2022-2023学年甘肃省酒泉市金塔四中九年级（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年甘肃省酒泉市金塔四中九年级（上）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了细心选一选，仔细填一填，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）将方程x2+4x+1＝0配方后，原方程变形为（ ）
A．（x+4）2＝3B．（x+2）2＝﹣3C．（x+2）2＝3D．（x+2）2＝﹣5
2．（3分）两道单选题都含有A、B、C、D四个选项，瞎猜这两道题恰好全部猜对的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下面关于x的方程中：①ax2+bx+c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1；③x+3＝；④（a2+a+1）x2﹣a＝0；（5）＝x﹣1，一元二次方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝4，AE⊥BC，AF⊥CD，F，连接EF，则△AEF的面积是（ ）
A．4B．3C．2D．
5．（3分）在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出一个小球记下标号后放回，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）若四边形两条对角线相等，则顺次连接其各边中点得到的四边形是（ ）
A．菱形B．矩形C．梯形D．正方形
7．（3分）方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是（ ）
A．12B．15C．12或15D．9或15或18
8．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞B．m≥C．m＞且m≠2D．m≥且m≠2
9．（3分）下列说法：①平行四边形的对角线互相平分；②菱形的对角线互相垂直平分；③矩形的对角线相等；④正方形的对角线相等，并且互相垂直平分．其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④
10．（3分）有一张矩形纸片ABCD，AB＝2.5，AD＝1.5，使AD边落在AB边上，折痕为AE，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（ ）
A．1B．1C．D．
二、仔细填一填（每小题4分，共40分）
11．（4分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根0，则a值为 ．
12．（4分）已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC＝6cm，则这个菱形的周长为 cm．
13．（4分）如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH 条件，才能保证四边形EFGH是矩形．
14．（4分）方程x2＝x的解是 ．
15．（4分）已知正方形的对角线长为8cm，则正方形的面积是 ．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝6cm，BC＝8cm cm．
17．（4分）若，则的值为 ．
18．（4分）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小 ．
19．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，∠ABC的角平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F cm．
20．（4分）如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为 ．
三、解答题
21．解下列方程：
（1）25x2+10x+1＝0（公式法）；
（2）x2﹣4x﹣6＝0（配方法）；
（3）（y+2）2＝（3y﹣1）2；
（4）（x﹣3）2＝2（3﹣x）．
22．如图，矩形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，EH＝2EF，BC＝60cm，求矩形EFGH的面积．
23．为执行“两免一补”政策，我县2011年投入教育经费2500万元，预计到2013年投入教育经费3600万元．请你求出我县从2011年到2013年投入教育经费的平均增长率是多少？
24．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，CE＝CF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若∠BEC＝60°，求∠EFD的度数．
25．一农户用24米长的篱笆围成一面靠墙（墙长为12米），大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，（如图）鸡场的面积能够达到32米2吗？若能，给出你的方案；若不能
26．某商店在销售中发现：“米奇”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎“六一”儿童节，商场决定适当地降价，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元
27．小莉的爸爸买了某演唱会的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，然后将抽出的两张牌数字相加，如果和为偶数；如果和为奇数，则哥哥去．
（1）请用树状图或列表的方法表示出两张牌数字相加和的所有可能出现的结果；
（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？为什么？若不公平，请设计一种公平的游戏规则．
28．如图，已知在△ABC中，AB＝12cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）经过几秒，△ABC与△BPQ相似？
