上海师范大学附属中学闵行分校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

这是一份上海师范大学附属中学闵行分校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题，共14页。试卷主要包含了若集合，则__________，若，则__________，计算的值是__________，已知数列满足等内容，欢迎下载使用。
1.若集合，则__________.
2.若，则__________.
3.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则圆锥的母线与底面所成角的余弦值为__________.
4.计算的值是__________.
5.一个盒子中有6只白球､4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次，则第二次取到白球的概率为__________.
6.已知向量，其中，若，则__________.
7.设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则__________.
8.关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.
9.已知数列满足：，且，则此数列的前20项的和为__________.
10.已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线的右支上，，若与的一条渐近线垂直，垂足为，且，其中为坐标原点，则双曲线的标准方程为__________.
11.公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则__________.
12.在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则__________.
二､单选题（本大题共4题，满分20分）
13.用反证法证明命题：“已知，若不能被5整除，则与都不能被5整除”时，假设的内容应为（ ）
A.都能被5整除
B.不都能被5整除
C.至多有一个能被5整除
D.至少有一个都能被5整除
14.函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
15.2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）在四川成都开幕，这是继2001北京大运会，2011深圳大运会之后，中国第三次举办夏季大运会；在成都大运会中，中国代表团取得了骄人的成绩.为向大学生普及大运会的相关知识，某高校进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了200名学生的成绩（满分100分）进行统计，成绩均在内，将其分成5组：，并整理得到如下的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间内的人数为（ ）
A.20 B.40 C.60 D.80
16.设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”，下列结论错误的是（ ）
A.函数存在“和谐区间”
B.函数不存在“和谐区间”
C.函数存在“和谐区间”
D.函数不存在“和谐区间”
三､解答题（本大题共有5题，满分76分）
17.已知函数是偶函数.当时，.
（1）若函数在区间上单调，求实数的取值范围；
（2）已知，试讨论的零点个数，并求对应的的取值范围.
18.如图所示三棱锥，底面为等边为边中点，且上底面.
（1）求三棱锥体积；
（2）若为中点，求与面所成角的正切值.
19.是研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下，小张和各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.
（1）求小张能全部回答正确的概率；
（2）求一个问题能被回答正确的概率；
（3）在这轮挑战中，分别求出小张和答对题数的期望与方差.
20.已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点.
（1）若点的坐标为，求的面积；
（2）若点的坐标为，且是钝角，求横坐标的范围；
（3）若点的坐标为，且直线与椭圆交于两个不同的点.求证：为定值.
21.已知函数，其中.若点在函数的图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”.
（1）若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由；
（2）若点的坐标为，请分别求出点的坐标；
（3）若的坐标为，记点到直线的距离为.问是否存在实数和正整数，使得无穷数列严格减？若存在，求出实数的所有可能值；若不存在，请说明理由.
2025届上师闵分高三9月月考数学试卷
一､填空题
1.【答案】
【解析】由题意可得，所以.
2.【答案】
【解析】由三角变换公式，.
3.【答案】
【解析】设母线长为，底面半径为，则依题意易知，
由，代入数据即可得，
因此所求角的余弦值即为.
4.【答案】
【解析】由二项式定理可得，.
5.【答案】
【解析】.
6.【答案】
【解析】由可得，，即，又，故.
7.【答案】0
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，
则对任意的，则，
所以，，
所以，函数是周期为2的周期函数，且，
因此，.
8.【答案】
【解析】因为不等式在上恒成立，
所以在上恒成立，令，因为，
由对勾函数性质，知函数在上是严格增函数，
所以，所以.
9.【答案】1133
【解析】当为奇数时，由可知，的奇数项成等差数列，且公差为2，首项为；
当为偶数时，可知的偶数项成等比数列，且公比为2，首项为，
故前20项和为：.
10.【答案】
【解析】因为，且为中点，
所以，且，
因为，
所以，解得，
直线的方程为，所以，则，
在直角三角形中利用勾股定理得，
解得，所以双曲线的标准方程为.
