北京市第二中学2024-2025学年高三上学期期中测试数学试卷（Word版附解析）

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命题人：傅靖、邱松 审核人：邱松、傅靖
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知i是虚数单位，复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 命题：“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
3. 在平面直角坐标系中，角顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（ ）
A. B. C. D. 3
4. 已知圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量，，若与共线，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
7. 设为非零向量，，则“夹角为钝角”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知函数的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象关于对称，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
9 已知函数，且，则（ ）
A. B. 0C. 100D. 10200
10. 已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则（ ）
A. 当时，数列单调递减B. 当时，数列单调递增
C. 当时，数列单调递减D. 当时，数列单调递增
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 的二项展开式中的常数项为_________.（结果用数值表示）
12. 已知点在抛物线上，则抛物线的焦点坐标为______；点到抛物线的准线的距离为______.
13. 设为数列的前项和，若，则______.
14. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于两点（点A在第一象限），延长交于点，若，则双曲线的离心率为_________．
15. 如图，棱长为2正方体中，，分别是线段和上的动点.对于下列四个结论：

①存在无数条直线平面；
②线段长度的取值范围是；
③三棱锥的体积最大值为；
④设，分别为线段和上中点，则线段的垂直平分线与底面的交点构成的集合是圆.
则其中正确的命题有______.
三、解答题：本题共6小题，共85分.
16. 在中，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
17. 如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，为PA的中点，，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点.

（1）求证：平面DEF；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段EF上是否存在一点，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，求出FQ的长；若不存在，请说明理由.
18. 开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程.某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：
假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立.
（1）从样本中抽1人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率；
（2）从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望；
（3）在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小.（直接写结果）
19. 已知函数．
（1）当a＝1时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若有三个零点，求a的取值范围．
20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为为上一点，为坐标原点，轴，且.
（1）求的标准方程；
（2）若直线与交于A，B两点，过点作直线的垂线，垂足为，当直线AD与轴的交点为定点时，求的值.
21. 若集合的非空子集满足：对任意给定的，若，有，则称子集是的“好子集”.记为的好子集的个数.例如：的7个非空子集中只有不是好子集，即.记表示集合的元素个数.
（1）求的值；
（2）若是的好子集，且.证明：中元素可以排成一个等差数列；
（3）求的值.男
女
支持方案一
24
16
支持方案二
25
35