（2）经过几秒，△BPQ的面积达到16cm2？
2022-2023学年甘肃省酒泉市金塔四中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、细心选一选（每小题3分，共30分）
1．【分析】根据配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，解答即可．
【解答】解：∵x2+4x+6＝0，
∴x2+8x＝﹣1，
∴x2+3x+4＝﹣1+4，
∴（x+2）2＝7．
故选：C．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是要注意解题步骤的准确应用．
2．【分析】分别求出每一道题猜对的概率，再把两道题猜对的概率相乘即可．
【解答】解：对于每一道题本身而言．猜对的概率为
，
设A表示第一道选择题答对，B表示第二道选择题答对．
因为两道单项题之间没有联系．所以A与B相互独立．
故P（AB）＝P（A）×P（B）＝
×
＝
．
故选：D．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
3．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【解答】解：
①ax2+bx+c＝0的二次项系数可能为8；
②3（x﹣9）4﹣（x+1）2＝3是一元二次方程；
③x+3＝不是整式方程；
④（a4+a+1）x2﹣a＝3整理得[（a+）6+]x5﹣a＝0，由于[（a+）2+]＞02+a+4）x2﹣a＝0是一元二次方程；
⑤＝x﹣1不是整式方程．
故选：B．
【点评】一元二次方程必须满足三个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程．
4．【分析】首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE＝EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠B＝∠D＝60°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴BC×AE＝CD×AF，∠BAE＝∠DAF＝30°，
∴AE＝AF，
∵∠B＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF，∠AEF＝60°，
∵AB＝4，
∴BE＝2，
∴AE＝＝2，
∴EF＝AE＝6，
过A作AM⊥EF，
∴AM＝AE•sin60°＝3，
∴△AEF的面积是：EF•AM＝×3＝2．
故选：B．
【点评】此题考查菱形的性质，等边三角形的判定及三角函数的运用．关键是掌握菱形的性质，证明△AEF是等边三角形．
5．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于4的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于4的有10种情况，
∴两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是：＝．
故选：C．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．【分析】根据四边形的两条对角线相等，由三角形的中位线定理，可得所得的四边形的四边相等，则所得的四边形是菱形．
【解答】解：如图，AC＝BD，E、F、G、BC、AD的中点，
则EH、FG分别是△ABD，EF、△ABC的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EH＝FG＝，EF＝HG＝，
∵AC＝BD，
∴EH＝FG＝FG＝EF，
∴四边形EFGH是菱形．
故选：A．
【点评】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，难度中等，需要掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，另外要知道四边相等的四边形是菱形．
7．【分析】先求出方程的解，得出三角形的三边长，看看是否符合三角形的三边关系定理，求出即可．
【解答】解：x2﹣9x+18＝4，
（x﹣3）（x﹣6）＝4，
x﹣3＝0，x﹣3＝0，
x1＝4，x2＝6，
有两种情况：①三角形的三边为3，3，6，此时不符合三角形三边关系定理，
②三角形的三边为3，6，6，此时符合三角形三边关系定理，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，等腰三角形的性质，解一元二次方程的应用，解此题的关键是求出三角形的三边长，难度适中．
8．【分析】根据一元二次方程的定义以及方程有解，结合根的判别式即可得出关于m的一元二次不等式组，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（m﹣2）2x6+（2m+1）x+4＝0有解，
∴，
解得：m≥且m≠2．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据根的判别式以及二次项系数不为0得出关于m的不等式组是解题的关键．
9．【分析】根据平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，正方形的性质对各选项分析判断后利用排除法．
【解答】解：①平行四边形的对角线互相平分，正确；
②菱形的对角线互相垂直平分，正确；
③矩形的对角线相等，并且互相平分；
④正方形的对角线相等，并且互相垂直平分．
所以①②③④都正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查特殊四边形对角线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
10．【分析】利用折叠的性质，即可求得BD的长与图3中AB的长，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得BF的长，则由CF＝BC﹣BF即可求得答案．
【解答】解：如图2，根据题意得：BD＝AB﹣AD＝2.4﹣1.5＝5，
如图3，AB＝AD﹣BD＝1.7﹣1＝0.4，
∵BC∥DE，
∴△ABF∽△ADE，
∴＝，
即，
∴BF＝0.5，
∴CF＝BC﹣BF＝5.5﹣0.2＝1．
