江西省丰城中学2024-2025学年高三上学期开学考试 数学试题

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一､单选题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知数集满足：，若，则一定有：（ ）
A. B.
C. D.
2.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）
A. B.1 C. D.2
3.设函数，则函数的单调性（ ）
A.与有关，且与有关 B.与无关，且与有关
C.与有关，且与无关 D.与无关，且与无关
4.在中，“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知向量，若向量在向量上的投影向量，则（ ）
A. B. C.3 D.7
6.已知直线与曲线相切，则实数（ ）
A.0 B. C. D.
7.已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于点.直线为在点A处的切线，点关于的对称点为.由椭圆的光学性质知，三点共线.若，则（ ）
A. B. C. D.
8.设实数满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A.12 B.24 C. D.
二､多选题：（本大题共3小题，每小题有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知复数，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数，则（ ）
A.存在实数使得
B.当时，有三个零点
C.点是曲线的对称中心
D.若曲线有两条过点的切线，则
11.冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列从左往右，依次对相邻两个元素比较大小，若，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止，例如：对于序列进行冒泡排序，首先比较，需要交换1次位置，得到新序列，然后比较，无需交换位置，最后比较，又需要交换1次位置，得到新序列最终完成了冒泡排序，同样地，序列需要依次交换完成冒泡排序.因此，和均是交换2次的序列.现在对任一个包含个不等实数的序列进行冒泡排序，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为，只需要交换1次的序列个数为，只需要交换2次的序列个数为，则（ ）
A.序列是需要交换3次的序列 B.
C. D.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）
12.若，则__________.
13.展开式中的系数为，则的值为__________.
14.三棱锥的所有棱长均为分别为线段与的中点，分别为线段与上的动点，若平面，则线段长度的最小值为__________.
四､解答题（本大题共5小题，满分77分.解答须写出文字说明､证明过程和演算步骤.）
15.（13分）如图，在中，已知边上的两条中线相交于点.
（1）求中线的长；
（2）求的余弦值；
16.（15分）如图，在四棱锥中，，三棱锥的体积为.
（1）求点到平面的距离；
（2）若，平面平面，点在线段上，，求平面与平面夹角的余弦值.
17.（15分）某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布直方图如图：
（1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数的分布列及数学期望；
（2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？
附：若，则，.
18.（17分）已知且，函数.
（1）为数列的前项和，当时，试比较与2024的大小，并说明理由：
（2）当时，证明：；
（3）当且时，试讨论的零点个数.
19.（17分）对于求解方程的正整数解的问题，循环构造是一种常用且有效地构造方法.例如已知是方程的一组正整数解，则，将代入等式右边，得，变形得：，于是构造出方程的另一组解，重复上述过程，可以得到其他正整数解.进一步地，若取初始解时满足最小，则依次重复上述过程可以得到方程的所有正整数解.已知双曲线的离心率为，实轴长为2.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）方程的所有正整数解为，且数列单调递增.
①求证：始终是4的整数倍；
②将看作点，试问的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
高三数学参考答案
1-8CCDBBCDB
9.BC 10.AC 11.BCD
12. 13. 14.
15（1）因为为的中点，，
.
（2）因为，
.
16.（1）设点到平面的距离为，
则，由题可知，
所以，所以点到平面的距离为.
（2）取的中点，连接，因为，
又平面平面且交线为平面，
所以平面，由（1）知.
由题意可得，
所以，所以.
以点为坐标原点，为轴，为轴，过点作的平行线
为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
依题意，
所以.设平面的法向量为，
则，故可设，平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17.（1）预赛成绩在[60，80）范围内的样本量为：，
预赛成绩在范围内的样本量为：，
设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为，可能取值为，则，又，
则的分布列为：
故.
（2），
，则，又，
故，
故全市参加预赛学生中，成绩不低于91分的有人，
因为，故小明有资格参加复赛.
18.（1）当时，，
则
，所以当时，；
（2）当时，，
求导得，
令，求导得，
当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
于是，即，函数在上单调递增，
又，因此时，，当时，，所以.
（3）①若，函数在上为单调递增函数，且，
因此函数有且仅有一个零点；
②若，当时，，当时，，
由（2）知：当时，，
当时，，且，则函数只有一个零点.
综上所述：当且时，的零点个数为1个.
19.（1）由题意知解得，则，
故双曲线的标准方程为.
（2）方法一：由得是方程的一组正整数解则，
在循环构造中，对任意正整数，由是正整数，第组解中的为二项式的展开式中不含的部分，为二项式的展开式中含的部分，
注意到二项式的展开式中不含的部分与二项式的展开式中不含的部分相同，
二项式的展开式中含的部分与二项式的展开式中含的部分互为相反数，于是由二项式定理有
，从而，
于是对任意的正整数，
，
因为是正整数，所以是4的整数倍.
方法二：在循环构造中，对任意正整数，由是正整数，第组解中的为二项式的展开式中不含的部分，为二项式的展开式中含的部分；
第组解中的为二项式的展开式中不含的部分，为二项式的展开式中含的部分，故
于是，
，即，
由得，
代入得，整理得，即.
因为是正整数，所以是4的整数倍.
（2），设的夹角为，
则的面积
，
由得，代入得
.，由得
，从而，故，
，即，
代入得，于是的面积为定值0
1
2