2025南京某校高二上学期第二次月考试题（期中模拟）数学含解析

这是一份2025南京某校高二上学期第二次月考试题（期中模拟）数学含解析，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人： 审题人：
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为（ ）
A．B．
C．D．
6．在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若小组的每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（ ）
A．甲组中位数为3，极差为5B．丙组平均数为2，方差为3
C．乙组平均数为2，众数为2D．丁组平均数为2，第85百分位数为7
7. 已知圆：关于直线对称，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8．斜率为的直线经过双曲线 QUOTE C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0 的左焦点，交双曲线两条渐近线于两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对分别记0分、2分、4分或0分、3分，有选错的得0分.
9．连续地掷一枚质地均匀的股子两次，记录每次的点数，记事件为“第一次出现2点”，事件为“第二次的点数小于等于4点”，事件为“两次点数之和为奇数”，事件为“两次点数之和为9"，则下列说法正确的是（ ）
A．与不是互斥事件B．与相互独立
C．与相互独立D．与相互独立
10．已知点O为坐标原点，直线与抛物线相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．线段的中点到x轴的距离为2
11．已知平面四边形中，，和，将平面四边形沿对角线翻折，得到四面体.则下列说法正确的是（ ）
A．无论翻折到何处，
B．四面体的体积的最大值为
C．当时，四面体的外接球的体积为
D．当时，二面角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12．已知，则的值为 .
13．已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是 ．
14．某中学开展“劳动创造美好生活”的劳动主题教育活动，展示劳动实践成果并进行评比，某学生设计的一款如图所示的“心形”工艺品获得了“十佳创意奖”，该“心形”由上、下两部分组成，并用矩形框虚线进行镶嵌，上部分是两个半径都为的半圆，分别为其直径，且，下部分是一个“半椭圆”，并把椭圆的离心率叫做“心形”的离心率．
（1）若矩形框的周长为，则当该矩形框面积最大时， ；
（2）若，图中阴影区域的面积为，则该“心形”的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应该写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15．（13分）已知分别为△ABC三个内角的对边，且．
(1)求；
(2)若，边上的高为1，求△ABC的周长．
16．（15分）已知圆过点，圆心在直线上，且直线与圆相切.
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线交圆于两点.若为线段的中点，求直线的方程.
17．（15分）椭圆过点且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于两点，，求的面积.
18．（17分）如图，在直三棱柱中，，.
(1)设平面与平面ABC的交线为l，判断l与AC的位置关系，并证明；
(2)求证：；
(3)若与平面所成的角为30°，求三棱锥内切球的表面积S.
19．（17分）已知动圆过定点，且与直线相切.
(1)求动圆圆心轨迹的方程；
(2)设过点的直线交轨迹于，两点，已知点，直线，分别交轨迹于另一个点，.若直线和的斜率分别为，.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）设直线，的交点为，求线段长度的最小值.南京市第二十九中学高二上市统考模拟2
数学
命题人： 审题人：
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由直线过的两点的坐标，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小.
【详解】直线l经过点，所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，
即，所以.
故选：B.
2．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由复数的除法运算法则和虚部的定义得到结果.
【详解】由，，
所以的虚部为.
故选：C.
3．已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据两条直线平行，求出值，再应用平行线间的距离公式求值即可.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解之得.
于是直线，即，
所以与之间的距离为.
故选：A
4．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据投影向量的定义结合数量积的运算律计算即可.
【详解】因为,所以,
所以,
又因为,所以,
则在上的投影向量为.
故选：A.
5．中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由正四棱台的侧面积求出斜高，再求出高及体积.
【详解】取正四棱台的上下底面的中心，棱的中点，
连接，则分别是正四棱台的高和斜高，
依题意，，解得，
在直角梯形中，，
则，
所以正四棱台的体积.
故选：D
6．在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若小组的每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（ ）
A．甲组中位数为3，极差为5B．丙组平均数为2，方差为3
C．乙组平均数为2，众数为2D．丁组平均数为2，第85百分位数为7
【答案】B
【分析】A选项，假设有选手失8分，根据极差得到最低失分为3分，中位数为3，故A错误；C选项，根据方差得到，若有选手失8分，则有，矛盾，故C正确；BD选项，举出反例即可判断.
【详解】A选项，假设存在选手失分超过7分，失8分，根据极差为5，得到最低失分为3分，
此时中位数为3，故假设可以成立，故A错误；
C选项，假设乙组的失分情况为，
满足平均数为2，众数为2，但该组不为“优秀小组”，B错误；
B选项，丙组的失分情况从小到大排列依次为，
丙组平均数为2，方差为3，即，
若，则，不合要求，故，
所以该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，故C正确；
D选项，，故从小到大，选取第9个数作为第85百分位数，
即从小到大第9个数为7，假设丁组失分情况为，
满足平均数为2，第85百分位数为7，但不是“优秀小组”，故D错误.
故选：B.
7. 已知圆：关于直线对称，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先由圆关于直线对称，则圆心在直线上，从而得到，即确定在直线上，再利用倍角公式，用表示，即，再利用几何意义，即可求出的最小值.
