2025年中考数学二轮复习压轴题培优练习 图形面积问题（含答案）

这是一份2025年中考数学二轮复习压轴题培优练习 图形面积问题（含答案），共19页。试卷主要包含了2，故x=3，3)和C，等内容，欢迎下载使用。
如图，已知抛物线y=﹣x2＋ax＋b与x轴从左至右交于A、B两点，与y轴正半轴交于点C．设∠OCB=α，∠OCA=β，且tanα﹣tanβ=2，OC2=OA•OB．
(1)△ABC是否为直角三角形？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若抛物线的顶点为P，求四边形ABPC的面积．

如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D.点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s).
(1)当x= 时，PQ⊥AC，x= 时，PQ⊥AB；
(2)设△PQD的面积为y(cm2)，当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式为 ；
(3)当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；
如图，已知二次函数y=ax2＋eq \f(3,2)x＋c的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B，C，点C的坐标为(8，0)，连接AB、AC．
(1)请直接写出二次函数y=ax2＋eq \f(3,2)x＋c的表达式；
(2)判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；
(4)若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．

如图，已知抛物线y=eq \f(1,3)x2＋bx＋c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(﹣9，10)，AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线y=﹣x2＋bx＋c与x轴正半轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B(0，3)，点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线AB于点D，设P(x，0)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当0＜x＜3时，求线段CD的最大值；
(3)在△PDB和△CDB中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求相应x的值；
(4)过点B，C，P的外接圆恰好经过点A时，x的值为 ．(直接写出答案)
已知一元二次方程x2﹣4x＋3=0的两根是m，n且m＜n．如图，若抛物线y=﹣x2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)、B(0，n)．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C．根据图象回答，当x取何值时，抛物线的图象在直线BC的上方？
(3)点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交于点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标．
如图1，直线y=﹣eq \f(2,3)x＋2与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为A(﹣1，0)．
(1)求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；
(2)P在线段BC上的一个动点(与B、C不重合)，过点P作直线a∥y轴，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为m，△BCE的面积为S．
①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
