2025年高频考点归纳与方法总结(新高考通用)思维拓展07新高考压轴题中函数的新定义问题(精讲+精练)(学生版+解析)

这是一份2025年高频考点归纳与方法总结(新高考通用)思维拓展07新高考压轴题中函数的新定义问题(精讲+精练)(学生版+解析)，共34页。试卷主要包含了必备知识整合，新定义问题的方法和技巧等内容，欢迎下载使用。

一、必备知识整合
一、新定义问题
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
二、新定义问题的方法和技巧
1.可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
2.可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
3.发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
4.如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
二、考点分类精讲
【典例1】（2024·福建泉州·模拟预测）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中为参数．当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：．定义双曲正弦函数为．
(1)写出，具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
(2)任意，恒有成立，求实数的取值范围；
(3)正项数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【典例2】（2024·山东滨州·二模）定义：函数满足对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”．
(1)若，判断是否为上的“2类函数”；
(2)若为上的“3类函数”，求实数a的取值范围；
(3)若为上的“2类函数”，且，证明：，，．
【典例3】（23-24高三下·浙江·开学考试）置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合的函数称为次置换.满足对任意的置换称作恒等置换.所有次置换组成的集合记作.对于，我们可用列表法表示此置换：，记.
(1)若，计算；
(2)证明：对任意，存在，使得为恒等置换；
(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由.
【题型训练-刷模拟】
①定义新性质
一、解答题
1．（2024·浙江绍兴·三模）若函数在区间上有定义，且，，则称是的一个“封闭区间”．
(1)已知函数，区间且的一个“封闭区间”，求的取值集合；
(2)已知函数，设集合．
（i）求集合中元素的个数；
（ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素．证明：存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．
2．（2024·上海普陀·二模）对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与“具有性质”.
(1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由；
(2)若函数，与“具有性质”，求的取值范围；
(3)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证.
3．（2024·上海·模拟预测）已知为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意，，均有. 则称是集合到集合的一个“完美对应”.
(1)用初等函数构造区间到区间的一个完美对应；
(2)求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应；
(3)若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围.
4．（2024·上海黄浦·二模）若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”.
(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；
(2)若，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；
(3)设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
5．（2024·浙江绍兴·三模）若函数有且仅有一个极值点，函数有且仅有一个极值点，且，则称与具有性质．
(1)函数与是否具有性质？并说明理由．
(2)已知函数与具有性质．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
②定义新概念
一、解答题
1．（2024·江西·二模）随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为.
(1)试求，的值；
(2)设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示（），并探究与和的关系；
(3)设数列的通项公式为（），求该数列的前m项的和.
2．（2024·安徽合肥·三模）把满足任意总有的函数称为和弦型函数.
(1)已知为和弦型函数且，求的值；
(2)在（1）的条件下，定义数列：，求的值；
(3)若为和弦型函数且对任意非零实数，总有．设有理数满足，判断与的大小关系，并给出证明．
3．（2024·黑龙江·三模）若函数满足：对任意的实数，有恒成立，则
(2)令（为的导函数），分析与是否互为“零点相邻函数”；
(3)若，证明：.
③定义新运算
一、解答题
1．（2024·湖北·一模）我们知道通过牛顿莱布尼兹公式，可以求曲线梯形（如图1所示阴影部分）的面积，其中，．如果平面图形由两条曲线围成（如图2所示阴影部分），曲线可以表示为，曲线可以表示为，那么阴影区域的面积，其中．
(1)如图，连续函数在区间与的图形分别为直径为1的上、下半圆周，在区间与的图形分别为直径为2的下、上半圆周，设．求的值；
(2)在曲线上某一个点处作切线，便之与曲线和x轴所围成的面积为，求切线方程；
(3)正项数列是以公差为d（d为常数，）的等差数列，，两条抛物线，记它们交点的横坐标的绝对值为，两条抛物线围成的封闭图形的面积为，求证：．
2．（22-23高三下·上海闵行·阶段练习）设函数，其中a为常数．对于给定的一组有序实数，若对任意、，都有，则称为的“和谐数组”．
(1)若，判断数组是否为的“和谐数组”，并说明理由；
(2)若，求函数的极值点；
(3)证明：若为的“和谐数组”，则对任意，都有．
3．（2024·江西吉安·模拟预测）初中学过多项式的基本运算法则，其实多项式与方程的根也有密切关联.对一组变量，幂和对称多项式，且；初等对称多项式表示在中选出个变量进行相乘再相加，且.例如：对.已知三次函数有3个零点，且.记，.