【详解】
由圆：，即可得圆心，半径，
由圆：关于直线对称，
可得圆心在直线上，
所以，即，所以在直线，
又过点作圆的两条切线，切点分别为，
则，
又在直线，
则可表示到直线上点的距离的平方，
所以的最小值为，
所以的最小值为，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：
本题的关键点是将求的最小值转化为求直线上的动点到圆：的最小值问题.
8．斜率为的直线经过双曲线 QUOTE C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0 的左焦点，交双曲线两条渐近线于两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】设为AB中点，由可得，从而确定点坐标，再用点差法探索双曲线中，的关系，从而确定离心率.
【详解】如图：

取为AB中点，则由题意：，，则，.
作轴于点，则，，
.
所以点坐标为.
再设，.
由，
且，，得：
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：根据是等腰三角形，从而得到垂直关系是问题的突破口.
二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对分别记0分、2分、4分或0分、3分，有选错的得0分.
9．连续地掷一枚质地均匀的股子两次，记录每次的点数，记事件为“第一次出现2点”，事件为“第二次的点数小于等于4点”，事件为“两次点数之和为奇数”，事件为“两次点数之和为9"，则下列说法正确的是（ ）
A．与不是互斥事件B．与相互独立
C．与相互独立D．与相互独立
【答案】ACD
【分析】根据互斥事件及相互独立事件的定义一一判断即可.
【详解】如第一次出现点，第二次出现点，此时事件、均发生，所以与不是互斥事件，故A正确；
依题意，，，，
又，即与相互独立，故C正确；
，即与相互独立，故D正确；
，即与不相互独立，故B错误.
故选：ACD
10．已知点O为坐标原点，直线与抛物线相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．线段的中点到x轴的距离为2
【答案】AC
【分析】联立方程组求得，且，结合选项，结合抛物线的定义和焦点弦，逐项判定，即可求解.
【详解】由抛物线，可得焦点，则直线过抛物线的焦点，
联立方程组，整理得到，显然，
设，可得，
对于A中，由抛物线的定义，可得，所以A正确；
对于B中，由 ，
所以与不垂直，所以B错误；
对于C中，由，可得，
由抛物线定义，可得，
则，所以C正确；
对于D中，线段的中点的到轴的距离为，所以D错误.
故选：AC.
11．已知平面四边形中，，和，将平面四边形沿对角线翻折，得到四面体.则下列说法正确的是（ ）
A．无论翻折到何处，
B．四面体的体积的最大值为
C．当时，四面体的外接球的体积为
D．当时，二面角的余弦值为
【答案】ACD
【分析】取线段的中点，连接，即可证明平面，从而判断A；当平面平面时，四面体的体积最大，由锥体的体积公式判断B；依题意可得两两互相垂直，将四面体补成正方体，求出正方体外接球的半径，即可判断C；将四面体补成棱长为的正方体，再确定二面角的平面角，即可判断D.
【详解】对于：取线段的中点，连接，
是等边三角形，在中，，
，
又平面，
平面，
又平面，即无论翻折到何处，，故A正确；
对于B：当平面平面时，四面体的体积最大，
又，平面平面，平面，所以平面，
又，，
所以，故B错误；
对于C：当时，，，
所以，，又，即两两互相垂直，且，
将四面体补成棱长为的正方体，则正方体的外接球即为四面体的外接球，
所以外接球半径，
所以外接球体积为，故C正确；
对于D：当时，，，
所以，，
将四面体补成棱长为的正方体，
取中点，中点，则，，所以，
又,平面，平面，
所以，所以，又，平面，
所以平面，又平面，所以，
是二面角的平面角，
又平面，平面，所以，
所以，则当时，二面角的余弦值为，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12．已知，则的值为 .
【答案】/
【分析】由条件结合两角差的正切公式可求，再结合二倍角正弦公式及同角关系将化为由表示的形式，由此可得结论.
【详解】由已知，所以，
所以.
故答案为：.
13．已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设Px,y，根据求出点的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.
【详解】设Px,y，因为点，，，
所以，即，
所以，可得圆心，半径，
由圆可得圆心，半径，
因为在圆上存在点满足，
所以圆与圆有公共点，
所以，整理可得：，
解得，
所以实数的取值范围是，
故答案为：.
14．某中学开展“劳动创造美好生活”的劳动主题教育活动，展示劳动实践成果并进行评比，某学生设计的一款如图所示的“心形”工艺品获得了“十佳创意奖”，该“心形”由上、下两部分组成，并用矩形框虚线进行镶嵌，上部分是两个半径都为的半圆，分别为其直径，且，下部分是一个“半椭圆”，并把椭圆的离心率叫做“心形”的离心率．
（1）若矩形框的周长为，则当该矩形框面积最大时， ；
（2）若，图中阴影区域的面积为，则该“心形”的离心率为 ．
【答案】 1 /0.5
【分析】空1：设矩形的宽为，写出面积表达式，利用二次函数的性质即可；
空2：建立合适的直角坐标系，求出点的坐标即可.