②求S的最大值，并判断此时△OBE的形状，说明理由；
(3)过点P作直线b∥x轴(图2)，交AC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
已知抛物线l1：y=﹣x2＋2x＋3与x轴交于点A、B(点A在点B左边)，与y轴交于点C，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E(4，0)，与y轴交于点D(0，﹣2)．
(1)求抛物线l2的解析式；
(2)点P为线段AB上一动点(不与A、B重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线l1于点M，交抛物线l2于点N．
①当四边形AMBN的面积最大时，求点P的坐标；
②当CM=DN≠0时，求点P的坐标．
如图1，抛物线y=ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴、y轴分别交于点A(﹣1，0)、B(3，0)、点C三点．
(1)试求抛物线的解析式；
(2)点D(2，m)在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)如图2，在(2)的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线M：y=﹣eq \f(1,2)x2＋5经过点C(2，3)，直线y=kx＋b与抛物线相交于A、B两点，∠ACB=90°
(1)探究与猜想：
①探究：
取点B(6，﹣13)时，点A的坐标为(﹣eq \f(5,2)，eq \f(15,8))，直接写出直线AB的解析式 ；
取点B(4，﹣3)，直接写出AB的解析式为
②猜想：
我们猜想直线AB必经过一个定点Q，其坐标为 ．请取点B的横坐标为n，验证你的猜想；
(2)如图2，点D在抛物线M上，若AB经过原点O，△ABD的面积等于△ABC的面积，试求出一个符合条件的点D的坐标，并直接写出其余的符合条件的D点的坐标．
\s 0 答案
解：(1)△ABC是直角三角形．理由如下：
∵OC2=OA•OB，∴=，
又∵∠BOC=∠COA=90°，
∴Rt△BOC∽Rt△COA，
∴∠OCB=∠OAC；
又∵∠OCA＋∠OAC=90°，
∴∠OCA＋∠OCB=90°，即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；
(2)∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴方程﹣x2＋ax＋b=0有两个不同的实数根．
设这两个根分别为x1、x2，且x1＜x2，显然，x1＜0，x2＞0，
得A、B两点的坐标分别为A(x1，0)、B(x2，0)．
由根与系数的关系，有x1＋x2=a，x1•x2=﹣b．
对于抛物线y=﹣x2＋ax＋b，当x=0时，y=b，
∴C点的坐标为C(0，b)；
由已知条件OC2=OA•OB，得b2=(﹣x1)•x2，即b2=﹣x1•x2，∴b2=b，
∵点C在y轴的正半轴上，
∴b＞0，从而得b=1．
∵tanα=OB：OC，tanβ=OA：OC，
由tanα﹣tanβ=2，得OC：OB=OA：OC=2，即OB﹣OA=2OC，
得x2﹣(﹣x1)=2b，x2＋x1=2b，即a=2b，
∴a=2．∴抛物线的解析式为：y=﹣x2＋2x＋1；
(3)由抛物线的解析式y=﹣x2＋2x＋1配方得：y=﹣(x﹣1)2＋2，
∴其顶点P的坐标为P(1，2)．
解方程﹣x2＋2x＋1=0，得x1=1﹣eq \r(2)，x2=1＋eq \r(2)，
∴A(1﹣eq \r(2)，0)，B(1＋eq \r(2)，0)．
设过P、C两点的直线与x轴交于点D，直线的解析式为：y=kx＋1，
把P(1，2)坐标代入，得k=1，
∴直线PC：y=x＋1，当y=0时，x=﹣1，
即点D的坐标为D(﹣1，0)．
∵﹣1＜1﹣eq \r(2)，
∴点D在点A的左边，
作PF⊥x轴于点F，
∴S四边形ABPC=S△PDB﹣S△CDA=eq \f(1,2)DB•PF﹣eq \f(1,2)DA•OC
=eq \f(1,2)[(1＋eq \r(2))＋1]×2﹣eq \f(1,2)[(1﹣eq \r(2))＋1]×1=1＋eq \f(3\r(2),2)，
即四边形ABPC的面积为1＋eq \f(3\r(2),2).
