2024-2025学年安徽省马鞍山二中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省马鞍山二中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x|x−2≤0}，B={1,2,4}，则A∩B=( )
A. {1,2}B. {1,2,4}C. {x|x≤2}D. {x|1≤x≤2}
2.已知集合A={x|x=4t+1,t∈N}，B={x|x=8t+1,t∈N}，则“x∈A”是“x∈B”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知集合A={x|ax2+x+a=0,a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是( )
A. 12B. −12C. 0,12D. 0,12,−12
4.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，而且窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好.设某所公寓的窗户面积为am2，地板面积为bm2，若同时增加tm2的窗户面积和地板面积，则这所公寓的采光效果变化是( )
A. 变好了B. 变差了C. 不变D. 变化不确定
5.设a∈R，若当1≤x≤2时，关于x的不等式x2−ax+1≥0恒成立，则( )
A. a≤2B. a≥2C. a≤52D. a≥52
6.已知实数x，y满足−4≤x−y≤−1，−1≤4x−y≤5，则9x−y的取值范围是( )
A. [−7,26]B. [−1,20]C. [4,15]D. [1,15]
7.已知函数f(x+2)的定义域为(−3,4)，则函数g(x)=f(x) 3x−1的定义域为( )
A. (13,4)B. (13,2)C. (13,6)D. (13,1)
8.已知a>b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则a2+b2a−b的最小值为( )
A. 1B. 2C. 2D. 2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关系中正确的是( )
A. 1∈{1}B. {0,1}={(0,1)}
C. {(a,b)}={(b,a)}D. ⌀⊆{1}
10.“关于x的方程x2+(m−1)x+1=0至多有一个实数根”的必要条件可以是( )
A. −1≤m≤3B. −2≤m≤4C. m<4D. −1≤m<2
11.下列说法正确的有( )
A. 若x>−4，则x+1x+4的最小值为−2
B. 若正数x，y为实数，若x+2y=3xy，则2x+y的最大值为3
C. 若x，y>0且x+2y+xy=6，则xy的最大值为2
D. 设x，y为实数，若9x2+y2+xy=1，则3x+y的最大值为2 217
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.不等式x−3x+1≥2的解集为______．
13.设a，b∈R，记max{a,b}=a,a≥bb,a14.设a>b>c且1a−b+1b−c≥ma−c恒成立，则m的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)已知二次函数f(x)满足f(0)=0，且f(x+2)=f(x)+2x，求函数f(x)的解析式．
(2)已知f(x+1)=x2+3x−1，求函数f(x)的解析式．
16.(本小题15分)
已知集合A={x|2(1)若A∩B=⌀，求实数m的取值范围；
(2)若p：x∈A，q：x∈B，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
17.(本小题15分)
某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，经销A、B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元．其中f(x)=x+1；g(x)=10x+1x+1(0≤x≤3)−x2+9x−12(318.(本小题17分)
已知函数f(x)=mx2−(m−1)x+m−2(m∈R)．
(1)若不等式f(x)≥0恒成立，求m的取值范围；
(2)解不等式f(x)≥m−1；
(3)对任意的x∈[−1,1]，不等式f(x)≥x2恒成立，求m的取值范围．
19.(本小题17分)
排序不等式：设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么a1bn+a2bn−1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn即“反序和≤乱序和≤顺序和”．
当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=……=bn时，反序和等于顺序和．
(1)设a1，a2，…，an为实数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，则乘积的值a1b1+a2b2+…+anbn不会超过_____．
(2)设a1，a2，⋯，an是n个互不相同的正整数，求证：a1+a222+a332+⋯+ann2≥1+12+13+⋯+1n．
(3)有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需要ti分钟，假定这些ti各不相同.问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.A
5.A
6.B
7.C
8.D
9.AD
10.BC
11.ACD
12.[−5,−1)
13.0
14.(−∞,4]
15.解：(1)二次函数f(x)满足f(0)=0，且f(x+2)=f(x)+2x，
设二次函数f(x)=ax2+bx+c，因为f(0)=0，
所以c=0，故此时函数解析式为f(x)=ax2+bx，
因为f(x+2)=f(x)+2x，令x=0，所以f(2)=f(0)=0，
令x=2，所以f(4)=f(2)+2×2=4，因为f(2)=0，所以4a+2b=0，
因为f(4)=4，所以16a+4b=4，将两个式子联立，
解得a=12，b=−1，故二次函数f(x)的解析式为f(x)=12x2−x，
(2)因为f(x+1)=x2+3x−1，且令x+1=t，所以x=t−1，
故f(t)=(t−1)2+3(t−1)−1，化简得f(t)=t2+t−3，
即函数f(x)的解析式为f(x)=x2+x−3．
16.解：(1)∵A∩B=⌀，
①若B=⌀，则2m≥1−m，即m≥13；
②若2m<1−m，即m<13时，需m<131−m≤2或m<132m≥4，解得−1≤m<13．
综上，实数m的取值范围为{m|m≥−1}．
(2)∵p是q的充分不必要条件，
∴A⫋B，
则1−m>2m2m≤21−m≥4，不同时取等号，解得m≤−3．
实数m的取值范围为{m|m≤−3}．
17.解：设投入B商品的资金为x万元(0≤x≤5)，
则投入A商品的资金为5−x万元，设收入为S(x)万元，
①当0≤x≤3时，f(5−x)=6−x，g(x)=10x+1x+1，
则S(x)=6−x+10x+1x+1=17−[(x+1)+9x+1]
≤17−2 (x+1)⋅9x+1=17−6=11，
当且仅当x+1=9x+1，即x=2时，取等号．
②当3则S(x)=6−x−x2+9x−12=−(x−4)2+10≤10，
此时当x=4时，S(x)取得最大值10，
∵10<11，
∴最大收益为11万元，
所以投入A商品的资金为3万元，投入B商品的资金为2万元，此时收益最大，为11万元．
18.解：(1)由题意，不等式f(x)≥0恒成立，即不等式mx2−(m−1)x+m−2≥0恒成立，
当m=0时，不等式为x−2≥0，显然不恒成立，舍去；
当m≠0时，要使f(x)≥0恒成立，应满足m>0Δ=(m−1)2−4m(m−2)≤0，
即m>03m2−6m−1≥0，解得m≥3+2 33，
所以m的取值范围是{m|m≥3+2 33}.