【详解】设矩形的宽为，则长为，
矩形面积，
当且仅当时，矩形框面积最大为9，
所以；
如图，以为轴，的中垂线为轴，直线交轴于点，
设为椭圆长轴，则，
所以圆圆
联立两圆方程得，
所以，，
所以扇形面积，
又因为，所以，即，
得，
，
解得，又，所以，
则.
故答案为：1；.
【点睛】关键点点睛：阴影部分面积的表示中的难点是，需要先利用相似三角形表示出点的横坐标即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应该写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15．已知分别为三个内角的对边，且．
(1)求；
(2)若，边上的高为1，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对原式使用正弦定理进行边换角，然后结合三角恒等变换进行计算求解；
（2）利用三角形的面积公式和余弦定理列方程组求解.
【详解】（1）由正弦定理，，即，
而，
结合两式可得，，
则，又，则，
故，即，
又，则，
上式化简为，则，故，
（2）根据三角形面积公式，可得，
由余弦定理，，即，
于是，故，
于是的周长为
16．已知圆过点，圆心在直线上，且直线与圆相切.
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线交圆于两点.若为线段的中点，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）设，从而得到，由在圆上，代入方程求解即可解决问题.
【详解】（1）设圆M的方程为，
因为圆过点，所以，
又因为圆心在直线上，所以②，
直线与圆M相切，得到③，
由①②③解得：因此圆的方程为
（2）设，因为A为线段BD的中点，所以，
因为在圆上，所以，解得或
当时，由可知直线的方程为；
当时，由可得斜率，
故直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
17．椭圆过点且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于两点，，求的面积.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）代入点坐标并于联立计算可得，求出椭圆的标准方程；
（2）联立直线和椭圆方程并利用向量数量积的坐标表示以及韦达定理即可得出，再由弦长公式计算可得结果.
【详解】（1）将代入椭圆方程可得，即，
又因为，所以，代入上式可得，
故椭圆的标准方程为；
（2）由(1)可得，
设直线的方程为，如下图所示：
联立，得，
所以，
则，
所以
，
解得，即，
所以，
则的面积.
18．如图，在直三棱柱中，，.
(1)设平面与平面ABC的交线为l，判断l与AC的位置关系，并证明；
(2)求证：；
(3)若与平面所成的角为30°，求三棱锥内切球的表面积S.
【答案】(1)，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由平面平面ABC可得平面ABC，从而根据线面平行的性质定理即可得证；
（2）连接，根据已知可得平面，从而即可证明；
（3）由题意，首先求出棱锥中各条棱的长度，然后利用等体积法计算三棱锥内切球的半径，最后计算其表面积即可得答案．
【详解】（1）解：判断.
证明如下：
∵为直三棱柱，
∴平面平面ABC，
∵平面，
∴平面ABC，
又平面平面，平面，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：连接，
∵三棱柱为直三棱柱，
∴平面，
∴，
又，，
∴AB⊥平面，又平面，
∴，
又∵直三棱柱中，，
∴四边形为正方形，∴，
∵，平面，平面，
∴平面，
又∵平面，∴；
（3）解：过作，垂足为D，连接CD，如图所示，
∵三棱柱为直三棱柱，
∴平面，又平面，
∴，
∵，，
∴平面，
∴为直线与平面所成的角，即，
∵，∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，又，∴.
设三棱锥内切球的半径为r，球心为O，连接OA，OB，OC，，
则由得，即，
∴三棱锥内切球的表面积.
19．已知动圆过定点，且与直线相切.
(1)求动圆圆心轨迹的方程；
(2)设过点的直线交轨迹于，两点，已知点，直线，分别交轨迹于另一个点，.若直线和的斜率分别为，.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）设直线，的交点为，求线段长度的最小值.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）3；
【分析】（1）根据给定条件，可得动圆圆心到定点的距离与到定直线的距离相等，利用抛物线的定义求解方程作答.
（2）（ⅰ）设直线的方程，与曲线的方程联立，设出，用分别表示点的纵坐标，再计算，作答.
（ⅱ）由（ⅰ）求出直线的方程，直线的方程，并联立求出交点的轨迹即可求解作答.
【详解】（1）依题意，动圆圆心到定点的距离与到定直线的距离相等，
因此动圆圆心的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
所以动圆圆心轨迹的方程为.
（2）（ⅰ）设，，，，
因为过点，显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，，
由消去x并整理，得，于是，
直线上任意点，有，而，
于是，又，因此直线的方程为，
由消去x并整理，得，则，同理得，
又，同理，
所以.
（ⅱ）由（ⅰ）知，当不垂直于x轴时，直线的斜率，
同理直线的斜率，
直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
由消去得，因此直线和的交点在定直线上，
当时，由对称性不妨令，直线的方程为，
由得点，同理点，因此直线的方程为，
直线的方程为，由解得：，点在直线上，
从而直线，的交点的轨迹为直线，点到直线的距离3，即为长度的最小值，
所以线段长度的最小值为3.
【点睛】结论点睛：点是抛物线上的两点，则直线斜率；点是抛物线上的两点，则直线斜率.