上海师范大学附属中学闵行分校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷

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一、填空题(12题共54分, 1~6题每题4分, 7~12题每题5分)
1.设全集U=R, 集合A=(0,2), B=(-1,1), 则A∩= .
2.不等式 1x>1的解集为 .
3.用反证法证明“若, 则”时, 需假设 .
4.若关于的不等式的解集为(2,+∞),求不等式的解集 .
5.已知实数, ，则= .
6.设实数满足，若,则的取值范围为
7.设, 求方程的解集为 .
8.若关于的不等式的解集为(-∞,1), 则 的取值范围为 .
9.若关于的不等式 2kx2+kx+18≤0的解集为空集，则实数的取值范围是 .
10.甲、 乙两人同时解关于的方程： lg₂x+b+clgₓ2=0.甲写错了常数，得两根 14及 18； 乙写错了常数c，得两根 12及64，则这个方程的真正的根为 .
11.不等式 x+1x²−4x+3>0有多种解法，其中有一种方法如下：在同一直角坐标系中作出 y₁=x+1和 y₂=x²−4x+3的图像，然后进行求解，请类比求解以下问题.设∈Z，若对任意，都有 ax+2x²+2b≤0, 则= .
12. 定义全集U 的子集A的特征函数 fAx=1,x∈A0,x∈∁UA,这里表示A在全集U中的补集，那么对于集合A、B⊆U ，下列所有正确说法的序号是
(1) A⊆B⇒((2)(3)
4fA∩Bx=fAx⋅fBx
二、选择题(4题共18分, 13~14每题4分, 15~16每题5分)
13. 设∈R, 则下列命题正确的是( ).
A. 若 则 B. 若, 则
C. 若 则 D. 若, 则 a²>b²
14. 已知关于的不等式 x²−4ax+3a²b²”的充分条件, ④“a0),
从而点 C 处干扰指数为 : y=kx+ka36−x(00 或 x0, (1)
则 (a−4)x2+(a−5)x−1=0 ，
即 (x+1)[(a−4)x−1]=0, (2),
当 a=4 时，方程(2)的解为 x=−1 ，代入(1)，成立
当 a=3 时, 方程(2)的解为 x=−1, 代入(1), 成立
当 a≠4 且 a≠3 时, 方程(2)的解为 x=−1 或 x=1a−4
若 x=−1 是方程(1)的解, 则 1x+a=a−1>0, 即 a>1,
若 x=1a−4 是方程(1)的解, 则 1x+a=2a−4>0,即 a>2,
则要使方程（1)有且仅有一个解，则 1c.
(1) 若a、 b、 c满足a+b+c=0, 求证: a>0且c0.并将上述不等式加以推广，把 1c−a的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得 1a−b+1b−c+pc−a>0对任意的a, b, c恒成立, 求p的值.
(3)从另一角度推广，自然数m，n，p，满足什么条件时，不等式 ma−1+nb−c+pc−a>0对任意a, b, c恒成立.
【解析】
（1）略
（2）证明：由 a>b>c, 可得 a−b>0,b−c>0
,a−c>0 (a−c)1a−b+1b−c=[(a−b)+(b−c)]1a−b+1b−c⩾2(a−b)(b−c)⋅21(a−b)(b−c)=4
，当且仅当 a−b=b−c 即 a+c=2b 取得等号，所以 (a−c)1a−b+1b−c>1, 即 1a−b+1b−c>1a−c, 则 1a−b+1b−c+1c−a>0
1a−b+1b−c+pc−a>0 对任意的 a,b,c 恒成立,即为 p