2025年中考数学一轮复习题型分类练习专题21 等腰三角形【十六大题型】（2份，原卷版+解析版）

这是一份2025年中考数学一轮复习题型分类练习专题21 等腰三角形【十六大题型】（2份，原卷版+解析版），文件包含2025年中考数学一轮复习题型分类练习专题21等腰三角形十六大题型原卷版docx、2025年中考数学一轮复习题型分类练习专题21等腰三角形十六大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共134页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc5875" 【题型1 根据等边对等角求解或证明】 PAGEREF _Tc5875 \h 3
\l "_Tc18477" 【题型2 根据三线合一求解或证明】 PAGEREF _Tc18477 \h 6
\l "_Tc7392" 【题型3 格点图中画等腰三角形】 PAGEREF _Tc7392 \h 12
\l "_Tc6673" 【题型4 根据等角对等边证明或求解】 PAGEREF _Tc6673 \h 16
\l "_Tc21330" 【题型5 确定构成等腰三角形的点】 PAGEREF _Tc21330 \h 22
\l "_Tc27903" 【题型6 等腰三角形性质与判定综合】 PAGEREF _Tc27903 \h 25
\l "_Tc2008" 【题型7 利用等边三角形的性质求解】 PAGEREF _Tc2008 \h 32
\l "_Tc5921" 【题型8 等边三角形的判定】 PAGEREF _Tc5921 \h 42
\l "_Tc17278" 【题型9 等腰/等边三角形有关的动点问题】 PAGEREF _Tc17278 \h 49
\l "_Tc686" 【题型10 探究等腰/等边三角形中线段间存在的关系】 PAGEREF _Tc686 \h 55
\l "_Tc16247" 【题型11 等腰/等边三角形有关的新定义问题】 PAGEREF _Tc16247 \h 66
\l "_Tc1156" 【题型12 等腰/等边三角形有关的折叠问题】 PAGEREF _Tc1156 \h 75
\l "_Tc17363" 【题型13 等腰/等边三角形有关的规律探究问题】 PAGEREF _Tc17363 \h 82
\l "_Tc6258" 【题型14 利用等腰/等边三角形的性质与判定解决多结论问题】 PAGEREF _Tc6258 \h 86
\l "_Tc26912" 【题型15 利用垂直平分线的性质求解】 PAGEREF _Tc26912 \h 94
\l "_Tc14561" 【题型16 线段垂直平分线的判定】 PAGEREF _Tc14561 \h 101
【知识点 等腰三角形】
等腰三角形
1.等腰三角形的概念：有两边相等的三角形角等腰三角形．
2.等腰三角形性质：
1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.
3.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
易错混淆：
1. 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.
2. 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°.
3. 等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．
4. 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
5. 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则b2b．记△ABC的面积为S．
(1)如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S2．
①若S1=9，S2=16，求S的值；
②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S2-S1=2S．
(2)如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S2-S1与S之间的等量关系，并说明理由．
【答案】(1)①6；②见解析
(2)S2-S1=14S，理由见解析
【分析】（1）①将面积用a，b的代数式表示出来，计算，即可
②利用AN公共边，发现△FAN∽△ANB，利用FAAN=ANNB，得到a，b的关系式，化简，变形，即可得结论
（2）等边△ABF与等边△CBE共顶点B，形成手拉手模型，△ABC≌△FBE，利用全等的对应边，对应角，得到：AC＝FE＝b，∠FEB＝∠ACB＝90°，从而得到∠FEC＝30°，再利用Rt△CFE，cs30°=FECE=ba=32，得到a与b的关系，从而得到结论
【详解】（1）∵S1=9，S2=16
∴b＝3，a＝4
∵∠ACB＝90°
∴S=12ab=12×3×4=6
②由题意得：∠FAN＝∠ANB＝90°，
∵FH⊥AB
∴∠AFN＝90°－∠FAH＝∠NAB
∴△FAN∽△ANB
∴FAAN=ANNB
∴a+ba=ab，
得：ab+b2=a2
∴2S+S1=S2．
即S2-S1=2S
（2）S2-S1=14S，理由如下：
∵△ABF和△BEC都是等边三角形
∴AB＝FB，∠ABC＝60°－∠FBC＝∠FBE，CB＝EB
∴△ABC≌△FBE（SAS）
∴AC＝FE＝b
∠FEB＝∠ACB＝90°
∴∠FEC＝30°
∵EF⊥CF，CE＝BC＝a
∴ba=FECE=cs30°=32
∴b=32a
∴S=12ab=34a2
由题意得：S1=34b2，S2=34a2
∴S2-S1=34a2-34b2=316a2
∴S2-S1=14S
【点睛】本题考查勾股定理，相似，手拉手模型，代数运算，本题难点是图二中的相似和图三中的手拉手全等
【变式10-2】（2023·湖北十堰·统考一模）在Rt△ABC中，AB=AC,D为BC边上一点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE．

