2025南京高二上学期期中考试数学含解析

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1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1. 下列四组数据中，方差最小的是（ ）
A. 5，5，5，5，5，5，5，5B. 4，4，4，5，5，5，6，6
C. 3，3，4，4，5，6，6，7D. 2，2，2，2，2，5，8，8
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
4. 两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5. 若方程表示焦点在轴上椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 底面直径与高相等的圆柱的体积为，则该圆柱的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7 已知点，若圆上任意一点都满足，则实数（ ）
A. B. C. 2D. 3
8. 抛物线准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.
9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记“第一枚硬币正面朝上”为事件，“第二枚硬币反面朝上”为事件，则（ ）
A. B.
C. 和是互斥事件D. 和是相互独立事件
10. 在矩形ABCD中，.若，则（ ）
A.
B.
C. 以CE为直径的圆与直线BF相切
D. 直线AE与BF的交点在矩形ABCD的外接圆上
11. 已知椭圆，直线与交于A，B两点，点为上异于A，B的动点，则（ ）
A. 当时，B.
C. 存在点，使得D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12. 若直线与垂直，则实数______.
13. 已知，则______.
14. 历史上最早系统研究圆锥曲线是古希腊学者梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图（1），从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知图（2）中，双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点分别为，直线平分，过点作的垂线，垂足为，且.则当反射光线经过点时，______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求；
（2）若，求的面积.
16. 已知点在抛物线上，直线经过点，且在轴上的截距为.
（1）求的值和直线的方程；
（2）记与的另一个交点为，求经过，，三点的圆的方程.
17. 在四面体PABC中，M，N分别为PC，BC的中点.

（1）证明:平面；
（2）若平面，四面体PABC的体积为2，且，求MN与平面PAC所成角的正弦值.
18. 已知圆，圆，过点作圆的切线，切线的长为2．
（1）求圆的方程；
（2）直线经过点，且与圆交于A，B两点，，
①求的方程和的值；
②若动圆与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心到点距离的最小值.
19. 已知椭圆的右顶点为，上顶点为，离心率为.
（1）求方程；
（2）直线平行于直线AB，且与交于M，N两点，
①P，Q是直线AB上的两点，满足四边形MNPQ为矩形，且该矩形的面积等于，求的方程；
②当直线AM，BN斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值.