(1)证明：；
(2)（i）证明：；
（ii）证明：，且；
(3)若，求.
4．（2024·甘肃兰州·一模）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离．
(1)已知点，分别在直线，上，点与点，的曼哈顿距离分别为，，求和的最小值；
(2)已知点N是直线上的动点，点与点N的曼哈顿距离的最小值记为，求的最大值；
(3)已知点，点（k，m，，e是自然对数的底），当时，的最大值为，求的最小值．
①定义新性质
②定义新概念
③定义新运算
2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
思维拓展07 新高考压轴题中函数的新定义问题（精讲+精练）
一、必备知识整合
一、新定义问题
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
二、新定义问题的方法和技巧
1.可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
2.可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
3.发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
4.如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
二、考点分类精讲
【典例1】（2024·福建泉州·模拟预测）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为y=cexc+e−xc2，其中c为参数．当c=1时，该表达式就是双曲余弦函数，记为csℎx=ex+e−x2，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：sinx'=csxcsx'=−sinx；②二倍角公式：cs2x=2cs2x−1；③平方关系：sin2x+cs2x=1．定义双曲正弦函数为sinℎx=ex−e−x2．
(1)写出sinℎx，csℎx具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
(2)任意x>0，恒有sinhx−kx>0成立，求实数k的取值范围；
(3)正项数列满足a1=a>1，an+1=2an2−1，是否存在实数a，使得a2024=178？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)，
(3)存在实数a=122122022+2−122022，使得a2024=178成立．
【分析】（1）①求导数，②用二倍角公式，③利用平方关系；证明即可；
（2）构造函数Fx=sinhx−kx，求导数，利用导数讨论函数的单调性，求k的取值范围即可；
（3）方法一、求出a1，a2，a3，猜想an，用数学归纳法证明即可．方法二、构造数列{xn}，根据an=cshxn，利用递推公式求解即可．
【详解】（1）①导数：sinhx'=cshx，cshx'=sinhx，证明如下：
sinhx'=ex−e−x2'=ex+e−x2=cshxcshx'=ex+e−x2'=ex−e−x2=sinhx，
②二倍角公式：csh2x=2cshx2−1，证明如下：
2cshx2−1=2×ex+e−x22−1=e2x+2+e−2x2−1=e2x+e−2x2=csh2x；
③平方关系：(cshx)2−(sinhx)2=1，证明如下：
cshx2−sinhx2=ex+e−x22−ex−e−x22=e2x+2+e−2x4−e2x−2+e−2x4=1；
（2）令Fx=sinhx−kx，x∈(0,+∞)，F'x=cshx−k，
①当k≤1时，由cshx=ex+e−x2≥ex⋅e−x=1，
又因为x>0，所以ex≠e−x，等号不成立，
所以F'x=cshx−k>0，即F(x)为增函数，
此时F(x)>F(0)=0，对任意x>0，sinhx>kx恒成立，满足题意；
②当k>1时，令，x∈(0,+∞)，则G'x=sinhx>0，可知G(x)是增函数，
由G(0)=1−k0可知，存在唯一x0∈0,ln2k，使得G(x0)=0，
所以当x∈(0,x0)时，F'(x)=G(x)0)，且an=cshxn，
因为an+1=2an2−1，所以an+1=2cshxn2−1=csh2xn，
则an+1=cshxn+1=csh2xn，
因为在(0,+∞)上单调递增，所以xn+1=2xn，即{xn}是以2为公比的等比数列，
所以x2024=x122023，所以ex2024=ex122023，所以ex1=ex2024122023，
又因为a2024=cshx2024=12ex2024+e−x2024=178，解得ex2024=4或14，
所以a=a1=cshx1=12ex1+e−x1=124122023+4−122023=122122022+2−122022，
综上知，存在实数a=122122022+2−122022，使得a2024=178成立．
【点睛】方法点睛：对于新定义的题目，一定要耐心理解定义，新的定义不但考查的是旧的知识点的延伸，更考查对于新知识的获取理解能力，抓住关键点，解题不是事.