解：(1)当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC，
当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4﹣x；
∵AB=BC=CA=4，∴∠C=60°；
若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，∴PC=2CQ，
∴4﹣x=2×2x，∴x=eq \f(4,5)；
当x=eq \f(4,5)(Q在AC上)时，PQ⊥AC；如图：①
当PQ⊥AB时，BP=x，BQ=eq \f(1,2)x，AC＋AQ=2x；
∵AC=4，∴AQ=2x﹣4，
∴2x﹣4＋eq \f(1,2)x=4，
∴x=3.2，故x=3.2时PQ⊥AB；
综上所述，当PQ⊥AB时，x=eq \f(4,5)或3.2.
(2)y=﹣eq \f(\r(3),2)x2＋eq \r(3)x，
如图②，当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QN⊥BC于N；
∵∠C=60°，QC=2x，
∴QN=QC×sin60°=eq \r(3)x；
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=eq \f(1,2)BC=2，∴DP=2﹣x，
∴y=eq \f(1,2)PD•QN=eq \f(1,2)(2﹣x)•eq \r(3)x=﹣eq \f(\r(3),2)x2＋eq \r(3)x；
(3)当0＜x＜2时，在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°；
∴NC=x，∴BP=NC，
∵BD=CD，∴DP=DN；
∵AD⊥BC，QN⊥BC，
∴AD∥QN，∴OP=OQ，
∴S△PDO=S△DQO，
∴AD平分△PQD的面积；
解：(1)将点A(0，4)、C(8，0)代入y=ax2＋eq \f(3,2)x＋c中，
得：，解得：，
∴该二次函数的解析式为y=﹣eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x＋4．
(2)令y=﹣eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x＋4中y=0，
则﹣eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x＋4=0，解得：x=﹣2，或x=8，
∴点B的坐标为(﹣2，0)，
又∵点A(0，4)，点C(8，0)，
∴AB=2eq \r(5)，AC=4eq \r(5)，BC=10．
∵AB2＋AC2=20＋80=100=BC2，
∴△ABC为直角三角形．
(3)设点N的坐标为(m，0)，
则AC=4eq \r(5)，AN=，CN=|8﹣m|．
以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形分三种情况：
当AC=AN时，即4eq \r(5)=，解得：m=﹣8，或m=8(舍去)，
此时点N的坐标为(﹣8，0)；
当AC=CN时，即4eq \r(5)=|8﹣m|，解得：m=8﹣4eq \r(5)，或m=8＋4eq \r(5)，
此时点N的坐标为(8﹣4eq \r(5)，0)或(8＋4eq \r(5)，0)；
③当AN=CN时，即=|8﹣m|，解得：m=3，此时点N的坐标为(3，0)．
综上可知：以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标为：
(﹣8，0)、(8﹣4eq \r(5)，0)、(8＋4eq \r(5)，0)或(3，0)．
(4)设点N的坐标为(n，0)(﹣2＜n＜8)，则BN=n﹣(﹣2)=n＋2．
∵MN∥AC，∴△BMN∽△BAC，∴=．
∵S△BAC=eq \f(1,2)AB•AC=20，BN=n＋2，BC=10，
∴S△BMN=S△BAC•=eq \f(1,5)(n＋2)2．
S△AMN=S△ABN﹣S△BMN=eq \f(1,2)AO•BN﹣eq \f(1,5)(n＋2)2=﹣eq \f(1,5)(n﹣3)2＋5，
∴当n=3，即点N的坐标为(3，0)时，△AMN面积最大，最大值为5．
解：(1)∵点A(0，1)．B(﹣9，10)在抛物线上，
∴，∴，
∴抛物线的解析式为y=eq \f(1,3)x2＋2x＋1，