(2)由不等式f(x)≥m−1，可得mx2−(m−1)x+m−2≥m−1，
等价于mx2−(m−1)x−1≥0，
当m=0时，不等式为x−1≥0，解得x≥1，不等式的解集为{x|x≥1}；
当m≠0时，不等式可化为(x−1)(mx+1)≥0，即m(x−1)(x+1m)≥0，
①当m>0时，不等式等价于(x−1)(x+1m)≥0，解得x≤−1m或x≥1，
不等式的解集为{x|x≤−1m或x≥1}；
②当m<0时，不等式等价于(x−1)(x+1m)≤0，
当−1m>1时，即−1当−1m=1时，即m=−1时，解得x=1，不等式的解集为{1}；
当−1m<1时，即m<−1时，解得−1m≤x≤1，不等式的解集为{x|−1m≤x≤1}，
综上可得：当m<−1时，不等式的解集为{x|−1m≤x≤1}；
当m=−1时，不等式的解集为{1}；
当−1当m=0时，不等式的解集为{x|x≥1}；
当m>0时，不等式的解集为{x|x<−1m或x≥1}．
(3)由不等式f(x)≥x2在x∈[−1,1]上恒成立，
得(m−1)x2−(m−1)x+m−2≥0在x∈[−1,1]上恒成立，
即(m−1)(x2−x+1)≥1在x∈[−1,1]上恒成立，
因为x2−x+1=(x−12)2+34>0，
则可转化为不等式m−1≥1x2−x+1在x∈[−1,1]上恒成立，
设g(x)=x2−x+1=(x−12)2+34,x∈[−1,1]，则34≤g(x)≤3，
所以1x2−x+1的最大值为43，所以m−1≥43，解得m≥73，
所以实数m的取值范围是{m|m≥73}.
19.解：(1)由题意b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，
设两组数a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn，
则a1b1+a2b2+⋯+anbn可看作a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn两组实数的“乱序和”；
设c1，c2，…，cn也是a1，a2，…，an的一个排列，且c1≤c2≤…≤cn，
其中满足集合{a1,a2,…,an}={b1,b2,…,bn}={c1,c2,⃯⋯,cn}.
则c12+c22+⋯+cn2为a1，a2，…，an与，b2，…，bn两组实数的“顺序和”，
且c12+c22+…+cn2=a12+a22+…+an2．
则由排序不等式：乱序和≤顺序和，
得a1b1+a2b2+⋯+anbn≤c12+c22+⋯+cn2=a12+a22+⋯+an2．
故空格处填：a12+a22+⋯+an2．
(2)证明：设两组数：a1，a2，…，an与1，122,132，…，1n2．
由a1，a2，…，an是n个互不相同的正整数，
设b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的一个排列，且满足b1即b1，b2，…，bn是这n个互不相同的正整数从小到大的排列，
因此b1≥1，b2≥2，…，bn≥n．
又因为1>122>132>⋯>1n2，
故由排序不等式：乱序和≥反序和，
得a1⋅1+a2⋅122+a3⋅132+⋯+an⋅1n2≥b1⋅1+b2⋅122+b3⋅132+⋯+bn⋅1n2≥1⋅1+2⋅1222+3⋅132+⋯+n⋅1n2=1+12+13+⋯+1n．
故a1+a222+a332+⋯+ann2≥1+12+13+⋯+1n，命题得证．
(3)由题意可知，水龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需要ti分钟，
则第i个人打水时，10−(i−1)即11−i(i=1,2,…,10)个人都在等，需要等候总时间为(11−i)ti，
故所有人打完水，他们等候的总时间为i=110(11−i)ti=10t1+9t2+⋯+t10．
设两组数：t1，t2，t3，…，t10与10，9，8，…，1．
由假定，这些ti各不相同，
设ℎ1，ℎ2，ℎ3，…，ℎ10为t1，t2，t3，…，t10的一个排列，且ℎ1<ℎ2<ℎ3<⋯<ℎ10，
又因为10>9>8>…>1，
由排序不等式：乱序和≥反序和，
得10t1+9t2+⋯+2t9+t10≥10ℎ1+9ℎ2+⋯+ℎ10．
所以只有一个水龙头时，要使他们等候的总时间最少，应安排需要时间最少的人总是先打水，
即各人按照注满各自水桶的时间从少至多的顺序排队打水．
等候的总时间最少为10ℎ1+9ℎ2+⋯+ℎ10，其中ℎ1，ℎ2，ℎ3，…，ℎ10为t1，t2，…，t10从小到大的一个顺序排列．