2025年中考数学一轮复习精品讲义第34讲 概率（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc158810826" \l "_Tc158641572" \l "_Tc158497700" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc158810827" 考点一 概率的相关概念
\l "_Tc158810828" 题型01 事件的分类
\l "_Tc158810829" 题型02 判断事件发生可能性的大小
\l "_Tc158810830" 题型03 理解概率的意义
\l "_Tc158810831" 题型04 判断几个事件概率的大小关系
\l "_Tc158810832" 考点二 概率的计算方法
\l "_Tc158810833" 题型01 根据概率公式计算概率
\l "_Tc158810834" 题型02 根据概率作判断
\l "_Tc158810835" 题型03 已知概率求数量
\l "_Tc158810836" 题型04 列举法求概率
\l "_Tc158810837" 题型05 画树状图法/列表法求概率
\l "_Tc158810838" 题型06 几何概率
\l "_Tc158810839" 题型07 由频率估计概率
\l "_Tc158810840" 题型08 用频率估计概率的综合应用
\l "_Tc158810841" 题型09 放回实验概率计算方法
\l "_Tc158810842" 题型10 不放回实验概率计算方法
\l "_Tc158810843" 题型11 游戏公平性
\l "_Tc158810844" 题型12 概率的应用
\l "_Tc158810845" 题型13 概率与统计综合
考点一 概率的相关概念
1. 概率的定义及计算公式
概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，记为P(A).
概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数,它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.
概率公式： P(随机事件)= 随机事件出现的次数所有可能出现的结果数.
2.确定事件与随机事件
题型01 事件的分类
【例1】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是（ ）
A．必然事件B．确定性事件C．不可能事件D．随机事件
【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．水落石出B．水涨船高C．水滴石穿D．水中捞月
【变式1-2】（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）下列事件是必然事件的是（ ）
A．三角形内角和是180°B．端午节赛龙舟，红队获得冠军
C．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况
【变式1-3】（2021·贵州贵阳·统考一模）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合1个开关B．只闭合2个开关C．只闭合3个开关D．闭合4个开关
【变式1-4】（2024·福建福州·校考一模）下列事件中是随机事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起
B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯
C．平面内不共线的三点确定一个圆
D．任意画一个三角形，其内角和是540°
题型02 判断事件发生可能性的大小
【例2】（2022·广东中山·统考一模）某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正确的是（ ）
A．小星抽到数字1的可能性最小B．小星抽到数字2的可能性最大
C．小星抽到数字3的可能性最大D．小星抽到每个数的可能性相同
【变式2-1】（2021·河北唐山·统考一模）下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能是（ ）
A．1B．3C．5D．10
【变式2-3】（2023·贵州贵阳·校考一模）将4张质地相同的卡片背面朝上放置，正面分别标有1～4四个数字，随机抽出一张，出现可能性最大的是（ ）
A．数字大于2的卡片B．数字小于2的卡片
C．数字大于3的卡片D．数字小于4的卡片
判断事件发生的可能性大小，首先看是什么事件，必然事件的可能性最大为100%，不可能事件的可能性最小为0，随机事件的可能性有大有小，其发生可能性介于0－100%．在随机事件中，要想判断随机事件发生的概率就要列举出随机事件中可能出现的各种结果，其中包含的结果数多的事件发生的可能性大．所以平时要多加练习如何列举全随机事件中包含的各种结果，如果少列举一种都会造成错误结果．
题型03 理解概率的意义
【例3】（2022·广东深圳·校考一模）“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P，则（ ）
A．P＝0B．0＜P＜1C．P＝1D．P＞1
【变式3-1】（2022·安徽芜湖·统考一模）县气象站天气预报称，明天千岛湖镇的降水概率为90%，下列理解正确的是（ ）
A．明天千岛湖镇下雨的可能性较大
B．明天千岛湖镇有90%的地方会下雨
C．明天千岛湖镇全天有90%的时间会下雨
D．明天千岛湖镇一定会下雨
【变式3-2】（2022·河北石家庄·校联考一模）抛掷一枚质地均匀的硬币时，正面向上的概率是0.5．则下列判断正确的是（ ）
A．连续掷2次时，正面朝上一定会出现1次
B．连续掷100次时，正面朝上一定会出现50次
C．连续掷2n次时，正面朝上一定会出现n次
D．当抛掷次数越大时，正面朝上的频率越稳定于0.5
【变式3-3】（2023·山西晋城·统考一模）在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代物，但下列物品不能做替代物的是（ ）
A．一枚均匀的普通六面体骰子B．两张扑克牌(一张黑桃，一张红桃)
C．两个只有颜色不同的小球D．一枚图钉
题型04 判断几个事件概率的大小关系
【例4】（2021·福建福州·福州三牧中学校考二模）在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（ ）
A．4个B．5个C．不足4个D．6个或6个以上
【变式4-1】（2023·广东云浮·统考二模）任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是（ ）
A．朝上一面的点数大于2B．朝上一面的点数为3
C．朝上一面的点数是2的倍数D．朝上一面的点数是3的倍数
【变式4-2】（2020·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）桌子上有6杯同样型号的杯子，其中1杯84消毒液，2杯75%的酒精，3杯双氧水，从6个杯子中随机取出1杯，请你将下列事件发生的可能性从大到小排列： ．（填序号 即可）①取到75%的酒精；②取到双氧水；③没有取到75%的酒精；④取到84消毒液．
考点二 概率的计算方法
1. 当一次试验要涉及两个因素或一个因素做两次试验并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常可以采用列表法，也可以用树状图法. 当试验包含三步或三步以上时，不能用列表法，用画树状图法比较方便.