11.【答案】
【解析】思路一：依题意，斜坡长度，
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，
求导得，由，得，
当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，人上坡消耗的总体力最小.
思路二：依题意，斜坡长度，
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，
由，得，即，其中锐角由确定，
显然，而，则，当且仅当，即时取等号，
此时，即，
所以当时，人上坡消耗的总体力最小.
12.【答案】
【解析】对于5维坐标有两种选择，
故共有种选择，即5维“立方体”的顶点个数是个顶点；
对于的随机变量，在坐标与中有个坐标值不同，
即，剩下个坐标值满足，此时所对应情况数为种，
即，
故分布列为：
所以数学期望.
二､单选题
13.【答案】D
【解析】假设的内容是命题“与都不能被5整除”的否定为“至少有一个能被5整除”，故选：D
14.【答案】B
【解析】，
因此，所求切线的方程为，即，故选：B.
15.【答案】C
【解析】由频率分行直方图可得
，解得，
所以成绩落在区间内的人数为.
故选：C.
16.【答案】B
【解析】A中，当时，在上是单调增函数，且在上的值域是存在“和谐区间”，原命题正确；
B中，当时，在[1，2]上是单调增函数，且在上的值域是存在“和谐区间”，原命题错误；
C中，，分子分母同时除以，得，函数在是严格增函数，且在上的值域是存在“和谐区间”，原命题正确；
D中，当时，是单调增函数，假设存在满足题意，则，且，
即，且，且，即，且；这与函数的单调性矛盾，假设不成立，即函数不存在“和谐区间”，原命题正确；故选B.
三､解答题
17.【答案】（1）或；（2）见解析
【解析】（1）设，则，
为偶函数，
综上，有
作出的图像如图：
因为函数在区间上具有单调性，
由图可得或，解得或；
故实数的取值范围是或.
（2）由（1）作出的图像如图：
由图像可知：
当时，有两个零点；
当时，有四个零点；
当时，有六个零点；
当时，有三个零点；
当时，没有零点.
18.【答案】（1）1；（2）
【解析】（1）平面平面；
为中点，；
又是边长为2的等边三角形，，
（2）连接，取中点，连接，
为等边三角形，；
平面平面，
平面平面；
分别为中点，平面，
与平面所成角即为，
，
，
即与平面所成角的正切值为.
19.【答案】（1）；（2）0.9；
（3）小张答对题数的期望为8.1，方差为0.09，答对题数的期望为8.1，方差为0.81.
【解析】（1）设小张答对的题数为，则.
（2）设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被正确回答”，由题意知，
则，
（3）设小张答对的题数为，则的可能取值是8，9，
且，
设答对的题数为，则服从二项分布，
则，，
20.【答案】（1）；（2）（3）见解析
【解析】（1）因为点在椭圆上，所以，因为，所以，
因为，所以，
所以.
（2）如图：因为点在椭圆上，所以，
由余弦定理得
因为是钝角，所以，
又因为，所以，解得，
的范围为.
（3）如图：设，
由得，
又，所以
即有为定值.
21.【答案】（1）不存在；（2）点的坐标为，点的坐标为；
（3）存在，
【解析】（1）已知，则，得，
故函数经过点的切线方程为，
其与函数图像无其他交点，所以原点不存在“上位点”.
（2）设点的横坐标为为正整数，
则函数图像在点处的切线方程为，
代入其“上位点”，得，
化简得，
即
故，
因为，得（*），
又点的坐标为，
所以点的坐标为，点的坐标为.
（3）将代入，解得，
由（*）得，，即，又，
故是以2为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
令，则严格减，
因为，所以函数在区间上严格增.
当时，，于是当时，严格减，符合要求
当时，.
因为时，
所以当时，，
从而当时严格增，不存在正整数，
使得无穷数列严格减.
综上，.