安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高一上学期10月份月考数学试卷(含答案)

这是一份安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高一上学期10月份月考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知集合,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．已知集合,若集合A有且仅有2个子集,则a的取值是( )
A.B.C.0,D.0,,
4．一般认为,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,而且窗户面积与地板面积的比值越大,采光效果越好.设某所公寓的窗户面积为a,地板面积为b,若同时增加t的窗户面积和地板面积,则这所公寓的采光效果变化是( )
A.变好了B.变差了
C.不变D.变化不确定
5．设,若当时,关于x的不等式恒成立,则( )
A.B.C.D.
6．已知实数x,y满足,,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知函数的定义域为,则函数的定义域为( )
A.B.C.D.
8．已知,不等式对于一切实数x恒成立,且,使得成立,则的最小值为( )
A.1B.C.2D.
二、多项选择题
9．下列关系中正确的是( )
A.B.C.D.
10．“关于x的方程至多有一个实数根”的必要条件可以是( )
A.B.C.D.
11．下列说法正确的有( )
A.若,则的最小值为
B.若正数x,y为实数,若,则的最大值为3
C.若x,且,则xy的最大值为2
D.设x,y为实数,若,则最大值为
三、填空题
12．不等式的解集为_______.
13．设a,,记,则函数的最小值为_______.
14．设且恒成立,则m的取值范围是__________.
四、解答题
15．（1）已知二次函数满足,且,求函数的解析式.
（2）已知,求函数的解析式.
16．已知集合,集合.
（1）若,求实数m的取值范围;
（2）若,,p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围
17．某个体户计划经销A,B两种商品,据调查统计,当投资额为万元时,经销A,B商品中所获得的收益分别为万元与万元,其中,如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品,请你帮他制订一个资金投入方案,使他能获得最大收益,并求出其最大收益.
18．已知函数.
（1）若不等式恒成立,求m的取值范围;
（2）解不等式;
（3）对任意的,不等式恒成立,求m的取值范围.
19．排序不等式:设,为两组实数,,,…,是,,…,的任一排列,那么,即“反序和≤乱序和≤顺序和”.当且仅当或时,反序和等于顺序和.
（1）设,,,,,,,是,,,的任一排列,则乘积的值不会超过_______.
（2）设,,…,是n个互不相同的正整数,求证:
（3）有10人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满第个人的水桶需要分钟,假定这些各不相同.问只有一个水龙头时,应如何安排10人的顺序,使他们等候的总时间最少?这个最少的总时间等于多少?
参考答案
1．答案：A
解析：集合,,
则.
故选:A.
2．答案：B
解析：,
注意到真包含于,则B是A的真子集.
则,得不到,
即“”是“”的必要不充分条件.
故选:B
3．答案：D
解析：由集合A有且仅有2个子集,得集合A有且只有1个元素,即方程有唯一解,
当时,方程有唯一解,符合题意,则,
当时,一元二次方程有相等实根,,解得,
,方程的根为;,方程的根为1,符合题意,因此,
所以a的取值是0,,.
故选:D
4．答案：A
解析：窗户面积为,地板面积为,则窗户面积与地板面积的比值为,
同时增加的窗户和地板面积后的比值为,
,
,
,即,
故这所公寓的采光效果变好了.
故选:A.
5．答案：A
解析：因为,关于x的不等式恒成立,
所以恒成立,故恒成立,
令,故即可,
而,当且仅当时取等,此时解得,
故,即,故A正确.
故选:A
6．答案：B
解析：设
,
则,
所以,
又,,
则,
所以,
故选:
7．答案：C
解析：因为函数的定义域为,所以的定义域为.又因为,即,所以函数的定义域为.
故选:C.
8．答案：D
解析：因为不等式对于一切实数x恒成立,
所以,
又因为,使得成立,
所以,所以,
即,,,
所以,
当且仅当时取得最小值.
故选:D.
9．答案：AD
解析：对于A,由元素和集合的关系,有,A选项正确;
对于B,集合是数集,集合是点集,两个集合不相等,B选项错误;
对于C,两个集合都是点集,但集合中点的坐标不同,两个集合不相等,C选项错误;
对于D,空集是任意集合的子集,D选项正确.
故选:AD.