【典例2】（2024·山东滨州·二模）定义：函数f(x)满足对于任意不同的x1,x2∈[a,b]，都有fx1−fx20得−12，即证t1+t2>2，
不妨设0h2−t1，
即证ht1>h2−t1，
设Hx=hx−h2−x，即Hx=1x+lnx−12−x−ln2−x，
因为H'x=−1x2+1x−12−x2+12−x=−41−x2x22−x2≤0，
所以函数y=Hx在0,+∞是减函数，且H(1)=0，
又00，则ht1>h2−t1得证，
故 x12+x22>2.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用不等式恒成立求出参数的取值范围，关键是利用极值点偏移构造函数证明不等式．
3．（2024·上海·模拟预测）已知A、B为实数集R的非空子集，若存在函数y=fx且满足如下条件：①y=fx定义域为A时，值域为B；②对任意x1、x2∈A，x1≠x2，均有fx1−fx2x1−x2>0. 则称fx是集合A到集合B的一个“完美对应”.
(1)用初等函数构造区间0,1到区间0,+∞的一个完美对应fx；
(2)求证：整数集Z到有理数集Q之间不存在完美对应；
(3)若fx=x3−kx2+1，k∈R，且fx是某区间A到区间−3,2的一个完美对应，求k的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）取f(x)=tanπ2x，根据正切型函数的图象与性质即可证明其满足题意；
（2）利用反证法，假设有f(x)是集合Z到Q的一个完美对应，最后得到00；x∈0,2k3时，f'(x)0；x∈2k3,0时，f'(x)0，
即函数φ(x)在(0,π)上单调递增，φ(x)>φ(0)=0，因此当x∈(0,π)时，x>sinx，
即在(0,π2)上无解，
所以g(x)的图象不存在“自公切线”.
（3）对给定的n∈N∗，由（2）知有唯一零点，即xn唯一确定，
又在点(t,sint)处的切线方程为，即，
在点(s,sins)处的切线方程为，
若存在，使得点(s,sins)与(t,sint)是函数y=sinx图象的一对“同切点”，
则css=csts≠tsins−scss=sint−tcst，又t∈(−π2,π2)，则cst>0，
所以css=csts≠ttans−s=tant−t，且，从而存在n∈N∗，
使得，代入，可得，则，即t是数列xn中的项；
反之，若t是数列xn中的项，则存在n∈N∗，使得，即，
由（2）中的g(x)严格增，可知严格增，又且h(t)=0，可知，
令，则s∈(2π,+∞)且，
即，可得，所以存在s∈(2π,+∞)，
使得点(s,sins)与(t,sint)是函数y=sinx的图象的一对“同切点”.
所以存在s∈(2π,+∞)，使得点(s,sins)与(t,sint)是函数y=sinx图象的一对“同切点”的充要条件是“t是数列xn中的项”.
【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))(x0∈D)处的切线方程为：y−f(x0)=f'(x0)(x−x0).
5．（2024·浙江绍兴·三模）若函数α(x)有且仅有一个极值点m，函数β(x)有且仅有一个极值点n，且m>n，则称α(x)与β(x)具有性质α−β//m>n．
(1)函数φ1(x)=sinx−x2与φ2x=ex−x是否具有性质φ1−φ2//x0>0？并说明理由．
(2)已知函数fx=aex−lnx+1与gx=lnx+a−ex+1具有性质f−g//x1>x2．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：gx1>x2．
【答案】(1)具有，理由见解析
(2)（i）a∈0,1∪1,+∞；（ii）证明见解析
【分析】（1）借助导数研究函数的单调性后，结合零点的存在性定理即可得其极值点及极值点范围或具体值，即可得解；
（2）（i）利用导数研究函数的单调性后，分a≤0及a>0可得其是否存在极值点，在存在唯一极值点的情况下，再对a细分，结合零点的存在性定理讨论不同的a的情况下不同的极值点的范围，结合x1>x2进行计算即可得解；
（ii）分a∈0,1及a∈1,+∞进行讨论，结合极值点满足的条件及所得函数单调性进行放缩处理即可得.
