江西省丰城中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题（创新班）

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一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题只有一项是符合题目要求的．）
二 、多选题（本大题共3小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
12. 13. 14.
5.【详解】
根据图象，可分别作出斜率为的另外三条切线：，切点分别为，
如图所示：当时，；当时，；
设，则，
在上单调递增，在上单调递减，
有，和三个极大值点.故选：D.
8.【详解】一个砝码有，9一种情况，种情况，
两个砝码有，，，几种情况种
三个砝码有，，，，，，几种情况种
四个砝码有，，，，，种，
五个砝码有，，种，总计种.
对A，选项系数为，故不符合，所以A错误；
对B，的系数是选个带的，其他的项选常数项，可得，故B错误；
对C，
系数为单独组成，其他为常数，则有种，系数为
有两项组成，系数为与组成，其他为常数，，系数为，
系数为与组成，其他为常数，，系数为，
系数为与组成，其他为常数， ，系数为，
系数为与组成，其他为常数， ，系数为，
同理由三项组成，，，，，几种情况，其他项为常数，则系数为
同理由四项组成，，，几种情况，其他为常数，则系数，
同理由五项组成其他项为常数，则系数为，综上系数为，故C正确；
对D，，
系数直接有一项，其他是常数项，可有种情况，系数为，
有与组成，其他是常数项，可有,故D错误.故选：C
11.【详解】当时，，则，设切点横坐标为，
则在点处的切线方程为：，
由切线过点，则有：，整理得：，
构造函数，求导得：，
当时，，所以在上单调递减；
当或时，，所以在和单调递增；
又因为，
所以函数有三个零点，即方程有三个根，则存在三条切线，故A正确；
由，可得函数的图象都关于对称，故B正确；
由函数，求导得，由函数存在极值点，则有解，所以，即解得极值点满足，且，
假设，则，
由
，故不成立，所以假设不成立，故C错误；
先研究函数往下移一个单位，使其对称中心在原点，则，
设函数图象上存在四点围成一个正方形，根据对称性可知，正方形的中心就是三次函数的对称中心，此时就是原点，所以可设直线方程为：,
与三次函数消元得：，所以，
利用正方形的对角线相互垂直可设直线方程为：，
再与三次函数消元得：，所以，
由正方形可知：，所以，
整理得：，
两边同除以得：，令，则上式化为：，
由于在时是递增函数，且值域为，所以要使存在一个正方形使其4个顶点都在函数的图象上的充要条件就是存在唯一值，从而可得，解得，
当时，，解得，因为，所以，
此时不满足，所以舍去；
当时，，解得，因为，所以，
此时满足，，所以；故D正确；故选：ABD.
13.【详解】由，且，
则有，，故，，
则，
令，，则当时，，
当时，，故在、上单调递减，在上单调递增，
又，，
，
即，即，即的最大值为.
14.【详解】作，垂足，则底面，再作，垂足分别为，
则，又正方体中，
设，则，
当，易知，，此时，，
当，易知，，此时，，
当且时，，
所以，
设，则，
当且仅当，即时，取到最小值，时，时，且时递减，时递增，
综上，恒成立，即，所以当时，取到最小，此时.综上可知当时，取到最小.故答案为：
15.【小问1详解】已知，
可化为，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，整理得.
【小问2详解】当，时，，
，所以，解得，
所以的周长为
16.【小问1详解】由题意知，，由，解得，
此时，，令，得，令，得，故是函数的极值点，
故符合要求，进而函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
【小问2详解】由恒成立可得恒成立，
令则，令，则，
故当时，单调递增，当时，单调递减，
而，且时，，
故当时，，当时，，故在单调递减，在单调递增，故，因此
17. 【解析】（1）过点作交与点，
∵平面平面，且两平面的交线为，∴平面，
又∵平面，∴，又∵且，
∴平面．
（2）过点作交与点，连接，
∵平面平面，且两平面的交线为，
∴平面，又∵平面，∴，到平面的距离相等，
∴且，平面，∴，，
∴，
又，令，
则，．
所以在上单调递增，在上单调递减，即，当且仅当时取得最大值．如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，．
设与所成角为，则，
则，即当几何体体积最大时，与所成角的正切值为6．
18.【小问1详解】由题意，因为，为直角三角形，所以.
又，所以，所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】由（1）知，,显然直线的斜率存在，
设直线的方程为，，
联立消去得，，
所以，即.
且，因为，所以，所以，即，所以，整理得，即，化简得，即满足条件，
所以直线的方程为或，即直线的方程为或.
【小问3详解】由题意，,设直线的方程为,，
则直线的方程为，，
联立消去得，所以
所以，所以，
同理联立消去得，
所以，所以
所以，即的中点.
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的面积最大值为.
19.【小问1详解】因为是12项数列，当且仅当时，，
所以当和时，.设数列的所有项的和为，
则.
所以数列的所有项的和为0.
【小问2详解】①证明：因为数列是从集合中任意取出的两个数列，
所以数列为项数列，所以的可能取值为：.
因为集合中元素的个数共有个，
当时，则数列中有项取值不同，有项取值相同，
所以，
所以随机变量的分布列为：
因为，
所以
，
即.
②解：由条件得：，
所以，
化简得：，
所以，
则
即，
所以，即.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
D
A
B
D
D
C
A
C
题号
9
10
11
选项
ABD
ACD
ABD
1
2
3