初中数学华东师大（2024）版七年级上2.4《整式的加减》专项讲练（含答案）

这是一份初中数学华东师大（2024）版七年级上2.4《整式的加减》专项讲练（含答案），共36页。
【知识点1 同类项的概念】
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；④所有常数项都是同类项．
【题型1 判断同类项】
方法点拨：同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数也相同．
【例1】（2023春·全国·七年级专题练习）下列各组中的两项是不是同类项?为什么?
(1)7x2y4与8x4y (2)5x2y与6x2yz (3)−2ab23与−3ab22.
(4)−12a2b3与2b3a2 (5)m3与23 (6)−4与85
【变式】请写出−5x5y3的一个同类项 ．
【题型2 根据同类项的概念求指数中字母的值】
【例2】单项式14ax+2b4与9a2x−1b4是同类项，x= ．
【变式】若单项式−x2a−1y5与2x3y5是同类项，则a=（ ）
A．2B．3C．4D．5
【题型3 根据同类项的概念求式子的值】
【例3】已知代数式−13xayb−1与5xy2是同类项，则a＋b的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式】若3am−1bc2−2a3bn−2c2是单项式，则m+n−mn= ．
【题型4 合并同类项的运算】
【例4】在下列式子中错误的是 ．①5a+2b=7ab；②7ab−7ba=0；③4x2y−5xy2=−x2y；④3x2+5x3=8x5．
【题型5 根据两单项式的和差是同类项求字母的值】
【例5】若关于x、y的单项式3x4y3与（m-2）x4y|m|的和还是单项式，则这个和的结果为 ．
【变式5】已知关于a，b的单项式nax−1b4与6a2by+3和为0，请求出n+x+y的值.
【题型6 利用合并同类项解决不含某项问题】
【例6】若3x3+2x2+6x−mx2−1是关于x的不含二次项的多项式，有理数m的值是（ ）
A．2B．−2C．0D．2或0
【变式6】若关于x的多项式−5x3−mx2+2x−1+x2+2nx+5不含二次项和一次项，则m= ，n= ．
【题型7 利用合并同类项解决与某字母取值无关问题】
【例7】试说明多项式x3y3－12x2y＋y2－2x3y3＋0.5x2y＋y2＋x3y3－2y－3的值与字母x的取值无关．
【变式7】若代数式mx2+7y2﹣3x2+2的值与字母x的取值无关，则m的值是 ．
【题型8 利用合并同类项解决求值问题】
【例8】（1）先合并同类项，再求代数式的值：3−2x−7+4x，其中 x=−2；
（2）已知(a−12)2+|b+1|=0，化简求值：6a2b−3ab2−5a2b+4ab2．
【变式8】阅读材料：我们知道，4x−2x+x=(4−2+1)x=3x，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则4(a+b)−2(a+b)+(a+b)=(4−2+1)(a+b)=3(a+b)．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
(1)把(a−b)2看成一个整体，合并3(a−b)2−6(a−b)2+2(a−b)2的结果是_________；
(2)已知x2−2y=4，求2−3x2+6y的值．
【知识点2 去括号法则与添括号法则】
去括号法则：（1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号
外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
（2）去括号规律：①a+（b+c）=a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内
各项不变号；②a-（b-c）=a-b+c，括号前是“-”号，去括号时连同它前面的“-”号一起去掉，括号内各项都
要变号．
说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．
添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验．
【题型9 去括号与添括号】
【例9】下列各式由等号左边变到右边变错的有（ ）
①a−b−c=a−b−c ②x2+y−2x−y2=x2+y−2x+y2
③−a+b−−x+y=−a−b+x−y ④−3x−y+a−b=−3x−3y+a−b．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式9】按下列要求，给多项式3x3﹣5x2﹣3x＋4添括号：
（1）把多项式后三项括起来，括号前面带有“＋”号；
（2）把多项式的前两项括起来，括号前面带“﹣”号；
（3）把多项式后三项括起来，括号前面带有“﹣”号；
（4）把多项式中间的两项括起来．括号前面“﹣”号．
【题型10 利用去括号法则化简】
