浙江省金砖联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（Word版附解析）

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命题：余杭第二高级中学 付振凯 审核：东阳二中 吕夏雯
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知平面，，直线，且，则“”是“∥”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知复数满足，则（ ）
A B.
C. D.
4. 已知，两直线，若，则的最小值为（ ）
A. 12B. 20C. 26D. 32
5. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为，乙罐中有三个相同的小球，标号为，从甲罐，乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于6”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（ ）
A. 事件发生的概率为B. 事件相互独立
C. 事件是互斥事件D. 事件发生的概率为
6. 当圆截直线所得的弦长最短时，实数（ ）
A. －1B. C. 1D.
7. 八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边，其中给出下列结论，其中正确的结论为（ ）
A. 与的夹角为
B.
C.
D. 在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）
8. 已知锐角，角的对边分别，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知甲组数据为：，乙组数据为：，则下列说法正确的是（ ）
A. 这两组数据的第80百分位数相等
B. 这两组数据的极差相等
C 这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，均值都不变
D. 甲组数据比乙组数据分散
10. 已知椭圆，点为椭圆两焦点，点为椭圆上动点，过点作的外角平分线，过椭圆的焦点作直线的垂线，垂足是.现有一条长度为4的线段在直线上运动，且始终满足为锐角，则（ ）
A. 点的轨迹方程是
B. 点有可能在以为直径的圆上
C. 点不可能在直线上
D. 线段的中点的纵坐标的取值范围是
11. 如图，在棱长为1正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ）
A. 直线平面
B. 三棱锥的外接球的表面积为
C. 直线与直线所成角的正弦值为
D. 若，那么点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若直线的一个方向向量，则的倾斜角大小为________．
13. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中平面与平面所成角的余弦值为________．

14. 设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，过作轴的垂线交双曲线于两点，若，则双曲线的离心率为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查．随机抽取了100户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：
（1）求的值；
（2）求这100户居民问卷评分的中位数；
（3）若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在和内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取4户进行专项调查，求这4户居民中恰有1户的评分在内的概率．
16. 在中，角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，角的平分线交于点，求线段的长．
17. 如图在四棱锥中，，，，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由
18. 如图，已知圆为坐标原点，过点作直线交圆于点，过点分别作圆的切线，两条切线相交于点．
（1）若直线的斜率为1，求的值；
（2）求点的轨迹方程；
（3）若两条切线与轴分别交于点，求的最小值．
19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方），的周长为8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直．
①若，求三棱锥的体积；
②是否存在，使得折叠后周长为与折叠前的周长之比为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．