故选：B．
【点评】此题考查了折叠的性质与相似三角形的判定与性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
二、仔细填一填（每小题4分，共40分）
11．【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出a﹣1≠0，a2﹣1＝0，求出a的值即可
【解答】解：把x＝0代入方程得：a2﹣6＝0，
解得：a＝±1，
∵（a﹣7）x2+x+a2﹣2＝0是关于x的一元二次方程，
∴a﹣1≠3，
即a≠1，
∴a的值是﹣1．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，注意根据已知得出a﹣1≠0且a2﹣1＝0，题目比较好，但是一道比较容易出错的题．
12．【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出另一条对角线的长度，再根据勾股定理可求出边长，继而可求出周长．
【解答】解：如图所示：
∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，AC＝6cm，S菱形ABCD＝24cm2，
∴BD＝3cm，AO＝3cm，
在Rt△ABO中，AB2＝AO7+BO2，
即有AB2＝62+43，
解得：AB＝5cm，
∴菱形的周长＝4×5＝20cm．
故答案为：20．
【点评】本题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题用到的知识点为：①菱形的四边形等，菱形的对角线互相垂直且平分，②菱形的面积等于对角线乘积的一半．
13．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，HG∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质∠EHG＝∠1，∠1＝∠2，根据矩形的四个角都是直角，∠EFG＝90°，所以∠2＝90°，因此AC⊥BD．
【解答】解：∵G、H、E分别是BC、AD的中点，
∴HG∥BD，EH∥AC，
∴∠EHG＝∠1，∠1＝∠3，
∴∠2＝∠EHG，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EHG＝90°，
∴∠2＝90°，
∴AC⊥BD．
故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．
【点评】本题主要考查三角形的中位线定理和矩形的四个角都是直角的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．
14．【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：x2＝x，
移项得：x2﹣x＝6，
分解因式得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝2或x﹣1＝0，
解得：x5＝0，x2＝5．
故答案为：x1＝0，x7＝1
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
15．【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：∵正方形的对角线长为8cm，
∴正方形的面积＝×8×8＝32cm5．
故答案为：32cm2．
【点评】本题考查了正方形的性质，熟练掌握利用对角线求正方形的面积的方法是解题的关键．
16．【分析】先求出矩形的对角线AC，根据中位线定理可得出EF，继而可得出△AEF的周长．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝，
∵点E、F分别是AO，
∴EF是△AOD的中位线，EF＝BD＝cmAD＝，AE＝AC＝，
∴△AEF的周长＝AE+AF+EF＝7（cm）．
故答案为：9．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理及矩形的性质，解答本题需要我们熟练掌握三角形中位线的判定与性质．
17．【分析】先由，根据分式的基本性质得出＝＝＝，再根据等比性质即可求解．
【解答】解：∵，
∴＝＝＝，
∴＝．
故答案为．
【点评】本题主要考查了分式的基本性质与比例的性质，难度适中．熟练掌握性质是解题的关键．
18．【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE＝BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE＝AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．
【解答】解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD＝PB，
∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB＝2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝7．
故所求最小值为2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．
19．【分析】利用平行四边形的性质得出AD∥BC，进而得出∠AEB＝∠CBF，再利用角平分线的性质得出∠ABF＝∠CBF，进而得出∠AEB＝∠ABF，即可得出AE的长，即可得出答案．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBF，
∵∠ABC的角平分线交AD于点E，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠AEB＝∠ABF，
∴AB＝AE，
∵AB＝4cm，AD＝7cm，
∴DE＝3cm．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质，得出∠AEB＝∠ABF是解题关键．
20．【分析】设正方形的边长为x，则AC＝AE＝x，菱形的面积为底×高，x•x＝9，可求出x的长为3．即正方形的边长为3．
【解答】解：设正方形的边长为x，
AC＝AE＝x，
CB＝x是菱形的高，
x•x＝5，
x＝3．