【例10】去括号，合并同类项得：3b−2c−[−4a+(c+3b)]+c= ．
【变式10-1】去括号，合并同类项：
(1)（2x﹣3y）﹣2（x+2y）； (2)3x2﹣[2x﹣（x﹣5）﹣x2]；

(3)（2x2y+3xy2）﹣（x2y﹣3xy2）； (4)4m2n﹣2（2mn﹣m2n）+mn．
【变式10 -2】以下是马小虎同学化简代数式a2b+4ab−3ab−a2b的过程．
a2b+4ab−3ab−a2b
=a2b+4ab−3ab−3a2b…………第一步，
=a2b−3a2b+4ab−3ab…………第二步，
=ab−2a2b…………第三步，
(1)马小虎同学解答过程在第___________步开始出错，出错原因是___________．
(2)马小虎同学在解答的过程用到了去括号法则，去括号的依据是___________．
(3)请你帮助马小虎同学写出正确的解答过程．
【题型11 利用添括号与去括号求值】
【例11】当x=1时，ax2+bx−1的值为6，当x=−1时，这个多项式ax3+bx−1的值是 ．
【变式11】已知x+y=34，−xy=2，则2xy−3x−3y值为（ ）
A．−74B．74C．254D．−254
【知识点3 整式的加减】
几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
整式的加减步骤及注意问题：
（1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
（2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
【题型12 整式的加减运算】
【例12】计算：
(1)5x2−7x−4x−3−2x2 (2)22a2+4b−3−a2+4b
【变式12】计算：
(x2−2x)−2(x2−3x+1)+2 (3) 3(m2n−2mn2)−4(−mn2+2m2n)
【题型13 整式加减的化简求值】
【例13】先化简再求值：3a2b−2ab2−2ab−32a2b+ab+3ab2，其中a=−4，b=12．
【变式13】已知：A=4a2b−3ab2+3abc,B=2ab2−3a2b+abc．
(1)计算A−3B；
(2)若单项式−2xay与5x2yb的差是一个单项式，求（1）中A−3B的值．
【题型14 利用整式加减比较大小】
【例14】已知多项式M=2a2−4a+1，N=2a2−2a+3，则下列判断正确的是（ ）
A．M>NB．MNB．Mn．
【点睛】本题考查有理数混合运算及整式的加减运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，根据新定义列出算式．
【题型15 整式加减中的错看问题】
【例7】设A，B，C均为多项式，小方同学在计算“A﹣B”时，误将符号抄错而计算成了“A+B”，得到结果是C，其中A=12x2+x﹣1，C=x2+2x，那么A﹣B=（ ）
A．x2﹣2xB．x2+2xC．﹣2D．﹣2x
【答案】C
【详解】由题意可得：
A-B=A-（C-A）
=A-C+A=2A-C=2（12 x2+x-1）-（x2+2x）
=x2+2x-2-x2-2x
=-2，
故选C.
【变式15】某同学在计算时−234+N，错算成−234−N，从而算得结果是514，请你帮助算出正确结果．
【答案】−1034
【分析】将错就错算出N的值，再代入原代数式进行计算即可．
【详解】解：由题意得，−234−N=514
∴N=−234−514=−8
∴−234+N=−234−8=−1034
答：正确结果为−1034．
【点睛】本题考查整式加减的应用：看错问题．对于看错问题，采用将错就错算出整式的值，再进行正确的计算即可．
【题型16 整式加减中的不含某项问题】
【例16】关于x，y的多项式6mx2＋4nxy＋2x＋2xy－x2＋y＋4不含二次项，求多项式2m2n＋10m－4n＋2－2m2n－4m＋2n的值．
【答案】4
【分析】已知多项式合并后，根据结果不含二次项求出m与n的值，原式合并得到最简结果，将m与n的值代入计算即可求出值．
【详解】6mx2＋4nxy＋2x＋2xy－x2＋y＋4
=(6m－1)x2＋(4n＋2)xy＋2x＋y＋4，
∵该多项式不含二次项，
∴6m－1＝0，4n＋2＝0，
解得：m＝16，n＝−12，
∴2m2n＋10m－4n＋2－2m2n－4m＋2n＝6m－2n＋2＝6×16－2×(－12)＋2＝4.
【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值以及多项式的知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式16】已知两个关于m、n的多项式A=mn－3m2、B=－6m2+5mn+2，且B+kA化简后不含m2项.
（1）求k的值;
（2）若m、n互为倒数，求B+kA的值.
【答案】（1）k=-2（2）5
【详解】试题分析：（1）根据题意直接代入化简，然后根据不含有的项，即为其系数为0，可求解k的值；
（2）根据倒数的意义得到mn=1，然后化简B+kA可求值.