(2)∵AC∥x轴，A(0，1)
∴eq \f(1,3)x2＋2x＋1=1，∴x1=﹣6，x2=0，
∴点C的坐标(﹣6，1)，
∵点A(0，1)．B(﹣9，10)，
∴直线AB的解析式为y=﹣x＋1，
设点P(m，eq \f(1,3)m2＋2m＋1)
∴E(m，﹣m＋1)∴PE=﹣m＋1﹣(eq \f(1,3)m2＋2m＋1)=﹣eq \f(1,3)m2﹣3m，
∵AC⊥EP，AC=6，
∴S四边形AECP=S△AEC＋S△APC=eq \f(1,2)AC×EF＋eq \f(1,2)AC×PF=eq \f(1,2)AC×(EF＋PF)
=eq \f(1,2)AC×PE=eq \f(1,2)×6×(﹣eq \f(1,3)m2﹣3m)=﹣m2﹣9m=﹣(m＋eq \f(9,2))2＋20eq \f(1,4)，
∵﹣6＜m＜0∴当m=﹣eq \f(9,2)时，四边形AECP的面积的最大值是20eq \f(1,4)，
此时点P(﹣eq \f(9,2)，﹣eq \f(5,4))．
(3)∵y=eq \f(1,3)x2＋2x＋1=eq \f(1,3)(x＋3)2﹣2，∴P(﹣3，﹣2)，
∴PF=yF﹣yP=3，CF=xF﹣xC=3，
∴PF=CF，∴∠PCF=45°
同理可得：∠EAF=45°，
∴∠PCF=∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件的Q，
设Q(t，1)且AB=9eq \r(2)，AC=6，CP=3eq \r(2)
∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
∴，∴，
∴t=﹣4，∴Q(﹣4，1)
②当△CQP∽△ABC时，
∴，∴，
∴t=3，∴Q(3，1)．
解：(1)∵抛物线y=﹣x2＋bx＋c与x轴正半轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B(0，3)，
∴﹣9＋3b＋c=0，c=3，
∴b=2，
∴抛物线解析式为y=﹣x2＋2x＋3；
(2)∵A(3，0)，B(0，3)，
∴直线AB解析式为y=﹣x＋3，
∵P(x，0)．
∴D(x，﹣x＋3)，C(x，﹣x2＋2x＋3)，
∵0＜x＜3，
∴CD=﹣x2＋2x＋3﹣(﹣x＋3)=﹣x2＋3x=﹣(x﹣eq \f(3,2))2＋eq \f(9,4)，
当x=eq \f(3,2)时，CD最大=eq \f(9,4)；
(3)由(2)知，CD=|﹣x2＋3x|，DP=|﹣x＋3|
①当S△PDB=2S△CDB时，
∴PD=2CD，即：2|﹣x2＋3x|=|﹣x＋3|，
∴x=±eq \f(1,2)或x=3(舍)，
②当2S△PDB=S△CDB时，
∴2PD=CD，即：|﹣x2＋3x|=2|﹣x＋3|，
∴x=±2或x=3(舍)，
即：综上所述，x=±eq \f(1,2)或x=±2；
(4)直线AB解析式为y=﹣x＋3，
∴线段AB的垂直平分线l的解析式为y=x，
∵过点B，C，P的外接圆恰好经过点A，
∴过点B，C，P的外接圆的圆心既是线段AB的垂直平分线上，
也在线段PC的垂直平分线上，
∴，
∴x=±eq \r(3)，故答案为：±eq \r(3)
解：(1)∵x2﹣4x＋3=0的两个根为 x1=1，x2=3，
∴A点的坐标为(1，0)，B点的坐标为(0，3)，
又∵抛物线y=﹣x2＋bx＋c的图象经过点A(1，0)、B(0，3)两点，
∴，
∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x＋3，
答：抛物线的解析式是 y=﹣x2﹣2x＋3．
(2)作直线BC，
由(1)得，y=﹣x2﹣2x＋3，
∵抛物线y=﹣x2﹣2x＋3与x轴的另一个交点为C，
令﹣x2﹣2x＋3=0，解得：x1=1，x2=﹣3，
∴C点的坐标为(﹣3，0)，
由图可知：当﹣3＜x＜0时，抛物线的图象在直线BC的上方，
答：当﹣3＜x＜0时，抛物线的图象在直线BC的上方．
(3)设直线BC交PE于F，P点坐标为(a，0)，则E点坐标为(a，﹣a2﹣2a＋3)，
∵直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，
∴F是线段PE的中点(根据等底等高的三角形的面积相等)，
即F点的坐标是(a，)，
∵直线BC过点B(0.3)和C(﹣3，0)，
设直线BC的解析式是y=kx＋b (k≠0)，代入得：
，∴