(1)如图1，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是_________，位置关系是________；
(2)如图2，当点D在BC的延长线上时，连接EC，写出此时线段AD,BD,CD之间的等量关系，并加以证明；
(3)如图3，在四边形ABCF中，∠ABC=∠ACB=∠AFC=45°．若BF=13,CF=5，请直接写出AF的长．
【答案】(1)BD=CE，BD⊥CE
(2)2AD2=BD2+CD2，证明见解析
(3)AF=62
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；
（2）证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE，根据勾股定理计算即可；
（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△BAF≌△CAG，得到CG=BF=13，证明△CFG是直角三角形，根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=90°，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∵AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE ，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠BCE=45°+45°=90°，
故答案为BD=CE，BD⊥CE；
（2）2AD2=BD2+CD2，理由是：如图2，

∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∵△BAD≌△CAESAS，
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，
∴DE2=CE2+CD2，
∵AD=AE，∠DAE=90°，
∴DE＝2AD，
∴2AD2=BD2+CD2；
（3）如图3，将AF绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、FG，

则△FAG是等腰直角三角形，
∴∠AFG=45°，
∵∠AFC=45°，
∴∠GFC=90°，
同理得：△BAF≌△CAG，
∴CG=BF=13，
Rt△CGF中，
∵CF=5，
∴FG=12，
∵△FAG是等腰直角三角形，
∴AF＝122=62．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题关键．
【变式10-3】（2023·安徽滁州·校考模拟预测）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA=OB，OC=OD，连接AC、BD交于点M．
(1)如图1．若∠AOB=∠COD=40°，则AC与BD的数量关系为___________；∠AMB的度数为___________；
(2)如图2，若∠AOB=∠COD=90°，判断AC与BD之间存在怎样的关系？并说明理由；
(3)在（2）的条件下，当∠ABC=60°，且点C与点M重合时，请直接写出OD与OA之间存在的数量关系．
【答案】(1)AC=BD，40°
(2)AC=BD，AC⊥BD，理由见解析
(3)OD=3-12OA或OD=3+12OA
【分析】（1）设OA、BD相交于H，证明△AOC≌△BOD得到AC=BD，∠OAC=∠OBD，再利用的内角和定理和对顶角相等求解即可；
（2）同（1），证明△AOC≌△BOD得到AC=BD，∠OAC=∠OBD，再利用的内角和定理和对顶角相等求解即可；
（3）由题意，B、C、D三点共线，有两种情况，分别画出图形，利用（2）中结论和含30度角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质得到BC=12AB，AC=32AB，再根据CD=2OD，AB=2OA即可得出数量关系．
【详解】（1）解：如图1，设OA、BD相交于H，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
∴∠BOD=∠AOC，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OB，
∴△AOC≌△BODSAS，
∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，
∵∠AMB+∠OAC=180°-∠AHM，∠AOB+∠OBD=180°-∠OHB，∠AHM=∠OHB，
∴∠AMB=∠AOB=40°，
故答案为：BD=AC，40°；
（2）解：AC=BD，AC⊥BD，理由为：
设OA、BD相交于H，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
∴∠BOD=∠AOC，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OB，
∴△AOC≌△BODSAS，
∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，
∵∠AMB+∠OAC=180°-∠AHM，∠AOB+∠OBD=180°-∠OHB，∠AHM=∠OHB，
∴∠AMB=∠AOB=90°；
（3）解：由题意，B、C、D三点共线，有两种情况：
①如图3，
∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，
∴∠OAB=∠OBA=∠OCD=∠ODC=45°，AB=2OA，CD=2OD，
由（2）知△BOD≌△AOCSAS，
∴∠ACO=∠BDO=45°，AC=BD，
∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=90°，即∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠ABC=30°，
∴BC=12AB，则AC=AB2-BC2=32AB，
∴CD=BD-BC=AC-BC =32AB-12AB=3-12AB，
则2OD=3-12×2OA，
∴OD=3-12OA；
②如图四，
同上，AB=2OA，CD=2OD， ∠ACB=90°，BC=12AB，AC=32AB，
∴CD=BD+BC=AC+BC=32AB+12AB=3+12AB，
则2OD=3+12×2OA，
∴OD=3+12OA，
综上，OD=3-12OA或OD=3+12OA．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形性质，三角形的内角和定理、全等三角形判定和性质，含30°的直角三角形性质，勾股定理等知识，解答的关键是熟练掌握全等三角形判定和性质，利用类比的方法，先根据题（1）中的特例感知解决问题的方法，且得出重要的结论，在此结论基础上深入探究，结合此结论解决问题．
【题型11 等腰/等边三角形有关的新定义问题】
【例11】（2023·四川成都·统考二模）定义：如图1，在△ABC中，点P在BC边上，连接AP，若AP的长恰好为整数，则称点P为BC边上的“整点”．
如图2，已知等腰三角形的腰长为10，底边长为6，则底边上的“整点”个数为 ；
如图3，在△ABC中，AB=25，AC=29，且BC边上有6个“整点”，则BC的长为 ．
【答案】 5 9
【分析】设整点与等腰三角形的顶点的连线的距离为l，l为整数，根据等腰三角形的性质以及勾股定理得出1≤l