试题解析：（1）B+kA=（－6m2+5mn+2）+k（mn－3m2）
=-6 m2+5mn+2+kmn-3k m2
=（-6-3k）m2+（5+k）mn+2
由不含m2项，可知-6-3k=0，
解得k=-2
（2）因为m、n互为倒数，
所以mn=1
所以B+kA
=（－6m2+5mn+2）+k（mn－3m2）
=（-6-3k）m2+（5+k）mn+2
=（5+k）mn+2
=3+2
=5
【题型17 整式加减中的和某项无关问题】
【例17】已知多项式A=4ba−5+b2，B=2b2−ab，C=2mb2+4ba+3．求A−2B；老师展示了一位同学的作业如下：
解：A−2B=（4ba−5+b2）−2(2b2−ab) …第一步
=4ba−5+b2−4b2−2ab …第二步
=−3b2+2ab−5 …第三步
回答问题：
(1)这位同学第 步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
(2)若A−C的结果与字母b的取值无关，求m的值．
【答案】(1)二，见详解；
(2)m=12
【分析】（1）直接利用整式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接求出A−C的值，结合结果与字母b的取值无关，得出m的值．
【详解】（1）解：A−2B=（4ba−5+b2）−2(2b2−ab) …第一步
=4ba−5+b2−4b2+2ab …第二步
=−3b2+6ab−5 …第三步
∴这位同学第二步开始出现错误，错误原因是去括号时，括号前面是负号，括号里面没有全部改变符号；
故答案为：二；
（2）解：∵A=4ba−5+b2， C=2mb2+4ba+3，
∴A−C=4ba−5+b2−(2mb2+4ba+3）
=4ba−5+b2−2mb2−4ba−3
=−8+(1−2m)b2
∵A−C的结果与字母b的取值无关，
∴1−2m=0，
解得：m=12．
【点睛】本题考查整式加减混合运算及去括号的法则，解题的关键是去括号合并同类项，第2问中与b无关即b的系数为0．
【变式17】（1）一天数学老师布置了一道数学题：已知x=2017，求整式x3−6x2−7x+8−−x2−3x+2x3−3+x3+5x2+4x−1的值，小明观察后提出：“已知x=2017是多余的”，你认为小明的说法有道理吗？请解释.
（2）已知整式M=x2+5ax−3x−1，整式M与整式N之差是3x2+4ax−x.
①求出整式N.
②若a是常数，且2M+N的值与x无关，求a的值.
【答案】（1）小明说的有道理，理由见解析.
(2) ①N=-2x2+ax-2x-1 ② a=811．
【分析】（1）原式去括号合并同类项后得到最简结果，根据化简结果中不含x，得到x的值是多余的．
（2）①根据题意，可得N=（x2+5ax-3x-1）-（3x2+4ax-x），去括号合并即可；
②把M与N代入2M+N，去括号合并得到最简结果，由结果与x值无关，求出a的值即可．
【详解】（1）小明说的有道理，理由如下：
原式=x3-6x2-7x+8+x2+3x-2x3+3+x3+5x2+4x-1
=（1-2+1）x3+（-6+1+5）x2+（-7+3+4）x+（8+3-1）
=10，
由此可知该整式的值与x的取值无关，所以小明说的有道理．
（2）①N=（x2+5ax-3x-1）-（3x2+4ax-x）
=x2+5ax-3x-1-3x2-4ax+x
=-2x2+ax-2x-1；
②∵M=x2+5ax-3x-1，N=-2x2+ax-2x-1，
∴2M+N=2（x2+5ax-3x-1）+（-2x2+ax-2x-1）
=2x2+10ax-6x-2-2x2+ax-2x-1
=（11a-8）x-3，
由结果与x值无关，得到11a-8=0，
解得：a=811．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解本题的关键．
【题型18 整式的加减中的遮挡问题】
【例10】老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，小明不小心擦掉了一块，小亮说他记得小明擦掉的部分是一个二次三项式，黑板上剩下的过程为：
3x−2−
=x2+9x−7
(1)求所挡住的二次三项式；
(2)若x=−23，求所挡住的二次三项式的值．
【答案】(1)−x2−6x+1
(2)419
【分析】（1）根据整式的加减计算法则只需要计算出x2−5x+1+3x的结果即可；
（2）把x=2代入（1）所求式子中进行求解即可．
【详解】（1）解：由已知得所挡住的式子为：3x−2−x2+9x−7
=3x−6−x2−9x+7
=−x2−6x+1，
即所捂的二次三项式是−x2−6x+1；
（2）解：当x=−23时，−x2−6x+1=−−232−6×−23+1=419．
【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，代数式求值，正确求出所捂的式子是解题的关键．
【变式18】 印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■x2y−[5xy2−2(−23xy+32x2y)−43xy]+5xy2.