【详解】（1）函数φ1(x)=sinx−x2与φ2x=ex−x具有性质φ1−φ2//x0>0，理由如下：
φ1'(x)=csx−2x，令hx=φ1'x=csx−2x，
则h'x=−sinx−20，φ1'1=cs1−20，
故φ2(x)在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，
故φ2(x)有且仅有一个极值点0，
故函数φ1(x)=sinx−x2与φ2x=ex−x具有性质φ1−φ2//x0>0；
（2）（i）f'x=aex−1x+1， 又x+1>0，故x>−1，
当a≤0时，f'x=aex−1x+10时， 令mx=f'x=aex−1x+1，
则m'x=aex+1x+12>0恒成立，
故f'x在−1,+∞上单调递增，
g'x=1x+a−ex，，故x>−a，
由a>0，令nx=g'x=1x+a−ex，
则n'x=−1x+a2−ex0，又时，g'x→−∞，
故此时存在x2∈0,+∞，使gx在−a,x2上单调递增，在x2,+∞上单调递减，
则gx有唯一极值点x2∈0,+∞，
即有f'x1=aex1−1x1+1=0，g'x2=1x2+a−ex2=0，
即ex1=1ax1+1，ex2=1x2+a，此时需满足x1>x2>0，则ex1>ex2，
故有1ax1+1>1x2+a，即x2>ax1，即a1x2+a，此时需满足0>x1>x2，即x2>ax1，则a>x2x1，
由x2x1x2>0，则ex2=1x2+a>e0=1，故00，则ws>w0=−g0=0，即可证明.
【详解】（1）取s=t=π3，则csπ3+π3=−12,csπ3+csπ3=1，因为−123s−1−s−a+3t−1−t−a恒成立，
即3s+t−1−3s−1−3t−1>−a恒成立，
所以133s−13t−1>13−a恒成立，
又s,t∈0,+∞，故3s,3t∈1,+∞，则133s−13t−1∈0,+∞，
则13−a≤0，即a≥13.
（3）gx=ex−lnx+1−1,g'x=ex−1x+1，
根据题意，得g'x0=ex0−1x0+1=0，可得方程的一个解x0=0，
令μx=g'x，则μ'x=ex+1(x+1)2>0，故g'x在0,+∞上是严格增函数，
所以x0=0是唯一解，
又g0=0，此时在x0,gx0处的切线方程即为y=0，故x0=0；
设ws=gs+t−gs−gt，其中s>0,t>0，
w's=g's+t−g's，由y=g'x在0,+∞上是严格增函数以及s+t>s>0，
得g's+t>g's，
即w's=g's+t−g's>0，
所以ws=gs+t−gs−gt在0,+∞上是严格增函数，
因为s>0，则ws>w0=gt−g0−gt=0，故gs+t>gs+gt，得证，
所以函数y=gx是“∑增函数”.
【点睛】关键点点睛：本题时给出函数的新定义，由此去判断求解问题，解答本题的关键是要理解函数的新定义，明确其含义，依此取判断解决问题.
4．（2024·河北唐山·二模）数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当n=n0（n0∈N）时命题成立；2．假设n=k（k∈N，且k≥n0）时命题成立，推导出在n=k+1时命题也成立．用模取余运算：amdb=c表示“整数a除以整数b，所得余数为整数c”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即a=b×r+c，整数r是商．如7=3×2+1，则7md3=1；再如3=7×0+3，则3md7=3．当amdb=0时，则称b整除a．现从序号分别为a0，a1，a2，a3，…，an的n+1个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到m（m≥2）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为fn+1,m．如f1,m=0表示当只有1个人时幸运者就是a0；f6,2=4表示当有6个人而m=2时幸运者是a4；f6,3=0表示当有6个人而m=3时幸运者是a0．
(1)求10md3；
(2)当n≥1时，fn+1,m=fn,m+mmdn+1，求f5,3；当时，解释上述递推关系式的实际意义；
(3)由（2）推测当2k≤n+10，
则p't=11+t−11+t=1−1+t1+t0）的等差数列，b1=1，两条抛物线y=bnx2+1bn，y=bn+1x2+1bn+1n∈N+记它们交点的横坐标的绝对值为an，两条抛物线围成的封闭图形的面积为Sn，求证：S1a1+S2a2+⋯+Snan0,则对任意x0'∈R,都有kx0−fx0+m⋅kx0'−fx0'+m≥0.