10．答案：BC
解析：因为方程至多有一个实数根,
所以方程的判别式,
即:,解得,
利用必要条件的定义,结合选项可知,成立的必要条件可以是选项B和选项C,
故选:BC.
11．答案：ACD
解析：对于选项A,因为,则,
当且仅当,即时取等号,所以选项A正确,
对于选项B,因为正数x,y满足,则,
则
当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为3,故选项B错误,
对于选项C,由,得到,当且仅当时取等号,
令,得到,即,解得,所以,
当且仅当,时取等号,故选项C正确,
对于选项D,,所以,当且仅当时取等号,
所以,得到,
当且仅当,时,等号成立,所以的最大值为,故选项D正确,
故选:ACD.
12．答案：
解析：不等式化为:,即,
则,解得,
所以不等式的解集为.
故答案为:
13．答案：0
解析：当时,解得,
当时,解得,
则,
因为在上单调递减,
在上单调递增,
所以时,有最小值,且.
故答案为:0
14．答案：
解析：因为,所以,,.
所以恒成立,
又,
当且仅当,即时等号成立.
所以.
故答案为:.
15．答案：（1）;
（2）
解析：（1）设二次函数,因为,
所以,故此时函数解析式为,
因为,令,所以,
令,所以,因,所以,
因为,所以,将两个式子联立,
解得,,故二次函数解析式为,
（2）因为,且令,所以,
故,化简得,
即函数的解析式为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由,得
①若,即时,,符合题意;
②若,即时,需或,解得.
综上,实数m的取值范围为.
（2）p是q的充分不必要条件,
,
A是B的真子集.
则不同时取等号,解得.
实数m的取值范围为.
17．答案：该个体户可对A商品投入3万元,对B商品投入2万元,这样可以获得11万元的最大收益.
解析：（1）当时,,
,当且仅当,即时取“=”;
（2）当时,,
,当时,取“=”.
,最大收益为11万元.
该个体户可对A商品投入3万元,对B商品投入2万元,这样可以获得11万元的最大收益
18．答案：（1）
（2）答案见解析
（3）
解析：（1）由函数,
因为不等式恒成立,即不等式恒成立,
当时,不等式即为,显然不成立,舍去;
当时,要使得恒成立,则满足,
即,解得,即m的取值范围为.
（2）由不等式,可得,
即,
若时,不等式即为,解得,不等式的解集为;
若时,不等式可化为,
①当时,不等式等价于,解得或,
不等式的解集为;
②当时,不等式等价于,
当时,即时,解得,不等式的解集为;
当时,即时,解得,不等式的解集为;
当时,即时,解得,不等式的解集为,
综上可得:当时,不等式的解集为;
当时,不等式解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为.
（3）由不等式在上恒成立,
即在上恒成立,
即在上恒成立,
因为,
则可转化为不等式在上恒成立,
设,,可得,
所以的最大值为,所以,可得,
所以实数m的取值范围为
19．答案：（1）30
（2）证明见解析
（3）各人按照注满各自水桶的时间从少至多的顺序排队打水.等候的总时间最少为,其中,,,…,为,,…,从小到大的一个顺序排列.
解析：（1）由题意,,,是,,,的任一排列,
则可看作,,,与,,,两组实数的“乱序和”;
则由排序不等式:乱序和顺序和,
得.
故空格处填:30.
（2）设两组数:,,…,与1,,,…,.
由,,…,是n个互不相同的正整数,
设,,…,是,,…,的一个排列,且满足,
即,,…,是这n个互不相同的正整数从小到大的排列,
因此,,…,.
又因为,
故由排序不等式:乱序和反序和,
得
.
故,命题得证.
（2）由题意可知,水龙头注满第个人的水桶需要分钟,
则第个人打水时,即个人都在等,需要等候总时间为,
故所有人打完水,他们等候的总时间为
.
设两组数:,,…,与10,9,8,…,1.
由假定,这些各不相同,
设,,,…,为,,…,的一个排列,且,
又因为,
由排序不等式:乱序和反序和,
得.
所以只有一个水龙头时,要使他们等候的总时间最少,应安排需要时间最少的人总是先打水,即各人按照注满各自水桶的时间从少至多的顺序排队打水.等候的总时间最少为,其中,,,…,为,,…,从小到大的一个顺序排列.