∴直线BC的解析式为y=x＋3，
∵点F在直线BC上，
∴点F的坐标满足直线BC的解析式，即=a＋3
解得 a1=﹣1，a2=﹣3(此时P点与点C重合，舍去)，
∴P点的坐标是(﹣1，0)，
答：点P的坐标是(﹣1，0)．
解：(1)在y=﹣eq \f(2,3)x＋2中，令y=0，得﹣eq \f(2,3)x＋2=0，解得x=3，
令x=0，得y=2，∴B(3，0)，C(0，2)，设抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵抛物线经过点A(﹣1，0)、B(3，0)、C(0，2)，
∴，解得，
∴抛物线解析式为，y=﹣eq \f(2,3)x2＋eq \f(4,3)x＋2；
(2)①∵点P的横坐标为m，过点P作直线a∥y轴，
∴EP=﹣eq \f(2,3)m2＋eq \f(4,3)m＋2﹣(﹣eq \f(2,3)m＋2)=﹣eq \f(2,3)m2＋2m，
∴△BCE的面积为S=eq \f(1,2)EP•|xB﹣xC|=eq \f(1,2)×(﹣eq \f(2,3)m2＋2m)×|3﹣0|=﹣m2＋3m，
∵P在线段BC上的一个动点(与B、C不重合)，∴0＜m＜3，
∴S与m之间的函数关系式为：S=﹣m2＋3m(0＜m＜3)；
②∵S=﹣m2＋3m=﹣(m﹣eq \f(3,2))2＋eq \f(9,4)，∴当m=eq \f(3,2)时，S最大值=eq \f(9,4)，
当m=eq \f(3,2)时，P是BC的中点，OE=BE，EF=eq \f(9,4)，∴△OBE是等腰三角形；
(3)令y=0，则﹣eq \f(2,3)x2＋eq \f(4,3)x＋2=0，整理得，x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，∴点A(﹣1，0)，易得直线AC的解析式为y=2x＋2，
∵点P的横坐标为m，∴点P的纵坐标为﹣eq \f(2,3)m＋2，∴点Q的纵坐标为﹣eq \f(2,3)m＋2，
代入直线AC得，2x＋2=﹣eq \f(2,3)m＋2，解得x=﹣eq \f(1,3)m，∴PQ=m﹣(﹣eq \f(1,3)m)=eq \f(4,3)m，
当PQ是等腰直角三角形△PQR的直角边时，eq \f(4,3)m=﹣eq \f(2,3)m＋2，解得m=1，
∴QR是直角边时，点R1(﹣eq \f(1,3)，0)，PQ是直角边时，点R2(1，0)，
PQ是等腰直角三角形△PQR的斜边时，eq \f(1,2)×eq \f(4,3)m=﹣eq \f(2,3)m＋2，解得m=eq \f(3,2)，
∴PQ=eq \f(4,3)m=eq \f(4,3)×eq \f(3,2)=2，OR=m﹣eq \f(1,2)PQ=eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)×2=eq \f(1,2)，∴点R3(eq \f(1,2)，0)，
综上所述，x轴上存在点R(﹣eq \f(1,3)，0)或(1，0)或(eq \f(1,2)，0)，使得△PQR为等腰直角三角形．
解：(1)∵令﹣x2＋2x＋3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，
∴A(﹣1，0)，B(3，0)．
设抛物线l2的解析式为y=a(x＋1)(x﹣4)．
∵将D(0，﹣2)代入得：﹣4a=﹣2，
∴a=eq \f(1,2)．
∴抛物线的解析式为y=eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x﹣2；
(2)①如图1所示：

∵A(﹣1，0)，B(3，0)，∴AB=4．
设P(x，0)，则M(x，﹣x2＋2x＋3)，N(x，eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x﹣2)．
∵MN⊥AB，∴SAMBN=eq \f(1,2)AB•MN=﹣3x2＋7x＋10(﹣1＜x＜3)．
∴当x=eq \f(7,6)时，SAMBN有最大值．∴此时P的坐标为(eq \f(7,6)，0)．
②如图2所示：作CG⊥MN于G，DH⊥MN于H，如果CM与DN不平行．
∵DC∥MN，CM=DN，∴四边形CDNM为等腰梯形．∴∠DNH=∠CMG．
在△CGM和△DNH中
，
∴△CGM≌△DNH．∴MG=HN．