2. 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，且随实验次数的增多，值越来越精确.
题型01 根据概率公式计算概率
【例1】（2023·广西·模拟预测）书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为（ ）
A．14B．13C．12D．23
【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（ ）
A．34B．12C．13D．14
【变式1-2】（2023·广西·模拟预测）老师从甲、乙，丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，选中甲同学的概率是（ ）
A．15B．14C．13D．34
【变式1-3】（2023·辽宁抚顺·统考一模）如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数（若指针正好指向分界线，则重新转一次），这个数是一个奇数的概率是 ．
题型02 根据概率作判断
【例2】（2020·北京·一模）一个不透明的袋中装有8个黄球，m个红球，n个白球，每个球除颜色外都相同．任意摸出一个球，是黄球的概率与不是黄球的概率相同，下列m与n的关系一定正确的是（ ）
A．m=n=8B．n-m=8C．m+n=8D．m-n=8
【变式2-1】（2015·河北石家庄·统考一模）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是0.5，则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路A，B之间，电流能够正常通过的概率是 ．
【变式2-2】（2023·福建厦门·统考一模）一个不透明盒子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从该盒子中随机摸出1个球，请写出概率为13的事件： ．
题型03 已知概率求数量
【例3】（2023·广东·统考二模）一个不透明的口袋中装有n个白球，为了估计白球的个数，向口袋中加入两个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在10%附近，则n的值为（ ）
A．18B．20C．22D．24
【变式3-1】（2023·山东临沂·统考一模）一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别.若任意摸出一个球，摸出红球的概率为14，则这个箱子中黄球的个数为 个．
【变式3-2】（2018·四川成都·成都外国语学校校考一模）袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为34”，则这个袋中白球大约有 个．
【变式3-3】（2020·辽宁鞍山·统考一模）在一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为 ．
【变式3-4】（2023·广西南宁·广西大学附属中学校联考一模）黔东南州某校数学兴趣小组开展摸球试验，具体操作如下：在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的小球共4个，这些球除颜色外无其它差别，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后再把它放回盒子里搅匀，再随机摸出一球记下颜色，不断重复摸球实验．下表是这次活动的一组统计数据：
(1)请你根据上表统计数据估计：从不透明的盒子里随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率约为___________（精确到0.01）；
(2)试估算盒子里有多少个白球？
(3)根据第（2）题的估算结果，若从盒子里随机摸出两球，请画树状图或列表求“摸到两个颜色相同小球”的概率．
题型04 列举法求概率
【例4】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（ ）
A．13B．38C．12D．23
【变式4-1】（2023·广东佛山·校考一模）宋代程颢的《秋月》有四句古诗如下：
①空水澄鲜一色秋；②白云红叶两悠悠；
③清溪流过碧山头；④隔断红尘三十里
这四句古诗的顺序被打乱了，敏敏想把这四句古诗调整为正确位置，则她第一次就调整正确的可能性是（ ）
A．112B．118C．124D．164
【变式4-2】．（2021·山东潍坊·校考二模）现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为 ．
题型05 画树状图法/列表法求概率
【例5】（2023·山东济南·统考一模）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）
A．12B．14C．34D．512
【变式5-1】（2022·广东深圳·校考一模）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（ ）
A．112B．16C．13D．12
【变式5-2】（2023·辽宁沈阳·模拟预测）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字．
(1)第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______；
(2)用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
【变式5-3】（2023·陕西宝鸡·统考一模）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放．
(1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是______；
(2)若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率．
【变式5-4】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是−6，−1，8，转盘乙上的数字分别是−4，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．
(1)转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是__________；转盘乙指针指向正数的概率是__________．
(2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为b，请用列表法或树状图法求满足a+b