积的最大值为6，则球O的表面积为______．
15.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面ABC′面积达到最大．
16.在四面体PABC中，2PD=PA+PB，5PE=2PB+3PC，2PF=−PC+3PA，设四面体PABC与四面体PDEF的体积分别为V1、V2，则V2V1的值为______．
三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知函数f(x)= 3cs2x+12sin2x．
(1)求函数y=f(x)的最小正周期；
(2)求函数y=f(x)在区间[−π6,π4]上的最大值和最小值．
18.(本小题14分)
据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米．

(1)求该蒙古包的表面积(不含底面)；
(2)求该蒙古包的体积．
19.(本小题14分)
如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC= 2，A1C与底面ABCD所成的角为45°．
(1)求四棱锥A1−ABCD的体积；
(2)求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．
20.(本小题16分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面AA1C1C为菱形，点A1在底面上的投影为AC的中点D，且AB=2．
(1)求证：BD⊥CC1；
(2)求点C到侧面AA1B1B的距离；
(3)在线段A1B1上是否存在点E，使得直线DE与侧面AA1B1B所成角的正弦值为 67？若存在，请求出A1E的长；若不存在，请说明理由．
21.(本小题18分)
设m为给定的实常数，若函数y=f(x)在其定义域内存在实数x0，使得f(x0+m)=f(x0)+f(m)成立，则
称函数f(x)为“G(m)函数”．
(1)若函数f(x)=2x为“G(2)函数”，求实数x0的值；
(2)若函数f(x)=lgax2+1，为“G(1)函数”，求实数a的取值范围；
(3)已知f(x)=x+b(b∈R)为“G(0)函数”，设g(x)=x|x−4|.若对任意的x1，x2∈[0,t]，当x1≠x2时，都有g(x1)−g(x2)f(x1)−f(x2)>2成立，求实数t的最大值．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.B
5.{x|−3≤x≤1}
6.5
7.必要不充分
8.100π
9.2：1
10.283
11.π3
12.21
13. 3
14.48π
15.60°
16.720
17.解：(1)由题意得f(x)= 3cs2x+12sin2x
= 3(1+cs2x)2+12sin2x
= 32csx+12sin2x+ 32
=sin(2x+π3)+ 32，
则f(x)的最小正周期T=π；
(2)∵x∈[−π6,π4]，
∴2x+π3∈[0,5π6]，
当2x+π3=π2时，即x=π12时，f(x)的最大值为1+ 32，
当2x+π3=0时，即x=−π6时，f(x)的最小值为 32．
18.解：(1)∵蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体，
且该圆锥的高为3米，圆柱的高为4m，底面直径为8m，
∴AD= 32+42=5，又DC=4，
故该蒙古包的表面积为12×8π×5+8π×4=52π(m2)；
(2)由题意可得该蒙古包的体积为：
13π×ED2×AE+π×ED2×BE=13π×48+64π=80π(m3)．
19.解(1)∵A1A⊥平面ABCD，
∴A1C与底面ABCD所成的角为∠A1CA=45°，又易知AC=2，
∴A1A=2，
∴四棱锥A1−ABCD的体积为13× 2× 2×2=43；
(2)连接BD，则易得BD//B1D1，
∴异面直线A1B与B1D1所成角为∠A1BD，
在△A1BD中，由题意及(1)可知A1B=A1D= 6，BD=2，
∴cs∠A1BD=A1B2+BD2−A1D22×A1B×BD=6+4−62× 6×2= 66，
∴异面直线A1B与B1D1所成角的大小为arccs 66．
20.解：(1)证明：由点A1在底面ABC上的投影为AC的中点D，知A1D⊥平面ABC，
又BD⊂平面ABC，∴A1D⊥BD，
∵△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，∴AC⊥BD，
∵A1D∩AC=D，∴BD⊥平面ACC1A1，
∵CC1⊂平面ACC1A1，∴BD⊥CC1．
(2)∵A1D⊥AC，D是AC中点，侧面AA1C1C是菱形，∴A1C=A1A=AC，
∵△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，AB=2，∴DB=DA=DC= 2，DA1= 6，
由(1)知直线DB，DC，DA1两两垂直，
∴以D为坐标原点，DB，DC，DA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则D(0,0,0)，A(0,− 2,0)，B( 2,0,0)，C(0, 2,0)，A1(0,0, 6)，
AB=( 2, 2,0)， AA1=(0, 2, 6)，
设平面AA1B1B的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AB= 2x+ 2y=0n⋅AA1= 2y+ 6z=0，取z=1，得n=( 3,− 3,1)，
AC=(0,2 2,0)，∴点C到平面AA1B1B的距离为：
d=|AC⋅n||AC|⋅|n|=2 6 7=2 427．
(3)假设在线段A1B1上存在点E，且 A1E=λ⋅A1B1=λ⋅AB=λ⋅( 2, 2,0)(λ∈[0,1])，
则DE=DA1+A1E=(0,0, 6)+λ( 2, 2,0)=( 2λ, 2λ, 6)，
∵直线DE与侧面AA1B1B所成角的余弦值为 67，
∴ 67=|cs|=|DE⋅n||DE|⋅|n|=| 6λ− 6λ+ 6| 2λ2+2λ2+6⋅ 7= 6 4λ2+6⋅ 7，
解得λ2=14，
∵λ∈[0,1]，∴λ=12，
∴存在满足条件的点E，且|A1E|=12|AB|=1．
21.解：(1)由f(x)=2x为“G(2)函数”，得f(x0+2)=f(x0)+f(2)，
即2x0+2=2x0+22，解得x0=lg243，故实数x0的值为lg243；
(2)函数f(x)=lgax2+1，为“G(1)函数”可知，存在实数x0，使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立，
∴lga(x0+1)2+1=lgax02+1+lga2，即a(x0+1)2+1=a22(x02+1)，
由ax02+1>0，得a>0，整理得(a−2)x02+2ax0+2a−2=0．
①当a=2时，x0=−12，符合题意；
②当a≠2时，由△=4a2−4(a−2)(2a−2)≥0，即a2−6a+4≤0，
解得3− 5≤a≤3+ 5且a≠2，
综上，实数a的取值范围是[3− 5,3+ 5]；
(3)由f(x)=x+b(b∈R)为“G(0)函数”，得f(x0+0)=f(x0)+f(0)成立，
即f(0)=0，从而b=0，则f(x)=x，
不妨设x1>x2，则由g(x1)−g(x2)f(x1)−f(x2)>2成立，即g(x1)−g(x2)x1−x2>2，
得g(x1)−2x1>g(x2)−2x2，
令F(x)=g(x)−2x，则F(x)在[0,t]上单调递增，
又F(x)=x|x−4|−2x=x2−6x,x≥42x−x2,x<4，
作出函数图象如图：

由图可知，0