∴PM﹣PN=1．设P(x，0)，则M(x，﹣x2＋2x＋3)，N(x，eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x﹣2)．
∴(﹣x2＋2x＋3)＋(eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x﹣2)=1，解得：x1=0(舍去)，x2=1．
∴P(1，0)．当CM∥DN时，如图3所示：
∵DC∥MN，CM∥DN，
∴四边形CDNM为平行四边形．∴DC=MN．=5
∴﹣x2＋2x＋3﹣(eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x﹣2)=5，∴x1=0(舍去)，x2=eq \f(7,3)，
∴P(eq \f(7,3)，0)．
总上所述P点坐标为(1，0)，或(eq \f(7,3)，0)．
解：(1)将A(﹣1，0)、B(3，0)代入抛物线y=ax2＋bx＋3(a≠0)，
，解得：a=﹣1，b=2．
故抛物线解析式为：y=﹣x2＋2x＋3．
(2)存在将点D代入抛物线解析式得：m=3，∴D(2，3)，
令x=0，y=3，
∴C(0，3)，∴OC=OB，∴∠OCB=∠CBO=45°，
如图，设BP交y轴于点G，

∵CD∥x轴，
∴∠DCB=∠BCO=45°，
在△CDB和△CGB中：
∵∠
∴△CDB≌△CGB(ASA)，
∴CG=CD=2，
∴OG=1，
∴点G(0，1)，设直线BP：y=kx＋1，
代入点B(3，0)，
∴k=﹣eq \f(1,3)，∴直线BP：y=﹣eq \f(1,3)x＋1，
联立直线BP和二次函数解析式：
，解得：或(舍)，
∴P(﹣eq \f(2,3)，eq \f(11,9))．
(3)直线BC：y=﹣x＋3，直线BD：y=﹣3x＋9，当0≤t≤2时，如下图：
设直线C′B′：y=﹣(x﹣t)＋3联立直线BD求得F(3﹣eq \f(1,2)t，eq \f(3,2)t)，
S=S△BCD﹣S△CC′E﹣S△C′DF=eq \f(1,2)×2×3﹣eq \f(1,2)×t×t﹣eq \f(1,2)×(2﹣t)(3﹣eq \f(3,2)t)
整理得：S=﹣eq \f(5,4)t2＋3t(0≤t≤2)．当2＜t≤3时，如图：
H(t，﹣3t＋9)，I(t，﹣t＋3)S=S△HIB=eq \f(1,2) [(﹣3t＋9)﹣(﹣t＋3)]×(3﹣t)
整理得：S=t2﹣6t＋9(2＜t≤3)综上所述：S=．
解：(1)①设直线AB为y=kx＋b，
∴解得，
∴直线AB解析式为y=﹣eq \f(7,4)x﹣eq \f(5,2)，
∵B(4，﹣3)，C(2，3)，∴直线边长为y=﹣3x＋9，
∵AC⊥BC，∴直线AC为y=eq \f(1,3)x＋eq \f(7,3)，
由解得或，
∴点A坐标(﹣，)，
∴直线AB解析式为y=﹣eq \f(2,3)x﹣eq \f(1,3)，故答案分别为y=﹣eq \f(7,4)x﹣eq \f(5,2)，y=﹣eq \f(2,3)x﹣eq \f(1,3)，
②猜想直线AB必经过定点Q(﹣2，1)，验证如下：
设A(m，﹣eq \f(1,2)m2＋5)，B(n，﹣eq \f(1,2)n2＋5)，
过点C作直线PN∥x轴，分别过A、B两点作PN的垂线，垂足分别为N、P，
∵∠ACB=90°，△CAN∽△BCP，∴=，
∴=，∴=，
∴(m＋2)(n＋2)=﹣4，
∴mn＋m＋n＋8=0，①
联立方程组，
∴eq \f(1,2)x2＋kx＋b﹣5=0，
∴m＋n=﹣2k，mn=2b﹣10，
②将②代入①，得化简，得b=2k＋1，
∵直线AB的解析式为y=kx＋2k＋1，即y=k(x＋2)＋1，
直线AB经过定点(﹣2，1)
(3)当直线AB经过原点，其解析式为y=﹣eq \f(1,2)x，
当CD∥AB时，△ABD的面积等于△ABC的面积，点D符合条件．
此时，直线CD的解析式为y=﹣eq \f(1,2)x＋4．
则点D的横坐标是﹣eq \f(1,2)x2＋5=﹣eq \f(1,2)x＋4的根．
解得x1=2，x2=﹣1，其中x1=2是点C的横坐标．
当x=﹣1时，y=eq \f(9,2)，∴D(﹣1，eq \f(9,2))，
∵直线CD交y轴于E(0，4)，点E关于x轴的对称点F(0，﹣4)，
过点F平行AB的直线解析式为y=﹣eq \f(1,2)x﹣4，此时直线与抛物线的交点满足条件，
由解得或，
∴D点坐标分别为(，﹣)和(，﹣)．
∴其余符合条件的D点坐标分别为(，﹣)和(，﹣)．