(1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？
(2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式−4x2y3的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？
(3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？
【答案】(1)13x2y
(2)−4
(3)−3
【分析】（1）把“■”换成10，原式去括号合并即可得到结果；
（2）求出单项式的系数和次数之积，确定出遮挡部分即可；
（3）设遮挡部分为a，原式去括号合并后，根据化简结果为常数，确定出a的值即可．
【详解】（1）解：根据题意得：原式＝10x2y−[5xy2−2(−23xy+32x2y)−43xy]+5xy2
＝10x2y−5xy2−43xy+3x2y+43xy+5xy2
＝13x2y；
（2）解：是单项式−4x2y3的系数和次数之积为：−43×3=−4，
答：遮挡部分应是−4；
（3）解：设遮挡部分为a，
原式＝ax2y−[5xy2−2(−23xy+32x2y)−43xy]+5xy2
＝ax2y−5xy2−43xy+3x2y+43xy+5xy2
＝(a+3)x2y；
因为结果为常数，所以a+3=0
所以遮挡部分为−3．
【点睛】此题考查了整式的加减和代数式的值与字母无关问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【题型19 整式加减中的项与系数问题】
【例11】若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则A＋B一定是（ ）
A．三次多项式B．四次多项式C．七次多项式D．四次七项式
【答案】B
【分析】利用合并同类项法则判断即可．
【详解】多项式相加，也就是合并同类项，合并同类项时只是把系数相加减，字母和字母的指数不变，由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，B是一个四次多项式，因此A+B一定是四次多项式或单项式．
故选B．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式19】若A是一个五次多项式，B是一个四次多项式，则A−B一定是（ ）
A．次数不超过五次的多项式B．五次多项式或单项式
C．九次多项式D．次数不低于五次的多项式
【答案】B
【分析】利用整式的加减法则判断即可．
【详解】解：若A是一个五次多项式，B是一个四次多项式，
则A-B一定是五次多项式或单项式．
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【题型20 整式的加减中的应用】
【例20】将图1中周长为36的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为55的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（ ）

A．18B．26C．34D．46
【答案】D
【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y−x，根据图1中长方形的周长为36，求得x+y=92，根据图2中长方形的周长为55，求得AB=552−3x−4y，没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长=2AB+AD，计算即可得到答案．
【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y−x，
由图1中长方形的周长为36，可得，y+2x+y+2x+y=18，解得：x+y=92，
如图，图2中长方形的周长为55，

∴AB+2x+y+2x+y+y−x=552，
∴AB=552−3x−4y，
根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，
∴2AB+AD
=2552−3x−4y+x+y+2x+y+y−x
=2552−x−y
=55−2x+y
=55−9
=46．
故选D．
【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，设出未知数、正确列代数式表示各线段的长是解答本题的关键．
【变式20】 东阳某中学七(1)班有51人，某次活动分为三组，第一组有(3a+4b+2)人，第二组比第一组的12多6人，第三组比前两组的和的13少3人．
(1)第二组的人数为______人，第三组的人数为______人；
(2)试判断a=3，b=2时是否符合题意．
【答案】(1)32a+2b+7；32a+2b
(2)不符合题意，理由见解析
【分析】（1）由题意知，第二组的人数为(3a+4b+2)×12+6=32a+2b+7（人），第三组的人数为(3a+4b+2)+32a+2b+7×13−3=32a+2b（人），然后作答即可；
（2）当a=3，b=2时，32a+2b=172，此时不为整数，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，第二组的人数为(3a+4b+2)×12+6=32a+2b+7（人），
第三组的人数为(3a+4b+2)+32a+2b+7×13−3=32a+2b（人），
故答案为：32a+2b+7；32a+2b；
（2）解：当a=3，b=2时，32a+2b=172，此时不为整数，
∴不符合题意．
【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．