∴对任意x∈R,kx−fx+m≥0恒成立.令Fx=x2+ax+2aex−kx−m，则Fx≤0在R上恒成立,
由二次函数性质可知,必存在t0>0使得当x>t0时,x2+ax+2a>0恒成立,且此时ex>1,
∴当x>t0时有Fx=x2+ax+2aex−kx−m>x2+ax+2a−kx−m，
其中x2+ax+2a−kx−m=x+a−k22−a−k24+2a−m，
由二次函数性质可知,必存在x1>t0使得当时，Fx>x2+ax+2a−kx−m>0.
这与Fx≤0在R上恒成立矛盾.
∴对任意x∈R,都有kx−fx+m≤0
【点睛】关键点睛：本题第3问的关键是运用反证法，首先假设存在x0∈R,使得kx0−fx0+m>0,根据和谐数组的定义转化得存在x0∈R,使得kx0−fx0+m>0,设Fx=x2+ax+2aex−kx−m，通过二次函数与指数函数的图象与性质即可推理出与假设矛盾的结论，最后即得到证明.
3．（2024·江西吉安·模拟预测）初中学过多项式的基本运算法则，其实多项式与方程的根也有密切关联.对一组变量x1,x2,⋯,xn，幂和对称多项式Pkx1,x2,⋯,xn=i=1nxik,k,n∈N∗，且P0x1,x2,⋯,xn=n；初等对称多项式ekx1,x2,⋯,xn表示在x1,x2,⋯,xn中选出kk∈N∗个变量进行相乘再相加，且e0x1,x2,⋯,xn=1.例如：对x1,x2,x3,e0=1,e1=x1+x2+x3,e2=x1x2+x2x3+（ii）①，②，③各乘x1m−3,x2m−3，x3m−3得x1m−e1x1m−1+e2x1m−2−e3x1m−3=0,④x2m−e1x2m−1+e2x2m−2−e3x2m−3=0,⑤x3m−e1x3m−1+e2x3m−2−e3x3m−3=0,⑥
④+⑤+⑥得Pm−e1Pm−1+e2Pm−2−e3Pm−3=0，
即k=03(−1)kek⋅Pm−k=0.
（3）由题可知P1=1,P2=2,P3=3，
e1=P1=1，
e2=x1x2+x2x3+x1x3=12x1+x2+x32−x12+x22+x32=12P12−P2=−12,
e3=x1x2x3，
由P3−e1P2+e2P1−e3P0=0，得3−1×2+−12×1−3e3=0，
解得e3=16，
∴由（2）（ii）得P4−e1P3+e2P2−e3P1=0，
解得P4=256,
P5−e1P4+e2P3−e3P2=0，
解得P5=6，
即x15+x25+x35=6.
【点睛】关键点点睛：本题三小问的关键全是能够理解题目中多项式的新定义，再结合新定义计算即可.
4．（2024·甘肃兰州·一模）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为x1,y1，x2,y2，那么称d(A,B)=x1−x2+y1−y2为A，B两点间的曼哈顿距离．
(1)已知点N1，N2分别在直线x−2y=0，2x−y=0上，点M0,2与点N1，N2的曼哈顿距离分别为dM,N1，dM,N2，求dM,N1和dM,N2的最小值；
(2)已知点N是直线x+k2y+2k+1=0k>0上的动点，点M0,2与点N的曼哈顿距离dM,N的最小值记为fk，求fk的最大值；
(3)已知点Mek,kek，点（k，m，n∈R，e是自然对数的底），当k≤1时，dM,N的最大值为fm,n，求fm,n的最小值．
【答案】(1)dM,N1的最小值为2；dM,N2的最小值为1
(2)5
(3)e+12e2
【分析】（1）根据题意，由曼哈顿距离的定义，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由曼哈顿距离的定义即可得到fk=2k+1k2+2,k≥12k2+2k+1,0