2025年中考数学一轮复习题型分类练习专题15 二次函数的图像与性质【十大题型】（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc9716" 【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】 PAGEREF _Tc9716 \h 3
\l "_Tc6564" 【题型2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质】 PAGEREF _Tc6564 \h 6
\l "_Tc23440" 【题型3 二次函数平移变换问题】 PAGEREF _Tc23440 \h 12
\l "_Tc14664" 【题型4 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】 PAGEREF _Tc14664 \h 15
\l "_Tc1625" 【题型5 根据二次函数的性质求最值】 PAGEREF _Tc1625 \h 18
\l "_Tc14949" 【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】 PAGEREF _Tc14949 \h 21
\l "_Tc8882" 【题型7 根据二次函数自变量的情况求函数值的取值范围】 PAGEREF _Tc8882 \h 24
\l "_Tc6633" 【题型8 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】 PAGEREF _Tc6633 \h 27
\l "_Tc11163" 【题型9 二次函数图象与各项系数符号】 PAGEREF _Tc11163 \h 29
\l "_Tc14709" 【题型10 二次函数与三角形相结合的应用方法】 PAGEREF _Tc14709 \h 34
【知识点 二次函数的图像与性质】
1.定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a.b.c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a.b.c分别是函数解析式的二次项系数.一次项系数.常数项。
二次函数解析式的表示方法
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，
它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，
其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ．
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
2.二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
3.二次函数的平移：
方法一：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：
方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
4.二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2.b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
3.c决定了抛物线与轴交点的位置
5.二次函数与一元二次方程之间的关系
当b2－4ac＜0时
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】
【例1】（2023·四川甘孜·统考中考真题）下列关于二次函数y=(x-2)2-3的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线B．图象与x轴没有交点
C．当x0，图象的开口向上，故此选项不符合题意；
B、∵ y=(x-2)2-3=x2-4x+1，
∴ Δ=(-4)2-4×1×1=12>0，
即图象与x轴有两个交点，
故此选项不符合题意；
C、∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，
∴当xy2；④若y1=y2，则x1+x2=-2其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据对称轴公式x=-b2a=-4a2a=-2可判断①；当x=0时，y=3，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到x1+x22=-2，可以判断④．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+4ax+3（a是常数，a≠0，
∴x=-b2a=-4a2a=-2，
故①正确；
当x=0时，y=3，
∴点0,3在抛物线上，
故②正确；
当a>0时，y1>y2，
当a92时，y1-y2x1-x20,y1-y2>0，即可判断②；根据y=mx2-6mx-5=mx-32-5-9m，然后进行分类讨论：当m>0时，当m0且n≤x≤3时，得出y随x的增大而减小，根据x=3时，y=-5-9m=-14，求出m=1，则当x=n时，y=n2-6n-5=n2+1，求出n的值，即可判断④．
【详解】解：①∵二次函数y=mx2-6mx-5m≠0，
∴该函数的对称轴为直线x=--6m2m=3，
∵x1=3+a，x2=3-a，
∴x1+x22=3，即x1,y1和x2,y2关于直线x=3对称，
∴x1=3+a对应的函数值与x2=3-a对应的函数值相等，故①正确，符合题意；
②把C2,-13代入y=mx2-6mx-5m≠0得： -13=4m-12m-5，
解得：m=1，
∴二次函数表达式为y=x2-6x-5，
∵a=1>0，该函数的对称轴为直线x=3，
∴当x>3时，y随x的增大而增大，
∵x1>x2>92，
∴y1>y2，
∴x1-x2>0,y1-y2>0，
∴y1-y2x1-x2>0，故②不正确，不符合题意；
③∵y=mx2-6mx-5=mx-32-5-9m，
∴当x=3时，y=-5-9m，当x=6时，y=-5，
当m>0时，
∵3≤x≤6，
∴y随x的增大而增大，
∵3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，
∴四个整数解为：-5,-6,-7,-8，
∴-90可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿x轴向上翻折而成，
∴c＝-3，故②错误；
∵y=ax2+bx+ca>0,b2-4ac>0中a＞0，-b2a=1，
∴b＜0，
又∵c＝-3＜0，
∴abc>0，故③正确；
设抛物线y=ax2+bx+c的解析式为y=ax+1x-3，
代入（0，3）得：3=-3a，
解得：a＝－1，
∴y=-x+1x-3=-x2+2x+3=-x-12+4，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．
【题型4 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】
【例4】（2023·浙江杭州·一模）点Ax1,y1，Bx2,y2在抛物线y=ax2-2ax-3a≠0上，存在正数m，使得-2