故答案为：8．
【点评】本题考查正方形的性质，菱形的性质以及菱形面积公式等．
三、解答题
21．【分析】（1）利用公式法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）∵25x2+10x+1＝5，
∴a＝25，b＝10，
∴Δ＝b2﹣4ac＝103﹣4×1×25＝8，
∴，
∴；
（2）x7﹣4x﹣6＝4，
移项得：x2﹣4x＝5，
配方得：x2﹣4x+5＝10，即（x﹣2）2＝10，
开方得：，
解得：；
（3）∵（y+2）5＝（3y﹣1）3，
∴（y+2）2﹣（3y﹣1）2＝4，
∴（y+2+3y﹣8）（y+2﹣3y+6）＝0，即（4y+6）（3﹣2y）＝7，
解得；
（4）∵（x﹣3）2＝7（3﹣x），
∴（x﹣3）7+2（x﹣3）＝4，
∴（x﹣3）（x﹣3+3）＝0，
解得x1＝7，x2＝3．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
22．【分析】先证明△AEH∽△ABC，再证明四边形EFDM是矩形，得到EF＝DM，根据相似三角形的性质得到，求出EF，EH即可求出矩形EFGH的面积．
【解答】解：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥FG，∠HEF＝∠EFG＝90°，
∴△AEH∽△ABC，
又∵AD⊥BC，
∴AD⊥EH，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EF＝DM，
∵△AEH∽△ABC，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查相似三角形的性质和判定和矩形的性质与判定，解题关键是熟练掌握相似三角性的性质和判定．
23．【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2012年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2012年的基础上再增长x，就是2013年的教育经费数额，即可列出方程求解．
【解答】解：设增长率为x，根据题意2012年为2500（1+x）．
则2500（1+x）（5+x）＝3600，
解得x＝0.2＝20%，或x＝﹣4.2（不合题意舍去）．
故这两年投入教育经费的平均增长率为20%，
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量．
24．【分析】（1）根据正方形的性质及全等三角形的判定方法即可证明△BCE≌△DCF；
（2）由两个三角形全等的性质得出∠CFD的度数，再用等腰三角形的性质求∠EFD的度数．
【解答】（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴DC＝BC，∠DCB＝∠FCE，
∵CE＝CF，
∴△DCF≌△BCE；
（2）∵△BCE≌△DCF，
∴∠DFC＝∠BEC＝60°，
∵CE＝CF，
∴∠CFE＝45°，
∴∠EFD＝15°．
【点评】此题主要考查正方形的特殊性质及全等三角形的判定的综合运用，关键是根据正方形的性质及全等三角形的判定方法解答．
25．【分析】可设矩形一边的长，然后用它表示矩形的邻边，进而得出面积表达式．能否达到要求，根据解方程的结果，结合实际情况作出判断．
【解答】解：能，
理由：设垂直于墙的一边长x，则：
（24﹣4x）•x＝32，
整理得x2﹣5x+8＝0，
解得x5＝4，x2＝7（24﹣4x＝16＞12，舍），
故垂直于墙的一边长为4m，平行于墙的一边长为2m．
【点评】此题考查一元二次方程的应用，利用已知得出等式方程是解题关键．
26．【分析】利用童装平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种童装利润列出方程解答即可．
【解答】解：设每件童装应降价x元，根据题意列方程得，
（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得x1＝20，x6＝10
∵增加盈利，尽快减少库存，
∴x＝10（舍去），
答：每件童装降价20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．此题找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
27．【分析】（1）用列表法列举出所以出现的情况，再用概率公式求出概率即可．
（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两纸牌上的数字之和为偶数或奇数时的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．
【解答】解：（1）
由上表可知，两张牌数字相加和的所有可能出现的结果共有16种．
（2）不公平．
因为上述16种结果出现的可能性相同，而和为偶数的结果有3种，
即小莉去的概率为：＝，
哥哥去的概率为：＝，∵＜，∴小莉去的概率低于哥哥去的概率．
可把小莉的数字5的牌与哥哥数字4的牌对调，使两人去的概率相同．
【点评】此题主要考查了游戏公平性的判断．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．
28．【分析】（1）分当△ABC∽△QBP时，当△ABC∽△PBQ时，两种情况利用相似三角形的性质求解即可；
（2）设经过x秒，△BPQ的面积达到16cm2，根据三角形面积公式建立方程求解即可．
【解答】解：（1）设经过t秒，△ABC与△BPQ相似，
当△ABC∽△QBP时，
∴，即，
解得；
当△ABC∽△PBQ时，
∴，即，
解得；
综上所述，经过秒时；
（2）设经过x秒，△BPQ的面积达到16cm2，
由题意得，
∴x2﹣12x+16＝5，
解得或（舍去），
∴经过秒，△BPQ的面积达到16cm2．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，一元二次方程与图形面积，熟知相似三角形的性质是解题的关键．1
4
4
4
1
7
1
16
4
6
6
8
1
4+4＝5
7+6＝7
4+7＝8
2+8＝9
3
2+4＝7
2+6＝5
2+7＝6
2+8＝10
8
3+4＝4
3+6＝5
3+7＝10
4+8＝11
5
7＝4＝9
7+6＝11
5+8＝12
5+8＝13